Эту неделю я в Institut Henri Poincaré, на воркшопе «Low Dimensional Actions»; и доклады первого дня были очень классные!
Ну и я попробую воспользоваться этим, чтобы какие-то кусочки написать сюда. А ещё у IHP есть прямая трансляция — см. https://www.ihp.fr/en/live-hermite-amphitheater .
На фото выше — Kathryn Mann читает первую лекцию мини-курса «Big mapping class groups» (а прямо сейчас идёт её вторая лекция), а Andrés Navas — лекцию «On the geometry of diffeomorphisms groups in dimension 1».
Ну и я попробую воспользоваться этим, чтобы какие-то кусочки написать сюда. А ещё у IHP есть прямая трансляция — см. https://www.ihp.fr/en/live-hermite-amphitheater .
На фото выше — Kathryn Mann читает первую лекцию мини-курса «Big mapping class groups» (а прямо сейчас идёт её вторая лекция), а Andrés Navas — лекцию «On the geometry of diffeomorphisms groups in dimension 1».
Математические байки
Эту неделю я в Institut Henri Poincaré, на воркшопе «Low Dimensional Actions»; и доклады первого дня были очень классные! Ну и я попробую воспользоваться этим, чтобы какие-то кусочки написать сюда. А ещё у IHP есть прямая трансляция — см. https://www.ihp.fr/en/live…
К первой фотографии отсюда (самое начало рассказа Катрин) — там был вопрос о том, какие группы на каких многообразиях (не) действуют.
Действуют — эффективно (faithful action), то есть ни один элемент, кроме единицы, не действует тождественно, ну и давайте сразу попросим сохранение ориентации, иначе можно перейти к подгруппе индекса 2, которая ориентацию сохраняет.
Например, нет никаких проблем в том, чтобы заставить действовать на отрезке, окружности или на прямой коммутативную группу Z^k (возьмём сдвиги на рационально-независимые времена вдоль одного и того же векторного поля) или свободную группу F_k (возьмём «абы какие» k гомеоморфизмов).
Но, например, если на прямой какая-нибудь группа действует эффективно и с сохранением ориентации, там не должно быть элементов конечного порядка. Потому что если f(x)>x, то для всех итераций f^n(x)>x.
И вообще тогда на группе есть лево-инвариантное отношение [полного] порядка. Грубо говоря — берём начальную точку x_0 и полагаем, что f «больше» g, если f(x_0)>g(x_0). Если x_0 не была неподвижной ни для какого нетривиального f, то на этом всё и заканчивается, а если нет, то нужно взять счётное плотное множество точек, {x_0,x_1,x_2,…}, — и если f(x_0)=g(x_0), то сравнивать f(x_1) с g(x_1), потом f(x_2) с g(x_2), и так далее.
А что, если в группе есть соотношения, но не такие, как коммутативность? Например, если мы хотим, чтобы действовала решётка в группе Ли?
Действуют — эффективно (faithful action), то есть ни один элемент, кроме единицы, не действует тождественно, ну и давайте сразу попросим сохранение ориентации, иначе можно перейти к подгруппе индекса 2, которая ориентацию сохраняет.
Например, нет никаких проблем в том, чтобы заставить действовать на отрезке, окружности или на прямой коммутативную группу Z^k (возьмём сдвиги на рационально-независимые времена вдоль одного и того же векторного поля) или свободную группу F_k (возьмём «абы какие» k гомеоморфизмов).
Но, например, если на прямой какая-нибудь группа действует эффективно и с сохранением ориентации, там не должно быть элементов конечного порядка. Потому что если f(x)>x, то для всех итераций f^n(x)>x.
И вообще тогда на группе есть лево-инвариантное отношение [полного] порядка. Грубо говоря — берём начальную точку x_0 и полагаем, что f «больше» g, если f(x_0)>g(x_0). Если x_0 не была неподвижной ни для какого нетривиального f, то на этом всё и заканчивается, а если нет, то нужно взять счётное плотное множество точек, {x_0,x_1,x_2,…}, — и если f(x_0)=g(x_0), то сравнивать f(x_1) с g(x_1), потом f(x_2) с g(x_2), и так далее.
А что, если в группе есть соотношения, но не такие, как коммутативность? Например, если мы хотим, чтобы действовала решётка в группе Ли?
Например: группа Ли SL(2,R) это линейные преобразования плоскости, так что их можно заставить действовать и на проективной прямой (a.k.a. «окружности направлений», a.k.a. множестве прямых, проходящих через 0) — получаются преобразования Мёбиуса (а в координате y=tg(\varphi) они задаются дробно-линейными отображениями). Так что то и любая решётка (дискретная подгруппа с конечным объёмом фактора) в SL(2,R) тоже умеет действовать на окружности.
Точно так же, решётки в SL(d,R) умеют действовать на проективном пространстве RP^{d-1} размерности (d-1). А можно ли их заставить (эффективно) действовать на чём-нибудь меньшей размерности?
(Точнее, если нет, то можно ли это как-нибудь запретить, доказать, что такого не бывает?)
Вот тут (https://mtriestino.perso.math.cnrs.fr/Zimmer_gazette.pdf ) есть обзорный текст Микеле Триестино (правда, по-французски) про состояние дел вокруг гипотезы Циммера (Zimmer conjecture), как раз и говорящей, что (неприводимые) решётки в группах Ли ранга больше 1 на многообразиях слишком маленькой размерности действовать C^1-диффеоморфизмами не должны. (А про гомеоморфизмы, без предположения о гладкости, сам Циммер ничего не спрашивал, так что называть этот вопрос буквально гипотезой Циммера нельзя…)
На картинке: формулировка гипотезы Циммера из обзора Микеле.
Точно так же, решётки в SL(d,R) умеют действовать на проективном пространстве RP^{d-1} размерности (d-1). А можно ли их заставить (эффективно) действовать на чём-нибудь меньшей размерности?
(Точнее, если нет, то можно ли это как-нибудь запретить, доказать, что такого не бывает?)
Вот тут (https://mtriestino.perso.math.cnrs.fr/Zimmer_gazette.pdf ) есть обзорный текст Микеле Триестино (правда, по-французски) про состояние дел вокруг гипотезы Циммера (Zimmer conjecture), как раз и говорящей, что (неприводимые) решётки в группах Ли ранга больше 1 на многообразиях слишком маленькой размерности действовать C^1-диффеоморфизмами не должны. (А про гомеоморфизмы, без предположения о гладкости, сам Циммер ничего не спрашивал, так что называть этот вопрос буквально гипотезой Циммера нельзя…)
На картинке: формулировка гипотезы Циммера из обзора Микеле.
Так вот, давайте ещё чуть-чуть посмотрим на прямую R.
Группа SL(2,Z), например, на ней действовать, сохраняя ориентацию, не может, причём не только эффективно, но и вообще хоть как-то нетривиально. Потому что её можно породить элементами конечного порядка — например, соответствующими матрицам (0, -1\\ 1, 0) и (1, -1 \\ 1, 0). А мы только что обсудили, что элементы конечного порядка могут на прямой действовать только тождественно.
Зато если взять подгруппу Г в SL(2,Z) индекса 12, порождённую матрицами
(1, 2\\ 0, 1) и (1, 0\\ 2, 1),
так эта подгруппа это просто свободная группа с этими элементами-образующими (что само по себе — хорошее упражнение!), так что её заставить действовать нет никаких проблем.
А что, если мы берём решётки в группе Ли большего ранга?
Сама по себе решётка SL(3,Z)<SL(3,R) на прямой действовать (сохраняя ориентацию) не может. По той же причине, что и раньше — она порождена своими элементами конечного порядка, которые действовать не могут.
А если мы будем рассматривать подгруппы конечного индекса в SL(3,Z)?
Группа SL(2,Z), например, на ней действовать, сохраняя ориентацию, не может, причём не только эффективно, но и вообще хоть как-то нетривиально. Потому что её можно породить элементами конечного порядка — например, соответствующими матрицам (0, -1\\ 1, 0) и (1, -1 \\ 1, 0). А мы только что обсудили, что элементы конечного порядка могут на прямой действовать только тождественно.
Зато если взять подгруппу Г в SL(2,Z) индекса 12, порождённую матрицами
(1, 2\\ 0, 1) и (1, 0\\ 2, 1),
так эта подгруппа это просто свободная группа с этими элементами-образующими (что само по себе — хорошее упражнение!), так что её заставить действовать нет никаких проблем.
А что, если мы берём решётки в группе Ли большего ранга?
Сама по себе решётка SL(3,Z)<SL(3,R) на прямой действовать (сохраняя ориентацию) не может. По той же причине, что и раньше — она порождена своими элементами конечного порядка, которые действовать не могут.
А если мы будем рассматривать подгруппы конечного индекса в SL(3,Z)?
Теорема (D. Witte, 1994): Если подгруппа конечного индекса Г в SL(k,Z), где k>=3, действует на окружности или на прямой, то на самом деле действует конечная группа, в которую Г отображается/факторизуется.
(D. Witte, Arithmetic Groups of Higher Q-Rank Cannot Act on 1-Manifolds, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 122, No. 2 (Oct., 1994), pp. 333-340)
(D. Witte, Arithmetic Groups of Higher Q-Rank Cannot Act on 1-Manifolds, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 122, No. 2 (Oct., 1994), pp. 333-340)
И рассуждения у Витте очень наглядные; давайте я их набросаю для SL(3,Z). Идея состоит в том, чтобы рассматривать «параболические» подгруппы — вроде
(1 * *)
(0 1 *)
(0 0 1);
правда, если мы рассматриваем подгруппу индекса d, то мы получим не все такие элементы, но уж d-ю степень любого элемента мы точно там получим.
А подгруппа, как выше — это группа Гейзенберга: два элемента a и b,
(1 d 0)
(0 1 0)
(0 0 1)
и
(1 0 0)
(0 1 d)
(0 0 1),
у которых коммутатор даёт третий,
(1 0 d^2)
(0 1 0)
(0 0 1)
с ними коммутирующий. (И да, тут есть ассоциация с квантовой механикой, где коммутатор операторов координаты и импульса это умножение на константу iℏ.)
(1 * *)
(0 1 *)
(0 0 1);
правда, если мы рассматриваем подгруппу индекса d, то мы получим не все такие элементы, но уж d-ю степень любого элемента мы точно там получим.
А подгруппа, как выше — это группа Гейзенберга: два элемента a и b,
(1 d 0)
(0 1 0)
(0 0 1)
и
(1 0 0)
(0 1 d)
(0 0 1),
у которых коммутатор даёт третий,
(1 0 d^2)
(0 1 0)
(0 0 1)
с ними коммутирующий. (И да, тут есть ассоциация с квантовой механикой, где коммутатор операторов координаты и импульса это умножение на константу iℏ.)
Математические байки
И рассуждения у Витте очень наглядные; давайте я их набросаю для SL(3,Z). Идея состоит в том, чтобы рассматривать «параболические» подгруппы — вроде (1 * *) (0 1 *) (0 0 1); правда, если мы рассматриваем подгруппу индекса d, то мы получим не все такие элементы…
После чего оказывается, что такое устроить на прямой можно. Но один из элементов a и b должен сдвигать точки прямой « гораздо сильнее », чем любая степень c. После чего — давайте возьмём 6 таких подгрупп в SL(3,Z), по одной для каждого порядка координат. И тот элемент, который играет роль a в одной из них, окажется играющим роль c в другой. После чего возникнет « круговая » цепочка неравенств, где каждый следующий по кругу элемент должен сдвигать точки на прямой сильнее (любой степени) предыдущего. А за 6 шагов мы вернёмся к исходной ситуации — вот и противоречие.
Математические байки
Эту неделю я в Institut Henri Poincaré, на воркшопе «Low Dimensional Actions»; и доклады первого дня были очень классные! Ну и я попробую воспользоваться этим, чтобы какие-то кусочки написать сюда. А ещё у IHP есть прямая трансляция — см. https://www.ihp.fr/en/live…
Но для рассуждения Витте нужны как раз вот такие «параболические» подгруппы. А что, если их в Г нет? Что, если Г — кокомпактная решётка в SL(3,R)?
Этот вопрос долго висел открытым, пока его не решили — тоже очень красивым и геометрическим рассуждением! — Бертран Деруан и Себастьян Хуртадо. И это всего несколько лет назад, в 2020-м:
см. Bertrand Deroin, Sebastian Hurtado, Non left-orderability of lattices in higher rank semi-simple Lie groups.
(Помню, как смотрел онлайн один из первых докладов Бертрана об этом — с ощущением «вау, они это сделали! а как???»)
Вот про это — на доске доклада Катрин галочка и строчки
1994 Witte Morris
2020 Deroin, Hurtado
напротив dim=1.
А следующие строчки,
«dim>=2 open» и «Open Q[uestion]:<…>»,
это то, что мотивировало меня написать этот пересказ. Потому что — даже для двумерной сферы не известно конечно-порождённых групп Г без элементов конечного порядка, про которые можно было бы сказать, что «вот эта группа на сфере точно не действует».
(Хотя, конечно, философия гипотезы Циммера подсказывает, что решётки в группах Ли большого ранга должны бы быть такими.)
Вот.
Этот вопрос долго висел открытым, пока его не решили — тоже очень красивым и геометрическим рассуждением! — Бертран Деруан и Себастьян Хуртадо. И это всего несколько лет назад, в 2020-м:
см. Bertrand Deroin, Sebastian Hurtado, Non left-orderability of lattices in higher rank semi-simple Lie groups.
(Помню, как смотрел онлайн один из первых докладов Бертрана об этом — с ощущением «вау, они это сделали! а как???»)
Вот про это — на доске доклада Катрин галочка и строчки
1994 Witte Morris
2020 Deroin, Hurtado
напротив dim=1.
А следующие строчки,
«dim>=2 open» и «Open Q[uestion]:<…>»,
это то, что мотивировало меня написать этот пересказ. Потому что — даже для двумерной сферы не известно конечно-порождённых групп Г без элементов конечного порядка, про которые можно было бы сказать, что «вот эта группа на сфере точно не действует».
(Хотя, конечно, философия гипотезы Циммера подсказывает, что решётки в группах Ли большого ранга должны бы быть такими.)
Вот.
arXiv.org
Non left-orderability of lattices in higher rank semi-simple Lie groups
We prove that an irreducible lattice in a real semi-simple Lie group of real rank at least two and finite center is not left-orderable.
Вчера я писал про сложные вещи — давайте сегодня, для баланса, про чуть более простые. А именно — я хочу порекламировать отличную лекцию, которую Владлен Тиморин недавно прочёл для Кроссворда Тьюринга (вот её анонс, комментарии после лекции со ссылками на материалы, и запись на YouTube).
Вопрос для затравки: вот есть теорема Бояйи—Гервина. Она утверждает, что если даны два многоугольника одинаковой площади, то один из них можно разрезать на части и передвинуть их так, что получится второй.
А что, если части разрешается только параллельно переносить, но не поворачивать? Например, можно ли превратить такими операциями правильный треугольник вершиной вверх в равный ему правильный треугольник вершиной вниз? А повернуть квадрат на 30 градусов?
Вопрос для затравки: вот есть теорема Бояйи—Гервина. Она утверждает, что если даны два многоугольника одинаковой площади, то один из них можно разрезать на части и передвинуть их так, что получится второй.
А что, если части разрешается только параллельно переносить, но не поворачивать? Например, можно ли превратить такими операциями правильный треугольник вершиной вверх в равный ему правильный треугольник вершиной вниз? А повернуть квадрат на 30 градусов?
Окончание лекции Владлена было посвящено внешним бильярдам. Определяются они так: пусть на плоскости задана выпуклая фигура P. Зададим отображение F в её дополнении так: чтобы найти F(x), проведём из точки x (правую) касательную к P, после чего отразим x симметрично относительно точки касания.
Стандартный вопрос теории динамических систем — что можно сказать о таком отображении, о его итерациях? В частности, как могут быть устроены его периодические точки?
Рассмотрим частный случай, когда P это выпуклый многоугольник — соответствующая динамическая система называется полигональным внешним бильярдом. Тогда плоскость делится на области, в которых внешняя касательная касается многоугольника в конкретной его вершине — и в ограничении на каждую такую область отображение F это центральная симметрия вокруг соответствующей вершины. А вторая итерация, F^2, состоит в разрезании области на части и применении на каждой из них какого-то параллельного переноса (композиция двух центральных симметрий). То есть получается отображение, чем-то похожее на перекладывание отрезков.
Если взять в качестве области P правильный треугольник, квадрат или шестиугольник, то оказывается, что все точки плоскости периодичны — на третьей из картинок иллюстрация для случая единичного квадрата; траектории всех точек из той же «клеточки» (с такими же целыми частями абсциссы и ординаты) замкнутся, пройдя по такому же пути.
(Впрочем, если говорить совсем аккуратно, надо ещё оговорить, что есть точки, где отображение F не определено — лежащие на продолжениях сторон; именно они и их прообразы разделяют идущие по-разному траектории.)
Стандартный вопрос теории динамических систем — что можно сказать о таком отображении, о его итерациях? В частности, как могут быть устроены его периодические точки?
Рассмотрим частный случай, когда P это выпуклый многоугольник — соответствующая динамическая система называется полигональным внешним бильярдом. Тогда плоскость делится на области, в которых внешняя касательная касается многоугольника в конкретной его вершине — и в ограничении на каждую такую область отображение F это центральная симметрия вокруг соответствующей вершины. А вторая итерация, F^2, состоит в разрезании области на части и применении на каждой из них какого-то параллельного переноса (композиция двух центральных симметрий). То есть получается отображение, чем-то похожее на перекладывание отрезков.
Если взять в качестве области P правильный треугольник, квадрат или шестиугольник, то оказывается, что все точки плоскости периодичны — на третьей из картинок иллюстрация для случая единичного квадрата; траектории всех точек из той же «клеточки» (с такими же целыми частями абсциссы и ординаты) замкнутся, пройдя по такому же пути.
(Впрочем, если говорить совсем аккуратно, надо ещё оговорить, что есть точки, где отображение F не определено — лежащие на продолжениях сторон; именно они и их прообразы разделяют идущие по-разному траектории.)
А что будет для других правильных многоугольников? Вообще-то, было бы логично, чтобы случаи n=3,4,6 оказались исключением. Потому что в этих-то случаях вектора, соединяющие различные вершины, все принадлежат некоторой решётке — и каждая вторая итерация обязана только на вектора из такой решётки смещаться, так что варианты для неё дискретны. А отсюда до периодичности уже недалеко: достаточно не убежать на бесконечность.
Но для других-то правильных многоугольников всё не так, множество в принципе возможных векторов сдвига (за много итераций) тут уже всюду плотное (а вовсе не дискретное)…
Скриншот выше — из записок обзорной лекции Р. Шварца (R. Schwartz, Survey Lecture on Billiards, ICM-2022).
Но для других-то правильных многоугольников всё не так, множество в принципе возможных векторов сдвига (за много итераций) тут уже всюду плотное (а вовсе не дискретное)…
Скриншот выше — из записок обзорной лекции Р. Шварца (R. Schwartz, Survey Lecture on Billiards, ICM-2022).
Математические байки
А что будет для других правильных многоугольников? Вообще-то, было бы логично, чтобы случаи n=3,4,6 оказались исключением. Потому что в этих-то случаях вектора, соединяющие различные вершины, все принадлежат некоторой решётке — и каждая вторая итерация обязана…
Этот отрывок у Шварца начинается с результата Табачникова — я его процитирую чуть-чуть по-другому:
Теорема (С. Табачников): Для внешнего бильярда, заданного вне правильного пятиугольника, существуют непериодические траектории. Более того, хаусдорфова размерность множества непериодических траекторий равна log(6)/ log(\sqrt{5} +2).
(Скриншот из статьи: С. Л. Табачников, “Внешние биллиарды”, УМН, 48:6(294) (1993), 75–102)
Теорема (С. Табачников): Для внешнего бильярда, заданного вне правильного пятиугольника, существуют непериодические траектории. Более того, хаусдорфова размерность множества непериодических траекторий равна log(6)/ log(\sqrt{5} +2).
(Скриншот из статьи: С. Л. Табачников, “Внешние биллиарды”, УМН, 48:6(294) (1993), 75–102)
Ещё два скриншота из статьи Табачникова. Если пересказывать — отображение внешнего бильярда для правильного пятиугольника в некоторых областях на плоскости оказывается периодичным. Но между ними возникает «паутина» непериодических траекторий.
И объяснение тут — это своего рода «самоподобие» получающейся динамики. А именно — для простоты отождествим точки плоскости, отличающиеся на поворот на 2π/5, сохраняющий исходный правильный пятиугольник. Посмотрим на аккуратно выбранную область, четырёхугольник OKNM; с точностью до этого отождествления она просто переходит в себя. Посмотрим, как перекладываются её кусочки — как работает соответствующее отображение T. Вертикальный треугольник OKL поворачивается (поворотом вокруг U) в горизонтальный RMO, а тупоугольный MLN возвращается (поворотом вокруг V) обратно, в NRK.
(Скриншоты из той же статьи: С. Л. Табачников, “Внешние биллиарды”, УМН, 48:6(294) (1993), 75–102)
(Скриншоты из той же статьи: С. Л. Табачников, “Внешние биллиарды”, УМН, 48:6(294) (1993), 75–102)
И если такое отображение T на OKNM применить несколько раз — то в его кусочках за несколько применений появляется опять такое же отображение T, с точностью до гомотетии!
(Точнее, на одном треугольнике нужно сделать 7 шагов, на другом 3, но это уже детали…)
Отсюда и следует самоподобие (и вообще непустота) множества непериодических траекторий — ведь можно такое увеличение применять «до бесконечности».
И к этому относится абзац из Шварца:
Theorem 6.4 is proved by establishing that the first return map to a certain triangular region T in the plane is a renormalizable polygon exchange map. In this case, this means that the first return map to some smaller triangle T’⊂T is conjugate, via a similarity, to the first return map to T.
(Точнее, на одном треугольнике нужно сделать 7 шагов, на другом 3, но это уже детали…)
Отсюда и следует самоподобие (и вообще непустота) множества непериодических траекторий — ведь можно такое увеличение применять «до бесконечности».
И к этому относится абзац из Шварца:
Theorem 6.4 is proved by establishing that the first return map to a certain triangular region T in the plane is a renormalizable polygon exchange map. In this case, this means that the first return map to some smaller triangle T’⊂T is conjugate, via a similarity, to the first return map to T.