Потенциальная энергия
U(f) = f^3 - 2c f^2 + 4Af,
и следующий шаг тут — стандартный при работе с уравнением Ньютона: закон сохранения энергии: сумма кинетической и потенциальной энергии,
(1/2) f_x^2 + U(f),
не зависит от x. Можно, конечно, проигнорировать физический смысл происходящего и просто сказать, что мы домножаем уравнение на f_x, после чего опять оно оказывается производной по x — как раз от « полной энергии ». Потому что f_x f_xx это как раз производная от (1/2) f_x^2, ну а -F(f) f_x получается при дифференцировании U(f(x)).
U(f) = f^3 - 2c f^2 + 4Af,
и следующий шаг тут — стандартный при работе с уравнением Ньютона: закон сохранения энергии: сумма кинетической и потенциальной энергии,
(1/2) f_x^2 + U(f),
не зависит от x. Можно, конечно, проигнорировать физический смысл происходящего и просто сказать, что мы домножаем уравнение на f_x, после чего опять оно оказывается производной по x — как раз от « полной энергии ». Потому что f_x f_xx это как раз производная от (1/2) f_x^2, ну а -F(f) f_x получается при дифференцировании U(f(x)).
Итак,
(1/2) f_x^2 + U(f) = E,
где E — (ещё одна неизвестная) константа. Это позволяет выразить (с точностью до знака) « скорость » f_x через « положение » f,
df/dx = f_x = \pm \sqrt{2 (E-U(f))}.
Иными словами, нам известна (ну, с точностью до знака) « скорость » f_x в любом « месте » f. Значит, мы знаем, сколько « времени » x нужно, чтобы пройти от одного значения f до другого: время в пути это интеграл по пути от единицы на скорость. Иными словами, если домножить на dx и поделить на выражение для f_x, получится
df/ \sqrt{2 (E-U(f))} = \pm dx,
и интеграл в левой части это функция от f, а в правой от x.
(1/2) f_x^2 + U(f) = E,
где E — (ещё одна неизвестная) константа. Это позволяет выразить (с точностью до знака) « скорость » f_x через « положение » f,
df/dx = f_x = \pm \sqrt{2 (E-U(f))}.
Иными словами, нам известна (ну, с точностью до знака) « скорость » f_x в любом « месте » f. Значит, мы знаем, сколько « времени » x нужно, чтобы пройти от одного значения f до другого: время в пути это интеграл по пути от единицы на скорость. Иными словами, если домножить на dx и поделить на выражение для f_x, получится
df/ \sqrt{2 (E-U(f))} = \pm dx,
и интеграл в левой части это функция от f, а в правой от x.
Первое замечание — мы только что научились решать (ну, с использованием « волшебной палочки » в виде неопределённого интеграла, но это в этой науке традиционно) одномерные автономные дифференциальные уравнения первого порядка. А сводя к ним с помощью закона сохранения энергии — и одномерные уравнения классической механики (уравнения Ньютона).
Второе — что вообще-то мы пока ничего не понимаем, потому что у нас остался тот самый неопределённый интеграл, на который мы даже не посмотрели… Так что до того, как дальше возиться с формулами, хорошо бы понять геометрию происходящего.
Второе — что вообще-то мы пока ничего не понимаем, потому что у нас остался тот самый неопределённый интеграл, на который мы даже не посмотрели… Так что до того, как дальше возиться с формулами, хорошо бы понять геометрию происходящего.
Математические байки
Давайте для каких-нибудь разумных констант нарисуем график потенциальной энергии. Скажем, пусть c=1, A=-1/2. Вот соответствующий график « потенциальной энергии » U(f)=f^3 - 2 f^2 - 2 f
Если мы запустим в такое поле « шарик » с полной энергией E=3 (малиновая линия) — то он просто улетит в минус бесконечность. То есть вместо настоящего солитона f(x) у нас будет что-то, уходящее в минус бесконечность на конечной области переменной x. И это совершенно не то, что хочется.
Математические байки
Давайте для каких-нибудь разумных констант нарисуем график потенциальной энергии. Скажем, пусть c=1, A=-1/2. Вот соответствующий график « потенциальной энергии » U(f)=f^3 - 2 f^2 - 2 f
Если мы запустим в такое поле « шарик » с полной энергией E=0 (зелёная линия) — то он будет колебаться взад-вперёд в потенциальной яме. Это уже лучше — потому что мы всё-таки получим решение, которое просто едет вперёд с постоянной скоростью. Но это не « одна волна », оно периодично и потому отказывается убывать на бесконечности!
Так вот, давайте увеличивать энергию нашей материальной точки, не переходя через энергию локального максимума — чтобы f не улетела в минус бесконечность. Тогда на « холм » перед пропастью точка будет вкатываться всё дольше — и всё дольше будет с него скатываться. А в пределе, поставив энергию в точности равной локальному максимуму U, мы получим решение, которое и в плюс, и в минус бесконечности будет стремиться к верхней точке « холма »!
(Синий и фиолетовый графики — энергии, которым чуть-чуть не хватает до предельной. Красный — предельное значение.)
Мы почти построили солитон… только вот стремится он на бесконечности не к нулю, а всего лишь к константе.
(Синий и фиолетовый графики — энергии, которым чуть-чуть не хватает до предельной. Красный — предельное значение.)
Мы почти построили солитон… только вот стремится он на бесконечности не к нулю, а всего лишь к константе.
Просто красивое: текущие рабочие картинки. Подробности будут, но потом. : )
Forwarded from Непрерывное математическое образование
https://news.1rj.ru/str/sweet_homotopy/1765 и далее — про то, как рисовать тор, зачем ему рога, про складки и сборки…
Forwarded from Непрерывное математическое образование
https://wolffund.org.il/2023/02/07/ingrid-daubechies/
премию Вольфа 2023 года по математике получает Ингрид Добеши за теорию всплесков (вейвлетов) и прикладной гармонический анализ
премию Вольфа 2023 года по математике получает Ингрид Добеши за теорию всплесков (вейвлетов) и прикладной гармонический анализ
Я давно — три года назад — рассказывал ( https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/1279 ) про её лекцию на ICM-2018: как у холстов возникают свои « отпечатки пальцев », и что мы благодаря этому знаем.
Telegram
Математические байки
Эта история, которую я узнал из лекции Ингрид Добеши (https://www.youtube.com/watch?v=Z19uz6Bol3I&feature=youtu.be&t=160 ) на ICM-2018 в Рио — не совсем про математику, а про её применение в искусстве.
Там было несколько сюжетов, но один из них — про холсты…
Там было несколько сюжетов, но один из них — про холсты…
Математические байки
Я давно — три года назад — рассказывал ( https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/1279 ) про её лекцию на ICM-2018: как у холстов возникают свои « отпечатки пальцев », и что мы благодаря этому знаем.
Рабочие записки: наш с Марком сегодняшний прогресс под кодовым словом « чудо ».
На этой картинке изображены две гистограммы двух распределений, получающихся не самым простым образом. Одна нарисована розовым, а другая голубым. А что всё нарисовано малиновым — так это потому, что распределения на самом деле совпадают.
Вчера мы заметили, что у них одинаковые матожидание и дисперсия. Это, конечно, ещё ни о чём не говорит. Но с учётом того, что они ещё и от параметров зависят, и вот буквально всегда матожидания и дисперсии совпадали — это начинало быть подозрительным. В смысле, что « скорее всего, нет, но проверить надо ».
А сегодня ещё чуть-чуть подумали, и поняли, как это надо проверять. И буквально сразу получилась конструкция, из которой следует, что распределения и впрямь совпадают.
Осталось всё это записать. 🙂
На этой картинке изображены две гистограммы двух распределений, получающихся не самым простым образом. Одна нарисована розовым, а другая голубым. А что всё нарисовано малиновым — так это потому, что распределения на самом деле совпадают.
Вчера мы заметили, что у них одинаковые матожидание и дисперсия. Это, конечно, ещё ни о чём не говорит. Но с учётом того, что они ещё и от параметров зависят, и вот буквально всегда матожидания и дисперсии совпадали — это начинало быть подозрительным. В смысле, что « скорее всего, нет, но проверить надо ».
А сегодня ещё чуть-чуть подумали, и поняли, как это надо проверять. И буквально сразу получилась конструкция, из которой следует, что распределения и впрямь совпадают.
Осталось всё это записать. 🙂
Forwarded from Непрерывное математическое образование
https://arxiv.org/abs/2303.10798
https://cs.uwaterloo.ca/~csk/hat/
D.Smith, J.S.Myers, C.S.Kaplan, C.Goodman-Strauss пишут, что нашли одну плитку, которой можно замостить плоскость, но только апериодически
https://cs.uwaterloo.ca/~csk/hat/
D.Smith, J.S.Myers, C.S.Kaplan, C.Goodman-Strauss пишут, что нашли одну плитку, которой можно замостить плоскость, но только апериодически
Непрерывное математическое образование
https://arxiv.org/abs/2303.10798 https://cs.uwaterloo.ca/~csk/hat/ D.Smith, J.S.Myers, C.S.Kaplan, C.Goodman-Strauss пишут, что нашли одну плитку, которой можно замостить плоскость, но только апериодически
Нью-Йоркский музей математики (MoMath) выложил видео, где про эту работу (и то, как они до этого дошли) рассказывают два из четырёх её авторов, Craig S. Kaplan и Chaim Goodman-Strauss:
https://www.youtube.com/watch?v=FkZPMf73qYc
Очень классное!
https://www.youtube.com/watch?v=FkZPMf73qYc
Очень классное!