Пара быстро набросанных картинок — слева векторное поле, справа мы уже знаем, что его интегральные траектории это прямые.
Соответственно, вот так выглядит построение решения: нужно взять начальное условие, для каждой точки (x_0,0) посмотреть, чему равно u_0=u(x_0,0), начертить на плоскости (x,t) прямую (x_0+tu_0,t) и на ней на всей положить u(x,t)=u_0.
(Для полноты: всё это назвается методом характеристик для уравнения первого порядка.)
И сразу видно, что тут решение может существовать только конечное время: если две такие прямые на плоскости пересекаются — то мы не можем сказать, чему должно равняться решение u в точке их пересечения: одна прямая « говорит » одно, другая — другое.
Ещё можно сказать так. Когда у нас было уравнение
u_t + c u_x =0 ,
то можно было сказать, что по оси x проходит дорога, по которой едут машины, все с одной и той же скоростью c, и « везут » написанные на них значения u.
А теперь машина с надписью u и едет со скоростью u — только вот водители друг друга игнорируют! Так что, как только какая-нибудь более быстрая машина догонит более медленную, всё сломается.
(Для полноты: всё это назвается методом характеристик для уравнения первого порядка.)
И сразу видно, что тут решение может существовать только конечное время: если две такие прямые на плоскости пересекаются — то мы не можем сказать, чему должно равняться решение u в точке их пересечения: одна прямая « говорит » одно, другая — другое.
Ещё можно сказать так. Когда у нас было уравнение
u_t + c u_x =0 ,
то можно было сказать, что по оси x проходит дорога, по которой едут машины, все с одной и той же скоростью c, и « везут » написанные на них значения u.
А теперь машина с надписью u и едет со скоростью u — только вот водители друг друга игнорируют! Так что, как только какая-нибудь более быстрая машина догонит более медленную, всё сломается.
Возвращаясь к волнам —
u_t + u u_x =0
отвечает тому, что кусочек волны « бежит » тем быстрее, чем он выше. В терминах профиля это приводит к тому, что верхушка волны бежит чуть быстрее её основания, передний фронт волны становится всё более и более « крутым », и наконец, волна опрокидывается и решение перестаёт существовать.
(Как, собственно, опрокидываются « барашками » настоящие волны, выбегающие на берег.)
Ну и вот как оно выглядит.
u_t + u u_x =0
отвечает тому, что кусочек волны « бежит » тем быстрее, чем он выше. В терминах профиля это приводит к тому, что верхушка волны бежит чуть быстрее её основания, передний фронт волны становится всё более и более « крутым », и наконец, волна опрокидывается и решение перестаёт существовать.
(Как, собственно, опрокидываются « барашками » настоящие волны, выбегающие на берег.)
Ну и вот как оно выглядит.
Теперь можно спросить себя, что делает другая часть KdV: что, если мы смотрим только на уравнение
u_t + u_xxx =0 ?
Это линейное уравнение — так что его можно решать, как любое другое линейное дифференциальное уравнение: если написано уравнение
u_t = Au,
то для собственного вектора
Au_j = \lambda_j u_j
решением будет u_j * exp(\lambda_j t), ну и дальше решение по линейности раскладывается в линейную комбинацию таких (предположим на секунду, что никаких жордановых клеток нет).
Правда, уравнение на функцию u, то есть на элемент бесконечномерного пространства, но нам это не помешает. Собственные вектора у взятия третьей производной, собственно, совершенно замечательные, это мнимые экспоненты
exp(i ω x)
(мнимые — чтобы не было экспоненциального роста). А разложение по ним называется « преобразование Фурье »!
(Кстати: то, что тут рассматривать надо именно экспоненты, следует из того, что правая часть у нас от x не зависит — поэтому коммутирует со сдвигами. А у коммутирующих операторов « в хорошей ситуации » можно искать общий собственный базис, ну а какая функция при сдвиге аргумента остаётся пропорциональной себе? Конечно, экспонента.)
Если мы посмотрим с этой точки зрения на уравнение
u_t = - c u_x,
то гармоника с частотой ω,
exp(i ω x),
будет собственной для правой части с собственным значением -iωc, так что задаёт решение
exp(-i ω c t)*exp(i ω x) = exp(i ω (x-ct)),
едущее вправо со скоростью c. И раз с этой скоростью едут все гармоники — то едет и любое другое решение.
Но для
u_t = - u_xxx
собственное значение гармоники exp(i ω x) будет уже -(iω)ˆ3=i ωˆ3, и получается решение
exp(i ωˆ3 t)*exp(i ω x) = exp(i ω (x+ωˆ2 t)),
едущее с зависящей от частоты ω скоростью ωˆ2. И это несколько решение "сглаживает" — гармоники начинают "разъезжаться". Это такое себе сглаживание (вот вторая производная в этом смысле сработала бы гораздо лучше, но тут не она), но "опрокидыванию" оно всё-таки помешает.
(Disclaimer: в этом месте я добавил к лекции И.М. много пояснений от себя. Если вдруг что не так — all blame is on me.)
u_t + u_xxx =0 ?
Это линейное уравнение — так что его можно решать, как любое другое линейное дифференциальное уравнение: если написано уравнение
u_t = Au,
то для собственного вектора
Au_j = \lambda_j u_j
решением будет u_j * exp(\lambda_j t), ну и дальше решение по линейности раскладывается в линейную комбинацию таких (предположим на секунду, что никаких жордановых клеток нет).
Правда, уравнение на функцию u, то есть на элемент бесконечномерного пространства, но нам это не помешает. Собственные вектора у взятия третьей производной, собственно, совершенно замечательные, это мнимые экспоненты
exp(i ω x)
(мнимые — чтобы не было экспоненциального роста). А разложение по ним называется « преобразование Фурье »!
(Кстати: то, что тут рассматривать надо именно экспоненты, следует из того, что правая часть у нас от x не зависит — поэтому коммутирует со сдвигами. А у коммутирующих операторов « в хорошей ситуации » можно искать общий собственный базис, ну а какая функция при сдвиге аргумента остаётся пропорциональной себе? Конечно, экспонента.)
Если мы посмотрим с этой точки зрения на уравнение
u_t = - c u_x,
то гармоника с частотой ω,
exp(i ω x),
будет собственной для правой части с собственным значением -iωc, так что задаёт решение
exp(-i ω c t)*exp(i ω x) = exp(i ω (x-ct)),
едущее вправо со скоростью c. И раз с этой скоростью едут все гармоники — то едет и любое другое решение.
Но для
u_t = - u_xxx
собственное значение гармоники exp(i ω x) будет уже -(iω)ˆ3=i ωˆ3, и получается решение
exp(i ωˆ3 t)*exp(i ω x) = exp(i ω (x+ωˆ2 t)),
едущее с зависящей от частоты ω скоростью ωˆ2. И это несколько решение "сглаживает" — гармоники начинают "разъезжаться". Это такое себе сглаживание (вот вторая производная в этом смысле сработала бы гораздо лучше, но тут не она), но "опрокидыванию" оно всё-таки помешает.
(Disclaimer: в этом месте я добавил к лекции И.М. много пояснений от себя. Если вдруг что не так — all blame is on me.)
Математические байки
Тизер к следующей части 🙂
Итак, следующая часть лекции Кричевера была посвящена парадоксу Ферми-Паста-Улама.
В начале 1950-ых Ферми, Паста и Улам задались вот таким вопросом. Допустим, что у нас на прямой есть цепочка массивных шариков, последовательно соединённых пружинками. Этакий « одномерный кристалл ». А что будет, если по нему стукнуть? Или сжать и отпустить ?
Если пружины идеально линейные — то их колебания будут описываться дискретной версией уравнения струны,
u_tt = u_xx,
и тогда колебания будут идеально периодическими.
А что, если во взаимодействие добавить нелинейность?
Что они предполагали: что согласованные, « волновые » колебания кристалла перейдут в « тепловые » (хаотичное дрожание точек « по отдельности »). Что очень логично: стукнули по камню, по нему побежала волна деформации, побегала-побегала, но в конце концов энергия перешла в тепловую энергию атомов.
Первая из картинок выше — это, собственно, воспроизведение начальной фазы того эксперимента: график рисуется раз в несколько периодов « линейной » струны, и видно, как он деформируется.
В начале 1950-ых Ферми, Паста и Улам задались вот таким вопросом. Допустим, что у нас на прямой есть цепочка массивных шариков, последовательно соединённых пружинками. Этакий « одномерный кристалл ». А что будет, если по нему стукнуть? Или сжать и отпустить ?
Если пружины идеально линейные — то их колебания будут описываться дискретной версией уравнения струны,
u_tt = u_xx,
и тогда колебания будут идеально периодическими.
А что, если во взаимодействие добавить нелинейность?
Что они предполагали: что согласованные, « волновые » колебания кристалла перейдут в « тепловые » (хаотичное дрожание точек « по отдельности »). Что очень логично: стукнули по камню, по нему побежала волна деформации, побегала-побегала, но в конце концов энергия перешла в тепловую энергию атомов.
Первая из картинок выше — это, собственно, воспроизведение начальной фазы того эксперимента: график рисуется раз в несколько периодов « линейной » струны, и видно, как он деформируется.
Колебания можно разложить по Фурье-гармоникам sin kx (в нормировке, когда закреплённые шарики на концах струны отвечают x=0 и x=π) — разложить как положения, так и скорости. И если бы уравнение было линейной струной, то каждая гармоника так бы независимо и колебалась, и распределение энергии между ними не менялось бы. Наоборот, в « тепловом » режиме энергия должна была бы « размазаться » между всеми гармониками.
Так вот — казалось бы, так и происходит; на картинке энергия в первых нескольких гармониках (как функция от времени). Вроде как энергия с первой гармоники берёт и расползается. Но…
Так вот — казалось бы, так и происходит; на картинке энергия в первых нескольких гармониках (как функция от времени). Вроде как энергия с первой гармоники берёт и расползается. Но…
Энрико Ферми, Джон Паста, Святослав Улам, и Мари Цингоу ставят численный эксперимент. На свеже-установленном (в 1952 году) в Лос-Аламосской лаборатории (той самой!) компьютере MANIAC I. Ламповом!
Собственно, вот его фотография (источник: https://discover.lanl.gov/news/0412-maniac/ ).
Собственно, вот его фотография (источник: https://discover.lanl.gov/news/0412-maniac/ ).
Первая страница отчёта 1955 года — с которого как раз и пошла история эффекта.
Ещё фото — одна ячейка (блок?) памяти MANIAC I;
Author: BFS Man ; via https://en.wikipedia.org/wiki/MANIAC_I#/media/File:MANIAC_Register_Unit_(6608730987).jpg
Author: BFS Man ; via https://en.wikipedia.org/wiki/MANIAC_I#/media/File:MANIAC_Register_Unit_(6608730987).jpg
Так вот — они ставят эксперимент, и… вдруг обнаруживают, что по прошествии ещё какого-то времени колебания обратно собираются практически полностью в первую гармонику. Тадамм!
По сравнению с тем, что ожидалось — это выглядит примерно так же, как если бы осколки разбитой чашки собрались обратно, ну или при размешивании ложки молока в чае жидкость сначала стала равномерного цвета — а потом вдруг ненадолго молоко собралось обратно.
Вот страница из того же отчёта.
По сравнению с тем, что ожидалось — это выглядит примерно так же, как если бы осколки разбитой чашки собрались обратно, ну или при размешивании ложки молока в чае жидкость сначала стала равномерного цвета — а потом вдруг ненадолго молоко собралось обратно.
Вот страница из того же отчёта.
Математические байки
Ещё одна картинка — тоже воспроизводя эксперимент: 31 шарик с линейными связями плюс квадратичная нелинейность (и плюс два закреплённых шарика на концах), начинаем с чистой синусоиды, и вот при колебаниях график всё сильнее деформируется.
Ну и продолжение счёта, воспроизводящего тот эксперимент: вот графики колебаний — сначала мы видим, как синусоида портится, потом видим странные колебания, но — вдруг проявляется обратно именно честная синусоида!
Forwarded from Квантик
Художники «Квантика» стали лауреатами премии РАН 2022 года за лучшие работы по популяризации науки в номинации «Лучший художник, иллюстратор, дизайнер научно-популярного проекта»
Forwarded from Российская академия наук
Имена авторов лучших работ в области популяризации науки в 2022 году в трех номинациях объявили сегодня на заседании президиума РАН:
«Лучшая научно-популярная книга о жизни ученых и логике развития науки» – д.ф.-м.н Алексей Семихатов из ФИАН @lpi_ras за книгу «Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной. От космических орбит до квантовых полей».
«Лучший научно-популярный подкаст» – «Биолог на перепутье» портала «Биомолекула» @biomolecula. Премией отмечены: к.ф.-м.н. Антон Чугунов, второй главный редактор Вера Башмакова, к.х.н Галина Вирясова, студент Charité – Universitätsmedizin Berlin Медер Иманалиев , графический дизайнер и иллюстратор Любовь Колосовская.
«Лучший художник, иллюстратор, дизайнер научно-популярного проекта» – авторы научно-познавательного журнала «Квантик» @kvantik12: главный художник и главный художественный редактор Альберт Гарафутдинов (Yustas), художники Мария Усеинова и Алексей Федяков (Вайнер).
О победителях конкурса, занявших вторые и третьи места, – на сайте РАН.
«Лучшая научно-популярная книга о жизни ученых и логике развития науки» – д.ф.-м.н Алексей Семихатов из ФИАН @lpi_ras за книгу «Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной. От космических орбит до квантовых полей».
«Лучший научно-популярный подкаст» – «Биолог на перепутье» портала «Биомолекула» @biomolecula. Премией отмечены: к.ф.-м.н. Антон Чугунов, второй главный редактор Вера Башмакова, к.х.н Галина Вирясова, студент Charité – Universitätsmedizin Berlin Медер Иманалиев , графический дизайнер и иллюстратор Любовь Колосовская.
«Лучший художник, иллюстратор, дизайнер научно-популярного проекта» – авторы научно-познавательного журнала «Квантик» @kvantik12: главный художник и главный художественный редактор Альберт Гарафутдинов (Yustas), художники Мария Усеинова и Алексей Федяков (Вайнер).
О победителях конкурса, занявших вторые и третьи места, – на сайте РАН.