https://arxiv.org/abs/2301.03149

"A Handbook of Integer Sequences" Fifty Years Later (N. J. A. Sloane)

Until 1973 there was no database of integer sequences. Someone coming across the sequence 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127,... would have had no way of discovering that it had been studied since 1870 (today these are called the Motzkin numbers, and form entry A001006 in the database). Everything changed in 1973 with the publication of "A Handbook of Integer Sequences", which listed 2372 entries. This report describes the fifty-year evolution of the database from the "Handbook" to its present form as "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences" (or OEIS), which contains 360,000 entries, receives a million visits a day, and has been cited 10,000 times, often with a comment saying "discovered thanks to the OEIS".

Давайте я продолжу про лекцию Кричевера и про интегрируемые системы. Поскольку за растянувшимся на больше, чем неделю, рассказом в канале следить сложно — вот содержание того, что было и что я ещё хочу (попробовать) записать.

* история: инженер Джон Скотт Рассел и одинокая волна в канале
* уравнение Кортевега-де Фриза, и две его "половинки": уравнение Римана-Хопфа (опрокидывающаяся волна) и "размывающее" u_t=u_xxx.
* история: парадокс Ферми-Паста-Улама
+* (не из той лекции — но из записок курса Н. А. Рожковской): одно- и двух-солитонные решения. Как сталкиваются солитоны?
+* « дискретные » солитоны: шарики на прямой, box-ball systems. Как сталкиваются дискретные солитоны?
* магия начинается: пары Лакса.
+* псевдодифференциальные операторы: откуда взялись L и A?
+* конечнозонные потенциалы, коммутирующие дифференциальные операторы и спектральная кривая
* Алгебраическая геометрия: мультисолитонное решение, система линейных уравнений и рациональная кривая с двойными точками.

Так вот, про солитоны. Найти решение уравнения Кортевега-де Фриза, двигающееся с постоянной скоростью, не очень сложно. Мы это сделаем чуть позже — а пока посмотрим на ответ.
Если уравнение KdV записать с константами
u_t + (3/2) u u_x + (1/4) u_{xxx} =0,
то начальное условие с профилем
f(x)= 2k^2 / cosh^2 (kx)
будет двигаться вправо со скоростью v=k^2. Да, k тут не обязательно целое — просто его традиционно обозначают именно этой буквой. А cosh(x)=(e^x+e^{-x})/2 — гиперболический косинус. Поскольку он быстро растёт с ростом |x|, и стоит в знаменателе — волна получается очень хорошо локализованная…

Вот как движется такое решение с k=1.

Естественный вопрос: а что будет, если их столкнуть по-настоящему? Запустить в одном решении достаточно далеко друг от друга, чтобы они друг друга не чувствовали, и подождать, пока более быстрый не догонит более медленный. Не получится ли красивого соударения, как на коллайдере?

Удивительный ответ: солитоны провзаимодействуют, но выживут.
Давайте посмотрим на вот такое решение KdV — я взял формулу из всё тех же записок курса Н. А. Рожковской, см. с. 12 файла.
(Да, на первый взгляд формула выглядит ужасом. Но не всё так страшно!)

Я буду рисовать поверх синего точного решения оранжевый график — сумму двух солитонов. Если бы уравнение было линейным, то сумма решений была бы решением (и если предположить устойчивость, то оранжевое « решение » всегда продолжило бы идеально закрывать синее). А что мы увидим на самом деле?

t=-1.75, горбы начинают сближаться…

t=-0.75, волны уже зацепились друг за друга, но всё ещё ведут себя, как если бы решение было суммой…

t=-0.25. Синее решение начинает проявляться из-под графика суммы. Видно, что его пик стал ниже, чем был бы максимум суммы.

t=0, « момент столкновения ». Горбы слились в одну волну — более широкую и менее высокую, чем была бы их сумма.

t=0.25. Сумма волн ещё была бы « слившейся » — а вот настоящее решение уже начинает разделяться…

t=0.5: … синее решение уже заметно разделилось на два горба…

t=0.75: сумма ведёт себя похоже на то, как настоящее решение вело себя пару слайдов назад — а настоящее уже совсем разделилось…

t=1.25: настоящее решение разделилось обратно на два солитона… только более медленный из них левее, а более быстрый правее, чем они были бы, если бы не взаимодействовали. А давайте сдвинем слагаемые в сумме?