появление эллипса на круглом листе бумаги ( via vk.com/thebeautyoftruth )

Любую гладкую кривую можно увидеть, нарисовав не саму кривую, а множество касательных к ней. Понятие огибающей подробно описано в сюжете «Парабола: изонить», в котором в качестве огибающей семейства прямых возникает парабола.

Но построение касательных не такое простое дело. Продемонстрируем, как увидеть конические сечения — эллипс, гиперболу, параболу — ничего не считая и не рисуя, а просто складывая листок бумаги. Сюжет сегодняшнего Математического вторника: «Эллипс, гипербола, парабола: складывание листа бумаги» https://etudes.ru/models/conic-sections-paper-folding/ . Для эллипса и гиперболы понадобится вырезать кружок из бумаги, для параболы – просто прямоугольный лист.

Похожие картинки можно уже было видеть в миниатюрах Эллипс как огибающая, Гипербола как огибающая, Парабола как огибающая. Но в них надо уметь строить перпендикуляр к отрезку, а в указанном сегодня способе складывания листочка эта операция «зашита» в сам способ складывания.

Давайте я чуть-чуть добавлю к тому, что пишут коллеги.

Все знают, что планеты движутся вокруг звезды по эллипсам. И навскидку не очень ясно, как это утверждение доказывать, не закапываясь в какие-нибудь жуткие выкладки.

Лет пять назад появилось выложил замечательное видео (на канале minutephysics с 3blue1brown) про лекцию Фейнмана об этом, « Feynman’s Lost Lecture ».
Я его очень рекомендую посмотреть — но если коротко, есть совершенно замечательный промежуточный шаг, который, услышав однажды, забыть нельзя.

Отложим скорости планеты в разные моменты времени от начала координат. Оказывается, что концы этих векторов образуют окружность — просто с центром не в начале координат!
(«Годограф скоростей — круглый»)

Чтобы вывести это утверждение, нужны и закон всемирного тяготения, и закон сохранения момента импульса (а точнее, следующий из него второй закон Кеплера — правило площадей). А вывод из него эллиптичности орбиты связан как раз с картинкой с эллипсом-огибающей!

(Я немного об этом когда-то писал — см. тут и ниже — но очень советую посмотреть и видео, и страницы/миниатюры Мат. Этюдов про огибающие.)

Анатолий Моисеевич Вершик (28.12.1933–14.02.2024)

https://www.kommersant.ru/doc/3200633

к юбилею Анатолия Моисеевича Вершика — напомним относительно недавнюю “математическую прогулку” с ним

https://www.mathnet.ru/present231

А.М.Вершик. «A что будет, если n очень большое?» (ЛШСМ-2008)

Для меня этот курс Вершика стал первым знакомством с асимптотической комбинаторикой. И с идеей, что очень часто число [комбинаторных] объектов большого размера N примерно данной формы оказывается ведущим себя, как экспонента от фиксированной степени N, умноженной на («энтропийный») функционал от формы — после чего предельная форма оказывается максимизирующей этот функционал.

(По ссылке на mathnet-е лежат и рабочие материалы/записки курса — https://www.mathnet.ru/PresentFiles/231/v231.pdf )

https://www.quantamagazine.org/elliptic-curve-murmurations-found-with-ai-take-flight-20240305/

знаете, что такое мурмурации? а для эллиптических кривых?

«when a transatlantic collaboration used statistical techniques and artificial intelligence to discover completely unexpected patterns in elliptic curves, it was a welcome, if unexpected, contribution. (…) Since then, in a series of recent papers, mathematicians have begun to unlock the reasons behind the patterns, dubbed “murmurations” for their resemblance to the fluid shapes of flocking starlings»