t=0.25. Сумма волн ещё была бы « слившейся » — а вот настоящее решение уже начинает разделяться…

t=0.5: … синее решение уже заметно разделилось на два горба…

t=0.75: сумма ведёт себя похоже на то, как настоящее решение вело себя пару слайдов назад — а настоящее уже совсем разделилось…

t=1.25: настоящее решение разделилось обратно на два солитона… только более медленный из них левее, а более быстрый правее, чем они были бы, если бы не взаимодействовали. А давайте сдвинем слагаемые в сумме?

Иии… Зелёная сумма — когда мы медленный солитон сдвинули влево, а быстрый вправо — опять идеально закрыла синий график точного решения!

То есть — солитоны « столкнулись », провзаимодействовали. Но когда разошлись, то остались сами собой — просто медленный в результате отстал, а быстрый ушёл вперёд. Удивительно, правда?

Интересно, что на то же самое столкновение можно смотреть по-другому. Можно считать, что происходит абсолютно упругое столкновение между частицами-солитонами — в результате которого, как и положено при соударении одинаковых частиц на прямой, они обмениваются импульсами. Просто импульс (или скорость) частицы-солитона влияет на то, как он выглядит как волна; так что тот солитон, что был впереди, впереди и остался, просто у него теперь импульс больше.

Немного уходя в сторону — солитоны можно видеть и в дискретных моделях. Меня когда-то очень простой и симпатичной такой модели научил Е. Ю. Смирнов (он как раз тогда вернулся из поездки, где это узнал — и мы стояли вечером около метро и беседовали; до сих пор это помню!).

Итак, Box-Ball System. Пусть в каждой целочисленной точке на прямой выкопана лунка; в некоторых из них лежит по камню (всего — конечное число).
Каждую минуту из минус бесконечности в плюс бесконечность пробегает гонец с мешком. Пробегая мимо камня, он его подбирает и убирает в мешок. Пробегая мимо пустой лунки, если у него есть хоть один камень в мешке — он туда один камень кладёт.
Эквивалентно ещё можно сказать так: начиная с самого левого камня, последовательно перемещаем каждый камень, который ещё не сдвинут, в ближайшую пустую лунку правее него.
(Да — вот тут про эту модель рассказывает Vincent Duchêne на « пятиминутке Лебега ».)

Тогда группа из n камней образует « солитон » — движущийся как раз со скоростью n. А что будет, если два таких солитона столкнутся?

И… в момент столкновения группы как-то смешались — но потом опять разошлись именно как группы из 2 и 5 камней (а не 3 и 4, например!).

При этом положении момент столкновения не очень хорошо виден — давайте чуть-чуть сдвинем начальное положение одной из групп. Теперь виден момент « 4 камня-2 пустых-3 камня », когда как раз и происходит столкновение групп. Но расходятся опять как группы из 2 и из 5 камней!

А что с положениями этих групп? Как и раньше — более быстрая группа сдвигается вперёд, а более медленная назад!
(Опять же, можно думать об упругом столкновении, когда задняя группа передаёт свой импульс передней.)

https://youtu.be/POmhapS12mA

Tadashi Tokieda. Pure Mathematics as Applied Physics

24.01 7pm ET = 25.01, 03:00Msk
(неловко анонсировать мероприятие в такое время, но лектор совершенно замечательный, а записи не планируется)

Humans tend to be better at physics than at mathematics. When an apple falls from a tree, there are more people who can catch it—they know physically how the apple moves—than people who can compute its trajectory from a differential equation. Applying physical ideas to discover and explain mathematical results is therefore natural, even if it has seldom been tried in the history of science. (The exceptions include Archimedes, some old Russian sources, a recent book of Levi’s, as well as my articles and lectures.) A variety of elementary yet surprising examples will be presented.

Добавлю (к пересылаемому) от себя — Тадаси совершенно прекрасен! Очень много что я узнал в первый раз от него, включая истории про приливы, про муары (как раз то, что я тут рассказывал), и так далее.

Давайте теперь посмотрим, как можно искать солитонные решения?

Солитон движется, сохраняя свою форму. То есть нас интересует решение, которое просто движется вперёд с фиксированной скоростью c. Это значит, что производная u_t это просто -c*u_x. И наоборот, если в начальный момент времени у нас выполнено равенство u_t = -c * u_x (и мы верим в единственность решения), то решение и дальше « поедет со скоростью c », будет иметь вид
u(t,x) = u(0,x-ct).
И вот мы и получаем уравнение на профиль f(x)=u(0,x) солитона: нужно просто заменить u_t на -cu_x в уравнении КдФ. Итого:

-c f_x + (3/2) f f_x + (1/4) f_xxx = 0.

Будем решать? (Сейчас окажется, что всё вполне решается, причём с интересными промежуточными шагами.)

Во-первых, можно заметить, что выражение выше это производная по x от чего-то явного. Потому что
f * f_x = (f^2/2)_x;
и в сумме выражение это производная от
-c f + (3/4) f^2 + (1/4) f_xx.
И раз производная равна нулю — то это выражение равно (неизвестной) константе A.

Во-вторых, уравнение (давайте его сразу на 4 умножим)
f_xx = F(f),
где F(f) = - 3 f^2 + 4c f + 4A —
это уравнение Ньютона: движение материальной точки f(x) в поле сил F(f), отвечающего потенциальной энергии U(f), для которой F(f)=-U’(f). Только роль времени играет координата x!

Потенциальная энергия
U(f) = f^3 - 2c f^2 + 4Af,
и следующий шаг тут — стандартный при работе с уравнением Ньютона: закон сохранения энергии: сумма кинетической и потенциальной энергии,
(1/2) f_x^2 + U(f),
не зависит от x. Можно, конечно, проигнорировать физический смысл происходящего и просто сказать, что мы домножаем уравнение на f_x, после чего опять оно оказывается производной по x — как раз от « полной энергии ». Потому что f_x f_xx это как раз производная от (1/2) f_x^2, ну а -F(f) f_x получается при дифференцировании U(f(x)).

Итак,
(1/2) f_x^2 + U(f) = E,
где E — (ещё одна неизвестная) константа. Это позволяет выразить (с точностью до знака) « скорость » f_x через « положение » f,
df/dx = f_x = \pm \sqrt{2 (E-U(f))}.
Иными словами, нам известна (ну, с точностью до знака) « скорость » f_x в любом « месте » f. Значит, мы знаем, сколько « времени » x нужно, чтобы пройти от одного значения f до другого: время в пути это интеграл по пути от единицы на скорость. Иными словами, если домножить на dx и поделить на выражение для f_x, получится
df/ \sqrt{2 (E-U(f))} = \pm dx,
и интеграл в левой части это функция от f, а в правой от x.

Первое замечание — мы только что научились решать (ну, с использованием « волшебной палочки » в виде неопределённого интеграла, но это в этой науке традиционно) одномерные автономные дифференциальные уравнения первого порядка. А сводя к ним с помощью закона сохранения энергии — и одномерные уравнения классической механики (уравнения Ньютона).

Второе — что вообще-то мы пока ничего не понимаем, потому что у нас остался тот самый неопределённый интеграл, на который мы даже не посмотрели… Так что до того, как дальше возиться с формулами, хорошо бы понять геометрию происходящего.

Давайте для каких-нибудь разумных констант нарисуем график потенциальной энергии. Скажем, пусть c=1, A=-1/2. Вот соответствующий график « потенциальной энергии »
U(f)=f^3 - 2 f^2 - 2 f