Картинка из лекции: опрокидывающаяся волна (чем больше значение u, тем больше скорость) и её « разглаживание » (ну да, такое себе) третьей производной в правой части.

Итак, следующая часть лекции Кричевера была посвящена парадоксу Ферми-Паста-Улама.

В начале 1950-ых Ферми, Паста и Улам задались вот таким вопросом. Допустим, что у нас на прямой есть цепочка массивных шариков, последовательно соединённых пружинками. Этакий « одномерный кристалл ». А что будет, если по нему стукнуть? Или сжать и отпустить ?
Если пружины идеально линейные — то их колебания будут описываться дискретной версией уравнения струны,
u_tt = u_xx,
и тогда колебания будут идеально периодическими.
А что, если во взаимодействие добавить нелинейность?
Что они предполагали: что согласованные, « волновые » колебания кристалла перейдут в « тепловые » (хаотичное дрожание точек « по отдельности »). Что очень логично: стукнули по камню, по нему побежала волна деформации, побегала-побегала, но в конце концов энергия перешла в тепловую энергию атомов.

Первая из картинок выше — это, собственно, воспроизведение начальной фазы того эксперимента: график рисуется раз в несколько периодов « линейной » струны, и видно, как он деформируется.

Ещё одна картинка — тоже воспроизводя эксперимент: 31 шарик с линейными связями плюс квадратичная нелинейность (и плюс два закреплённых шарика на концах), начинаем с чистой синусоиды, и вот при колебаниях график всё сильнее деформируется.

Колебания можно разложить по Фурье-гармоникам sin kx (в нормировке, когда закреплённые шарики на концах струны отвечают x=0 и x=π) — разложить как положения, так и скорости. И если бы уравнение было линейной струной, то каждая гармоника так бы независимо и колебалась, и распределение энергии между ними не менялось бы. Наоборот, в « тепловом » режиме энергия должна была бы « размазаться » между всеми гармониками.

Так вот — казалось бы, так и происходит; на картинке энергия в первых нескольких гармониках (как функция от времени). Вроде как энергия с первой гармоники берёт и расползается. Но…

Энрико Ферми, Джон Паста, Святослав Улам, и Мари Цингоу ставят численный эксперимент. На свеже-установленном (в 1952 году) в Лос-Аламосской лаборатории (той самой!) компьютере MANIAC I. Ламповом!

Собственно, вот его фотография (источник: https://discover.lanl.gov/news/0412-maniac/ ).

Первая страница отчёта 1955 года — с которого как раз и пошла история эффекта.

Ещё фото — одна ячейка (блок?) памяти MANIAC I;

Author: BFS Man ; via https://en.wikipedia.org/wiki/MANIAC_I#/media/File:MANIAC_Register_Unit_(6608730987).jpg

Так вот — они ставят эксперимент, и… вдруг обнаруживают, что по прошествии ещё какого-то времени колебания обратно собираются практически полностью в первую гармонику. Тадамм!
По сравнению с тем, что ожидалось — это выглядит примерно так же, как если бы осколки разбитой чашки собрались обратно, ну или при размешивании ложки молока в чае жидкость сначала стала равномерного цвета — а потом вдруг ненадолго молоко собралось обратно.
Вот страница из того же отчёта.

А вот график (из того же отчёта).

А вот графики распределения энергии по гармоникам: синяя это первая гармоника, sin x, и видно, что происходит возврат к ней, потом опять уход, опять возврат… Так что никакого перехода в « тепловой » режим!

Художники «Квантика» стали лауреатами премии РАН 2022 года за лучшие работы по популяризации науки в номинации «Лучший художник, иллюстратор, дизайнер научно-популярного проекта»

Продолжим?
Вдогонку — вот симуляция на вдесятеро большем масштабе времени (всё те же самые 31 подвижные массы): если казалось, что на каждом новом проходе энергии в первой гармонике становится всё меньше — то потом и этот процесс обращается вспять (и начинает « идти волнами »).

Так вот — это поведение и назвали парадоксом Ферми-Паста-Улама.

Отдельная интересная историческая деталь — титульный лист их отчёта (кстати, насколько я понимаю, в момент публикации, в 1955-м — засекреченного, по крайней мере, так о нём пишут в этой статье).