Для случая (б) — откладываем карточку C, про которую мы не знаем ответа, в сторону, и смотрим XOR в какой-нибудь (меньшей по размеру) из кучек К.
- Если получилось 0000 — нам не соврали, а C нужно положить в другую кучку K’.
- Если получился код C — нам не соврали, а C нужно положить в ту же кучку K.
- Если ни то, ни другое, но в сумме одна или три единицы, то нам соврали, и эта сумма это код соответствующей карточки. Перекладываем её из одной кучки в другую, и кладём С в K’.
- И наконец, иначе добавляем ещё и код C; должен получиться код карточки, которую нужно переложить из одной кучки в другую. А карточку C кладём в K.

Всё, враньё поймали, разложили ответы правильно, и опять складываем красные числа в стопке «да».

Ну и последний сюжет. Код Адамара — он же код Рида-Мюллера RM(1,4).

Это код типа [16,5,8] — то есть в 16 битах сообщения мы передаём 5 бит информации, а кодовое расстояние равно 8.
Соответственно — загадывающему можно разрешить соврать 3 раза, или 2 раза соврать, а ещё про 3 карточки отказаться отвечать. И всё равно можно будет угадать загаданное число!

На этот раз карточки нужно не разрезать, а оставить одним большим квадратом 4x4. И запастись 20 «жетончиками» (монетками, или ещё чем-нибудь) — чтобы зафиксировать ответы и вести промежуточные вычисления. Можно, конечно, и ручкой отмечать, но тогда карточки одноразовыми будут, а это жалко.

Начало обычное — фокусник спрашивает, на каких из 16 « карточек » (квадратов 4x4) присутствует загаданное число. И загадывающий или фокусник как-то это отмечают: скажем, раскладывают монетки на те квадраты, где ответ « да » (и пустые бумажки на те, где загадывающий промолчал).

А вот дальше — интересное.

Давайте для начала посмотрим, как устроен сам этот код. Загадано число от 0 до 31 — то есть его 5 бит двоичной записи,
a_4 a_3 a_2 a_1 a_0.
Сопоставим нашим карточкам 16 вершин 4-мерного булевского куба {0,1}^4. И превратим наши 5 бит в 5 коэффициентов аффинной (линейной неоднородной) функции на этом кубе:
L (x_0,x_1,x_2,x_3) = a_0 x_0 + a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 + a_4.
Её 16 значений во всех вершинах — это и есть наш код.
И то, что кодовое расстояние равно 8, проверяется мгновенно: ведь ненулевая аффинная функция на булевском гиперкубе ненулевая по меньшей мере в половине его вершин (или во всех, если она константа).
Правда, изящно?
Осталось научиться восстанавливать исходное число!

Из двух чисел, отличающихся только старшим битом (a_4) двоичной записи, на каждой карточке присутствует ровно одно. Так что, когда мы голосованием выяснили четыре младших бита и нашли соответствующее число — смотрим, на каких карточках оно встречается. Если видим, что плюс-минус на тех же, которые указал отгадывающий (отклонение не больше разрешённого количества неверных ответов), то мы угадали. Если практически «всё наоборот», то нужно прибавить 16. А если ни то, ни то, то вообще-то так быть не должно, так что фокуснику нужно перепроверить себя.

Несколько сложно, да — но получается очень устойчивый код. И почти такой же код — только R(1,5), а не R(1,4), то есть код типа [32,6,16] — реально применялся в космосе для связи с Маринером-9!

в 2005 году на ММО предлагалось разрезать круг на равные части так, чтобы центр не лежал на границе хотя бы одной из них (С.Маркелов)

на картинке — решение 1502 года от Дионисия и мастерской (via Н.Андреев)

¹ №35 на http://www.dionisy.com/museum/447/

P.S. Про наблюдение — скопирую из поста 2021 года:
==
Оптимальный способ наблюдения — делается дырочка (или несколько) в листе картона или плотной бумаги, и смотрится на тень от этого листа:
https://www.timeanddate.com/eclipse/make-pinhole-projector.html
Плюс такого наблюдения — безопасность: при таком наблюдении нет нужды смотреть даже вообще в сторону Солнца.
(Вот тут фотография тени дерева — где таких просветов в листве оказалось много: http://www.astronet.ru/db/msg/1162946 )

https://mccme.ru/nir/seminar/

в четверг (19.10) на семинаре учителей математики Наталья Нетрусова будет рассказывать про семейный турнир головоломок в Тбилиси, Иван Яковлев — про телеграм-канал «Кроссворд Тьюринга»

19:00Msk, zoom, подробности на сайте

в качестве картинок по выходным — напечатанное на 3d-принтере фрактальное дерево и его тени

(via complextrees.com via Н.Андреев)

Моё решение: ====== ===== ==== (=========) ========= ========, поэтому [ответ]

Расшифровка: «неделю назад было (кольцевое) солнечное затмение, поэтому первая четверть».

Собственно, затмение было 14-го, в субботу, так что в воскресенье 22-го линия терминатора на Луне была почти прямой.

А ещё есть такое правило — «затмения ходят парами с разницей в две недели» (только вот лунное видно отовсюду, откуда в нужное время видно Луну, а солнечное — только там, куда тень Луны упадёт, а это область маленькая). Так что вечером 28-го октября, если погода позволит, много откуда можно наблюдать частичное лунное затмение (см. скриншот с timeanddate.com).

Спасибо коллегам, приславшим два других решения:

И.П.: «Привет. Насчёт фазы луны -- я когда прочитал вопрос даже не понял что может быть другой ответ чем этот: В еврейском календаре Новый Год (Рош ха Шана) начинается в с новой луны. Симхат Тора - 23й день, а она была 2 недели назад…»

Е.С.: «Привет! Про луну. Про затмение я не сообразил, зато помнил, когда был Праздник середины осени (29 сентября). А в этот день надо любоваться полной луной.»


P.S. А тем временем почти неделя прошла — так что частичное лунное затмение уже завтра (28-го) ночью. Если будет хорошая погода — не пропустите.

к юбилею Юлия Сергеевича Ильяшенко — пусть здесь будет его обзор «Столетняя история 16-й проблемы Гильберта» в трудах семинара «Глобус»

Ещё один сюжет — про меры с нулевым центральным показателем Ляпунова.

Есть давний вопрос теории динамических систем: «как ведёт себя типичная динамическая система?». В его понимании за прошедшие лет сто происходило несколько революций.

Когда-то — казалось, что типичная динамическая система «сваливается» в простой предельный режим: стремится к положению равновесия или периодической траектории.

Работы Картрайт, Литтлвуда и Левинсона, открытие подковы Смейла и диффеоморфизмов Аносова в начале 60-ых показали, что бывают неустранимо-хаотичные системы. И это была революция гиперболической динамики.

Типичный пример тут — отображение A=(2,1 \\ 1,1), действующее на торе R^2/Z^2: точка (x,y) переходит в (2x+y,x+y). У матрицы одно собственное значение λ_1 больше 1, второе λ_2 меньше.
Заменой координат на плоскости R^2 матрицу A можно было бы привести к диагональному виду: одна координата умножается на λ_1, вторая на λ_2 — и почти любая пара близких орбит разбегается с экспоненциальной скоростью: разница новых первых координат умножается на λ_1 на каждом шаге. Наоборот, если мы попробуем продолжить траектории в прошлое, траектории тоже будут разбегаться: разница новых вторых координат будет делиться на λ_2 на каждом шаге, и это опять экспоненциальное возрастание.

Произвольная система f:X->X, конечно, совершенно не линейная. Но рядом с любой точкой p можно посмотреть, что происходит «в линейном приближении». А именно, можно взять отображение за n шагов f^n, взять у него [~~производную~~] дифференциал в этой точке
B=df^n |_p,
взять её сингулярные значения µ_j (корни из собственных значений B^* B ) после чего посмотреть на величины
(1/n) log µ_j
(если бы у нас была линейная динамика, это были бы логарифмы модулей λ_j) и перейти к пределу, когда число итераций стремится к бесконечности. Эти пределы называются показателями Ляпунова.

Соответственно, положительный показатель Ляпунова отвечает экспоненциальному разбеганию траекторий, отрицательный — сближению. Если есть и положительные, и отрицательные показатели — то типичная пара точек разбегается со скоростью, диктуемой наибольшим показателем Ляпунова.

В чисто гиперболическом случае часть показателей Ляпунова положительна, часть отрицательна. И следующий вопрос — а может ли у типичной системы (и у её траекторий) быть не-экспоненциальное поведение? Насколько часто встречаются нулевые показатели Ляпунова? В точности нулевые — нельзя ли их изжить, если чуть-чуть "пошевелить" исходную систему?

Ещё в конце 1990-ых Юлий Сергеевич Ильяшенко и Антон Городецкий придумали стратегию Городецкого-Ильяшенко, которая позволяла строить примеры систем с нужным поведением траекторий (в том числе, в смысле показателей Ляпунова) «контролируемым образом».

А потом, в 2005-ом, мы вчетвером — Юлий Сергеевич, Антон, Максим Нальский и я — построили не разрушающийся малыми возмущениями пример, в котором нулевые показатели Ляпунова присутствовали не только в смысле отдельных траекторий, но и в смысле инвариантных мер. Эту работу мы между собой называли — по первым буквам фамилий — «ГИКН»; недавно коллеги, воспользовавшись анаграммой KING, назвали получающиеся из этой конструкции меры королевскими (royal measures). 🙂

И я помню два момента: когда всё только начиналось, мы сидели на 4-м этаже Независимого, Юлий Сергеевич объяснял нам, что хочется сделать, и у меня была (каюсь!) мысль «но это же не может сработать!». И второй, через несколько месяцев — когда стало понятно, что не просто всё работает, а что в результате получается «эндшпиль с лишними двумя фигурами»: можно довести рассуждение так, можно так, а можно вообще вот эдак, всё равно всё сходится. И это было очень сильно.

С днём рождения, Юлий Сергеевич! Спасибо Вам огромное — и всего Вам самого лучшего!