Математические байки
Тизер к следующей части 🙂
Итак, следующая часть лекции Кричевера была посвящена парадоксу Ферми-Паста-Улама.
В начале 1950-ых Ферми, Паста и Улам задались вот таким вопросом. Допустим, что у нас на прямой есть цепочка массивных шариков, последовательно соединённых пружинками. Этакий « одномерный кристалл ». А что будет, если по нему стукнуть? Или сжать и отпустить ?
Если пружины идеально линейные — то их колебания будут описываться дискретной версией уравнения струны,
u_tt = u_xx,
и тогда колебания будут идеально периодическими.
А что, если во взаимодействие добавить нелинейность?
Что они предполагали: что согласованные, « волновые » колебания кристалла перейдут в « тепловые » (хаотичное дрожание точек « по отдельности »). Что очень логично: стукнули по камню, по нему побежала волна деформации, побегала-побегала, но в конце концов энергия перешла в тепловую энергию атомов.
Первая из картинок выше — это, собственно, воспроизведение начальной фазы того эксперимента: график рисуется раз в несколько периодов « линейной » струны, и видно, как он деформируется.
В начале 1950-ых Ферми, Паста и Улам задались вот таким вопросом. Допустим, что у нас на прямой есть цепочка массивных шариков, последовательно соединённых пружинками. Этакий « одномерный кристалл ». А что будет, если по нему стукнуть? Или сжать и отпустить ?
Если пружины идеально линейные — то их колебания будут описываться дискретной версией уравнения струны,
u_tt = u_xx,
и тогда колебания будут идеально периодическими.
А что, если во взаимодействие добавить нелинейность?
Что они предполагали: что согласованные, « волновые » колебания кристалла перейдут в « тепловые » (хаотичное дрожание точек « по отдельности »). Что очень логично: стукнули по камню, по нему побежала волна деформации, побегала-побегала, но в конце концов энергия перешла в тепловую энергию атомов.
Первая из картинок выше — это, собственно, воспроизведение начальной фазы того эксперимента: график рисуется раз в несколько периодов « линейной » струны, и видно, как он деформируется.
Колебания можно разложить по Фурье-гармоникам sin kx (в нормировке, когда закреплённые шарики на концах струны отвечают x=0 и x=π) — разложить как положения, так и скорости. И если бы уравнение было линейной струной, то каждая гармоника так бы независимо и колебалась, и распределение энергии между ними не менялось бы. Наоборот, в « тепловом » режиме энергия должна была бы « размазаться » между всеми гармониками.
Так вот — казалось бы, так и происходит; на картинке энергия в первых нескольких гармониках (как функция от времени). Вроде как энергия с первой гармоники берёт и расползается. Но…
Так вот — казалось бы, так и происходит; на картинке энергия в первых нескольких гармониках (как функция от времени). Вроде как энергия с первой гармоники берёт и расползается. Но…
Энрико Ферми, Джон Паста, Святослав Улам, и Мари Цингоу ставят численный эксперимент. На свеже-установленном (в 1952 году) в Лос-Аламосской лаборатории (той самой!) компьютере MANIAC I. Ламповом!
Собственно, вот его фотография (источник: https://discover.lanl.gov/news/0412-maniac/ ).
Собственно, вот его фотография (источник: https://discover.lanl.gov/news/0412-maniac/ ).
Первая страница отчёта 1955 года — с которого как раз и пошла история эффекта.
Ещё фото — одна ячейка (блок?) памяти MANIAC I;
Author: BFS Man ; via https://en.wikipedia.org/wiki/MANIAC_I#/media/File:MANIAC_Register_Unit_(6608730987).jpg
Author: BFS Man ; via https://en.wikipedia.org/wiki/MANIAC_I#/media/File:MANIAC_Register_Unit_(6608730987).jpg
Так вот — они ставят эксперимент, и… вдруг обнаруживают, что по прошествии ещё какого-то времени колебания обратно собираются практически полностью в первую гармонику. Тадамм!
По сравнению с тем, что ожидалось — это выглядит примерно так же, как если бы осколки разбитой чашки собрались обратно, ну или при размешивании ложки молока в чае жидкость сначала стала равномерного цвета — а потом вдруг ненадолго молоко собралось обратно.
Вот страница из того же отчёта.
По сравнению с тем, что ожидалось — это выглядит примерно так же, как если бы осколки разбитой чашки собрались обратно, ну или при размешивании ложки молока в чае жидкость сначала стала равномерного цвета — а потом вдруг ненадолго молоко собралось обратно.
Вот страница из того же отчёта.
Математические байки
Ещё одна картинка — тоже воспроизводя эксперимент: 31 шарик с линейными связями плюс квадратичная нелинейность (и плюс два закреплённых шарика на концах), начинаем с чистой синусоиды, и вот при колебаниях график всё сильнее деформируется.
Ну и продолжение счёта, воспроизводящего тот эксперимент: вот графики колебаний — сначала мы видим, как синусоида портится, потом видим странные колебания, но — вдруг проявляется обратно именно честная синусоида!
Forwarded from Квантик
Художники «Квантика» стали лауреатами премии РАН 2022 года за лучшие работы по популяризации науки в номинации «Лучший художник, иллюстратор, дизайнер научно-популярного проекта»
Forwarded from Российская академия наук
Имена авторов лучших работ в области популяризации науки в 2022 году в трех номинациях объявили сегодня на заседании президиума РАН:
«Лучшая научно-популярная книга о жизни ученых и логике развития науки» – д.ф.-м.н Алексей Семихатов из ФИАН @lpi_ras за книгу «Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной. От космических орбит до квантовых полей».
«Лучший научно-популярный подкаст» – «Биолог на перепутье» портала «Биомолекула» @biomolecula. Премией отмечены: к.ф.-м.н. Антон Чугунов, второй главный редактор Вера Башмакова, к.х.н Галина Вирясова, студент Charité – Universitätsmedizin Berlin Медер Иманалиев , графический дизайнер и иллюстратор Любовь Колосовская.
«Лучший художник, иллюстратор, дизайнер научно-популярного проекта» – авторы научно-познавательного журнала «Квантик» @kvantik12: главный художник и главный художественный редактор Альберт Гарафутдинов (Yustas), художники Мария Усеинова и Алексей Федяков (Вайнер).
О победителях конкурса, занявших вторые и третьи места, – на сайте РАН.
«Лучшая научно-популярная книга о жизни ученых и логике развития науки» – д.ф.-м.н Алексей Семихатов из ФИАН @lpi_ras за книгу «Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной. От космических орбит до квантовых полей».
«Лучший научно-популярный подкаст» – «Биолог на перепутье» портала «Биомолекула» @biomolecula. Премией отмечены: к.ф.-м.н. Антон Чугунов, второй главный редактор Вера Башмакова, к.х.н Галина Вирясова, студент Charité – Universitätsmedizin Berlin Медер Иманалиев , графический дизайнер и иллюстратор Любовь Колосовская.
«Лучший художник, иллюстратор, дизайнер научно-популярного проекта» – авторы научно-познавательного журнала «Квантик» @kvantik12: главный художник и главный художественный редактор Альберт Гарафутдинов (Yustas), художники Мария Усеинова и Алексей Федяков (Вайнер).
О победителях конкурса, занявших вторые и третьи места, – на сайте РАН.
Математические байки
А вот графики распределения энергии по гармоникам: синяя это первая гармоника, sin x, и видно, что происходит возврат к ней, потом опять уход, опять возврат… Так что никакого перехода в « тепловой » режим!
Продолжим?
Вдогонку — вот симуляция на вдесятеро большем масштабе времени (всё те же самые 31 подвижные массы): если казалось, что на каждом новом проходе энергии в первой гармонике становится всё меньше — то потом и этот процесс обращается вспять (и начинает « идти волнами »).
Вдогонку — вот симуляция на вдесятеро большем масштабе времени (всё те же самые 31 подвижные массы): если казалось, что на каждом новом проходе энергии в первой гармонике становится всё меньше — то потом и этот процесс обращается вспять (и начинает « идти волнами »).
Математические байки
А вот график (из того же отчёта).
То есть Mary Tsingou занималась программированием — на этом самом ламповом компьютере MANIAC I.
Есть целая статья 2008 года, посвящённая ей: Thierry Dauxois, « Fermi, Pasta, Ulam and a mysterious lady ». Где можно найти скан блок-схемы 1955 года (на второй странице); кстати — строчка про \delta t там говорит, что « stored … as a desired right shift »: деление на степень двойки это сдвиг двоичной записи вправо. И она была ещё жива — так что автор её нашёл и с ней поговорил(!).
Вообще, я очень люблю исторические тексты — за « штрихи » и за возможность увидеть авторов статей не только как имена, но и посмотрев на кусочки из их жизни. Пара цитат оттуда —
« … But she quickly moved to T7 led by N. Metropolis for working on the first ever computer, the Maniac I, that no one could program. Together with Mary Hunt, she was therefore the first programmer to start exploratory work on it. She remembers it as prettyeasy because of the very limited possibilities of the computer: 1000 words.
They were working primarily on weapons but, in parallel, they studied other problems like programming chess or studying fundamental physics’ problems. Mary Tsingou mostly interacted with J. R. Pasta. They were the first ones to do actually graphics on the computer, when they considered a problem with an explosion and visualized it on an oscilloscope. … »
« … However, she knew Fermi’s daughter Nella much better because Nella didn’t want to stay with her parents during
their visits to Los Alamos. The two young women slept in the
same dormitory, while Enrico and Laura Fermi were hosted
by their good friends Stan and Françoise Ulam….»
Их интересно читать и сопоставлять, подниматься по ссылкам… Так, вот одна из ссылок в статье про "50 лет FPU" — текст Николаса Метрополиса « The Age of Computing: A Personal Memoir », https://people.sc.fsu.edu/~pbeerli/classes/ISC-3313-notes/montecarlo/Daedalus1992Metropolis.pdf . Интересно, что он Mary Tsingou совсем не упоминает:
«... Fermi and Teller were the first hackers. They would spend hours at the console of the MANIAC. Teller would spend his weekends at the laboratory playing with the machine. Fermi insisted on doing all the menial work himself, down to the least details, to the awed amazement of the professional programmers. He instinctively knew the right physical problems that the MANIAC could successfully handle.
His greatest success was the discovery of the strange behavior of
nonlinear systems arising from coupled nonlinear oscillators. The
MANIAC was a large enough machine to allow the programming of
potentials with cubic and even quartic terms. Together with John Pasta and Stanislaw Ulam, he programmed the evolution … ».
Зато Metropolis пишет про то, как они наткнулись на эффект:
« By accident one day they let the program run long after the steady state had been reached. When they realized their oversight and came back to the computer room, they noticed that the system, after remaining in the steady state for a while, had then departed from it, and reverted to the initial distribution of energy (to within two percent). »
Есть целая статья 2008 года, посвящённая ей: Thierry Dauxois, « Fermi, Pasta, Ulam and a mysterious lady ». Где можно найти скан блок-схемы 1955 года (на второй странице); кстати — строчка про \delta t там говорит, что « stored … as a desired right shift »: деление на степень двойки это сдвиг двоичной записи вправо. И она была ещё жива — так что автор её нашёл и с ней поговорил(!).
Вообще, я очень люблю исторические тексты — за « штрихи » и за возможность увидеть авторов статей не только как имена, но и посмотрев на кусочки из их жизни. Пара цитат оттуда —
« … But she quickly moved to T7 led by N. Metropolis for working on the first ever computer, the Maniac I, that no one could program. Together with Mary Hunt, she was therefore the first programmer to start exploratory work on it. She remembers it as prettyeasy because of the very limited possibilities of the computer: 1000 words.
They were working primarily on weapons but, in parallel, they studied other problems like programming chess or studying fundamental physics’ problems. Mary Tsingou mostly interacted with J. R. Pasta. They were the first ones to do actually graphics on the computer, when they considered a problem with an explosion and visualized it on an oscilloscope. … »
« … However, she knew Fermi’s daughter Nella much better because Nella didn’t want to stay with her parents during
their visits to Los Alamos. The two young women slept in the
same dormitory, while Enrico and Laura Fermi were hosted
by their good friends Stan and Françoise Ulam….»
Их интересно читать и сопоставлять, подниматься по ссылкам… Так, вот одна из ссылок в статье про "50 лет FPU" — текст Николаса Метрополиса « The Age of Computing: A Personal Memoir », https://people.sc.fsu.edu/~pbeerli/classes/ISC-3313-notes/montecarlo/Daedalus1992Metropolis.pdf . Интересно, что он Mary Tsingou совсем не упоминает:
«... Fermi and Teller were the first hackers. They would spend hours at the console of the MANIAC. Teller would spend his weekends at the laboratory playing with the machine. Fermi insisted on doing all the menial work himself, down to the least details, to the awed amazement of the professional programmers. He instinctively knew the right physical problems that the MANIAC could successfully handle.
His greatest success was the discovery of the strange behavior of
nonlinear systems arising from coupled nonlinear oscillators. The
MANIAC was a large enough machine to allow the programming of
potentials with cubic and even quartic terms. Together with John Pasta and Stanislaw Ulam, he programmed the evolution … ».
Зато Metropolis пишет про то, как они наткнулись на эффект:
« By accident one day they let the program run long after the steady state had been reached. When they realized their oversight and came back to the computer room, they noticed that the system, after remaining in the steady state for a while, had then departed from it, and reverted to the initial distribution of energy (to within two percent). »
Рассказ про лекцию Кричевера я потом продолжу — а пока другая, более короткая, история.
Есть такое утверждение:
Японская теорема о вписанных многоугольниках. Пусть задан вписанный многоугольник. Разобьём его непересекающимися диагоналями на треугольники, и впишем в них окружности. Оказывается, что сумма радиусов вписанных окружностей не зависит от выбора триангуляции — если разбить по-другому, сумма будет такой же!
Про неё когда-то писали в « Квантике » — на скриншоте с. 22 номера 7 за 2012 год. (Кстати — посмотрите на иллюстрацию на полях!)
Отдельно интересно, откуда эта теорема появилась, — из японской традиции сангаку, табличек с [зачастую геометрическими] утверждениями, приносимыми в храмы — как подношения богам, и чтобы другие могли попробовать свои силы в доказательстве.
Есть такое утверждение:
Японская теорема о вписанных многоугольниках. Пусть задан вписанный многоугольник. Разобьём его непересекающимися диагоналями на треугольники, и впишем в них окружности. Оказывается, что сумма радиусов вписанных окружностей не зависит от выбора триангуляции — если разбить по-другому, сумма будет такой же!
Про неё когда-то писали в « Квантике » — на скриншоте с. 22 номера 7 за 2012 год. (Кстати — посмотрите на иллюстрацию на полях!)
Отдельно интересно, откуда эта теорема появилась, — из японской традиции сангаку, табличек с [зачастую геометрическими] утверждениями, приносимыми в храмы — как подношения богам, и чтобы другие могли попробовать свои силы в доказательстве.