Давайте я чуть-чуть добавлю к тому, что пишут коллеги.

Все знают, что планеты движутся вокруг звезды по эллипсам. И навскидку не очень ясно, как это утверждение доказывать, не закапываясь в какие-нибудь жуткие выкладки.

Лет пять назад появилось выложил замечательное видео (на канале minutephysics с 3blue1brown) про лекцию Фейнмана об этом, « Feynman’s Lost Lecture ».
Я его очень рекомендую посмотреть — но если коротко, есть совершенно замечательный промежуточный шаг, который, услышав однажды, забыть нельзя.

Отложим скорости планеты в разные моменты времени от начала координат. Оказывается, что концы этих векторов образуют окружность — просто с центром не в начале координат!
(«Годограф скоростей — круглый»)

Чтобы вывести это утверждение, нужны и закон всемирного тяготения, и закон сохранения момента импульса (а точнее, следующий из него второй закон Кеплера — правило площадей). А вывод из него эллиптичности орбиты связан как раз с картинкой с эллипсом-огибающей!

(Я немного об этом когда-то писал — см. тут и ниже — но очень советую посмотреть и видео, и страницы/миниатюры Мат. Этюдов про огибающие.)

Анатолий Моисеевич Вершик (28.12.1933–14.02.2024)

https://www.kommersant.ru/doc/3200633

к юбилею Анатолия Моисеевича Вершика — напомним относительно недавнюю “математическую прогулку” с ним

https://www.mathnet.ru/present231

А.М.Вершик. «A что будет, если n очень большое?» (ЛШСМ-2008)

Для меня этот курс Вершика стал первым знакомством с асимптотической комбинаторикой. И с идеей, что очень часто число [комбинаторных] объектов большого размера N примерно данной формы оказывается ведущим себя, как экспонента от фиксированной степени N, умноженной на («энтропийный») функционал от формы — после чего предельная форма оказывается максимизирующей этот функционал.

(По ссылке на mathnet-е лежат и рабочие материалы/записки курса — https://www.mathnet.ru/PresentFiles/231/v231.pdf )

https://www.quantamagazine.org/elliptic-curve-murmurations-found-with-ai-take-flight-20240305/

знаете, что такое мурмурации? а для эллиптических кривых?

«when a transatlantic collaboration used statistical techniques and artificial intelligence to discover completely unexpected patterns in elliptic curves, it was a welcome, if unexpected, contribution. (…) Since then, in a series of recent papers, mathematicians have begun to unlock the reasons behind the patterns, dubbed “murmurations” for their resemblance to the fluid shapes of flocking starlings»

📢 Лекция Владимира ФОКА в это воскресенье, 10 марта 12:00 МСК

🎤 Возобновляется наш онлайн семинар для старшеклассников и студентов.

📘 Всю осень на matklassonline выходил курс по комбинаторике (а мы с Максом Карсаковым вели по нему кружок). Вместо последнего занятия была обещана лекция – и вот наконец она состоится!

Владимир Фок — математик, профессор университета Страсбурга, специалист по матфизике.

🔍 Теорема Эйлера и бозоны-фермионы

Пентагональная формула Эйлера даёт разложение бесконечного произведения ∏(1 - q^n) в сумму

∑ (-1^k)q^(3k^2 - k)/2 = 1 - q - q^2 + q^5 + q^7 - q^12 - ...

Доказательство этой формулы, вернее её обобщения — тройного произведения Якоби, предложенное Борхердсом, использует соответствие между диаграммами Юнга и диаграммами майя — бесконечными последовательностями крестиков и ноликов, а также понятие моря Дирака из физики. Идеи этого доказательства можно также использовать для решения многих других комбинаторных задач.

Доклад рассчитан на матшкольников начиная с 9 класса. Достаточно владения перечислительной комбинаторикой в объёме нашего курса.

⏰ Начало в 12:00 МСК. Обратите внимание на необычное время

📌 Ссылка на Zoom.

#открытые_лекции #анонс

Друзья! Мы забыли про ММО в воскресенье) Так что доклад переносится на субботу, 9 марта, на то же самое время!

Давайте я напишу пару слов про задачу 11-6 с сегодняшней ММО:

Кощей придумал для Ивана-дурака испытание. Он дал Ивану волшебную дудочку, на которой можно играть только две ноты — до и си. Для прохождения испытания Ивану нужно сыграть какую-нибудь мелодию из 300 нот на свой выбор. Но до того, как он начнёт играть, Кощей выбирает и объявляет запретными одну мелодию из пяти нот, одну — из шести нот, …, одну — из 30 нот. Если в какой-то момент последние сыгранные ноты образуют одну из запретных мелодий, дудочка перестаёт звучать. Сможет ли Иван пройти испытание, какие бы мелодии Кощей ни объявил запретными?

Понятно, что вместо мелодий можно говорить про слова из двух символов — например (чтобы не говорить « до » и « си »), из 0 и 1.

Для начала — а что, если Кощей начинает запрещать не с длины 5, а с длины 3? Оказывается, что тогда он может выиграть!

Действительно: пусть он сначала запретит слово 001. Тогда за двумя нулями может идти только третий — и значит, только последовательность из одних нулей. Так что пара запретов 001 + 000000000000 практически равносильна запрету просто на два нуля. (Практически — потому что если мы говорим о словах конечной длины, то там незадолго до конца написать короткий хвост из нулей будет можно, но 300 это достаточно большая длина, чтобы всё закончилось до того.)
Пусть Кощей эти два запрета (001 + 000000000000) и наложит.

Итак, два нуля запрещены, значит, за каждым нулём следует единица. Отлично!

Теперь Кощей запрещает 1101. Поскольку за нулём должна следовать единица — это более-менее то же самое, что запретить просто 110. И поэтому за двумя единицами будет следовать третья — так что, добавив к этому запрету 1111111111, Кощей добивается того, что и две единицы подряд запрещены.

За 0 следует 1, за 1 следует 0, теперь Кощей запрещает 01010 — и испытание становится непроходимым.
(Кстати, последовательности из 0 и 1 выше можно сократить до длин 6 и 7 соответственно — там они длинные, чтобы показать, что в этом месте можно обойтись и очень длинным запретом.)