Первое замечание — мы только что научились решать (ну, с использованием « волшебной палочки » в виде неопределённого интеграла, но это в этой науке традиционно) одномерные автономные дифференциальные уравнения первого порядка. А сводя к ним с помощью закона сохранения энергии — и одномерные уравнения классической механики (уравнения Ньютона).

Второе — что вообще-то мы пока ничего не понимаем, потому что у нас остался тот самый неопределённый интеграл, на который мы даже не посмотрели… Так что до того, как дальше возиться с формулами, хорошо бы понять геометрию происходящего.

Давайте для каких-нибудь разумных констант нарисуем график потенциальной энергии. Скажем, пусть c=1, A=-1/2. Вот соответствующий график « потенциальной энергии »
U(f)=f^3 - 2 f^2 - 2 f

Если мы запустим в такое поле « шарик » с полной энергией E=3 (малиновая линия) — то он просто улетит в минус бесконечность. То есть вместо настоящего солитона f(x) у нас будет что-то, уходящее в минус бесконечность на конечной области переменной x. И это совершенно не то, что хочется.

Если мы запустим в такое поле « шарик » с полной энергией E=0 (зелёная линия) — то он будет колебаться взад-вперёд в потенциальной яме. Это уже лучше — потому что мы всё-таки получим решение, которое просто едет вперёд с постоянной скоростью. Но это не « одна волна », оно периодично и потому отказывается убывать на бесконечности!

Давайте подумаем. Частота колебаний на разных уровнях энергии может быть разной — вот тут на E=0 (синий график) наложили колебания с E=-1 (малиновый).

https://news.1rj.ru/str/sweet_homotopy/1765 и далее — про то, как рисовать тор, зачем ему рога, про складки и сборки…

О, это замечательно!

https://wolffund.org.il/2023/02/07/ingrid-daubechies/

премию Вольфа 2023 года по математике получает Ингрид Добеши за теорию всплесков (вейвлетов) и прикладной гармонический анализ

Я давно — три года назад — рассказывал ( https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/1279 ) про её лекцию на ICM-2018: как у холстов возникают свои « отпечатки пальцев », и что мы благодаря этому знаем.

А В.Ю.Протасов в ЛШСМ два года подряд — в 2015 и в 2016 — читал курсы про обработку/разложение сигналов (как хранить или передавать картинки?). Второй из этих курсов заканчивался как раз всплесками Добеши — а вот картинка из его записок от этих курсов (которые несколько лет назад издали).

Рабочие записки: наш с Марком сегодняшний прогресс под кодовым словом « чудо ».

На этой картинке изображены две гистограммы двух распределений, получающихся не самым простым образом. Одна нарисована розовым, а другая голубым. А что всё нарисовано малиновым — так это потому, что распределения на самом деле совпадают.

Вчера мы заметили, что у них одинаковые матожидание и дисперсия. Это, конечно, ещё ни о чём не говорит. Но с учётом того, что они ещё и от параметров зависят, и вот буквально всегда матожидания и дисперсии совпадали — это начинало быть подозрительным. В смысле, что « скорее всего, нет, но проверить надо ».

А сегодня ещё чуть-чуть подумали, и поняли, как это надо проверять. И буквально сразу получилась конструкция, из которой следует, что распределения и впрямь совпадают.

Осталось всё это записать. 🙂

Ух ты!!!

https://arxiv.org/abs/2303.10798
https://cs.uwaterloo.ca/~csk/hat/

D.Smith, J.S.Myers, C.S.Kaplan, C.Goodman-Strauss пишут, что нашли одну плитку, которой можно замостить плоскость, но только апериодически

Нью-Йоркский музей математики (MoMath) выложил видео, где про эту работу (и то, как они до этого дошли) рассказывают два из четырёх её авторов, Craig S. Kaplan и Chaim Goodman-Strauss:
https://www.youtube.com/watch?v=FkZPMf73qYc
Очень классное!

Тем временем, ChatGPT прекрасно справляется с задачами ММО

Коллеги посмотрели, что будет, если дать GPT4 задачи с ММО. Первый результат интересен, но « в пределах ожидаемого »: задача, пусть и с параметром, но с шагами, естественно связанными с формулировкой. Хотя формулировка « касательные к графикам перпендикулярны, если их коэффициенты наклона обратны с изменением знака », « tangents are perpendicular if their slopes are negative reciprocals », конечно, уже… внушает.

А вот это — совсем дааа….