Математические этюды
Photo
Вдогонку к огибающим — я очень люблю сюжет про окружности, соприкасающиеся кривой в разных её точках (который когда-то узнал от Этьена Жиса). В отличие от касательных, которые, если их провести в близких точках кривой, будут пересекаться — соприкасающиеся окружности оказываются вложенными друг в друга! (Пока мы не пройдём через вершину кривой — локальный минимум или максимум кривизны.)
А кривая (опять же, вне вершин) лежит от каждой соприкасающейся окружности по разные стороны до и после прохода через точку касания, так что она всех их «касаясь, пересекает».
Вот эта картинка из их статьи E. Ghys, S. Tabachnikov, V. Timorin, Osculating curves: around the Tait-Kneser theorem, Math. Intelligencer 35 (2013), http://perso.ens-lyon.fr/ghys/articles/osculatingcurves.pdf , на которой нарисованы соприкасающиеся окружности к спирали. Только сама спираль не нарисована — мы её просто видим, как их область сгущения!
А кривая (опять же, вне вершин) лежит от каждой соприкасающейся окружности по разные стороны до и после прохода через точку касания, так что она всех их «касаясь, пересекает».
Вот эта картинка из их статьи E. Ghys, S. Tabachnikov, V. Timorin, Osculating curves: around the Tait-Kneser theorem, Math. Intelligencer 35 (2013), http://perso.ens-lyon.fr/ghys/articles/osculatingcurves.pdf , на которой нарисованы соприкасающиеся окружности к спирали. Только сама спираль не нарисована — мы её просто видим, как их область сгущения!
Forwarded from Непрерывное математическое образование
http://www.mathnet.ru/present135
к д.р. В.И.Арнольда — вот, например, видеозаписи его рассказов про квадратичные иррациональности и цепные дроби
к д.р. В.И.Арнольда — вот, например, видеозаписи его рассказов про квадратичные иррациональности и цепные дроби
Forwarded from Непрерывное математическое образование
Непрерывное математическое образование
http://www.mathnet.ru/present135 к д.р. В.И.Арнольда — вот, например, видеозаписи его рассказов про квадратичные иррациональности и цепные дроби
https://mccme.ru/free-books/mmmf-lectures/book.14-full.pdf
напомним также замечательную брошюру В.И.Арнольда про цепные дроби
напомним также замечательную брошюру В.И.Арнольда про цепные дроби
Forwarded from Математура: книги МЦНМО
427_m-viarnold-80.pdf
118.3 KB
В честь дня рождения В.И.Арнольда (1937-2010) публикуем воспоминания А.М.Вершика из сборника "В.И.Арнольд. К восьмидесятилетию"
Forwarded from Непрерывное математическое образование
https://zykin.mccme.ru/
в понедельник (17.06) в МИАН будет VIII конференция памяти Алексея Зыкина (13.06.1984–22.04.2017)
11:00 Денис Лысков. Обобщение операд на основе графов и производящие функции
12:20 Олег Демченко. Формальные группы над p-адическими кольцами целых
14:30 Константин Шрамов. Бирациональная геометрия поверхностей дель Пеццо
15:50 Сергей Горчинский. О работах Алексея Зыкина
в понедельник (17.06) в МИАН будет VIII конференция памяти Алексея Зыкина (13.06.1984–22.04.2017)
11:00 Денис Лысков. Обобщение операд на основе графов и производящие функции
12:20 Олег Демченко. Формальные группы над p-адическими кольцами целых
14:30 Константин Шрамов. Бирациональная геометрия поверхностей дель Пеццо
15:50 Сергей Горчинский. О работах Алексея Зыкина
Forwarded from воспоминания математиков
В университете был семинар Колмогорова для младших курсов. Он сформулировал нам задачи и уехал во Францию на семестр. После этого, вернувшись из Франции, он спросил: "Ну как, решили мои задачи?". Я говорю: "Да, вот решил то-то то-то...". Колмогоров посмотрел и сказал: "Так вы решили проблему Гильберта!"
воспоминания В.И. Арнольда
воспоминания В.И. Арнольда
Forwarded from воспоминания математиков
Ехали мы в Ленинград «Стрелой», в поезде сразу легли спать и наутро проснулись рано. До Ленинграда оставалось еще, наверное, час с лишним. Вышли в коридор, чтобы не беспокоить разговором соседей по купе, стали у окна.
Это еще был самый начальный период нашего знакомства. Еще столько было незатронутых тем! В «предвкушении Русского музея» возникла тема всемирности русского искусства. Русская живопись XIX века, только ли для нас она?
Или есть в ней нечто, способное вызвать ответное чувство у человека, далекого от нашей истории, от наших проблем, от нашей повседневности? «Кого Вы больше всего любите?» - спросил Андрей Николаевич. Я назвал Левитана и Серова.
Андрей Николаевич отозвался о них благосклонно, особенно о Серове. Но всемирность?.. Что может значить Серов на фоне французской живописи, на фоне импрессионизма, которым мы, я и мои ровесники, были в буквальном смысле слова опалены! (Только что в Москве прошла первая выставка импрессионистов.) Я затруднился ответить.
Некоторое время разговор продолжался, а потом наступила естественная пауза. И вдруг Андрей Николаевич сказал, что, пока мы разговаривали тут о русском искусстве, он, кажется, сообразил, как различать по массивности аналитические функции от разного числа переменных. Именно так — идея пришла во время разговора!
И Андрей Николаевич вкратце изложил мне замысел, который (и также в конспективной форме) был несколько позже им реализован в виде заметки в «Докладах АН», названной «О линейной размерности топологических векторных пространств». А затем А. Н. утратил интерес к этой теме и вовсе не интересовался развитием нового, «перспективного», как потом стали говорить, научного направления, где происходили впоследствии яркие и занимательные события.
воспоминания В.М. Тихомирова об А.Н. Колмогорове («Слово об учителе»)
Это еще был самый начальный период нашего знакомства. Еще столько было незатронутых тем! В «предвкушении Русского музея» возникла тема всемирности русского искусства. Русская живопись XIX века, только ли для нас она?
Или есть в ней нечто, способное вызвать ответное чувство у человека, далекого от нашей истории, от наших проблем, от нашей повседневности? «Кого Вы больше всего любите?» - спросил Андрей Николаевич. Я назвал Левитана и Серова.
Андрей Николаевич отозвался о них благосклонно, особенно о Серове. Но всемирность?.. Что может значить Серов на фоне французской живописи, на фоне импрессионизма, которым мы, я и мои ровесники, были в буквальном смысле слова опалены! (Только что в Москве прошла первая выставка импрессионистов.) Я затруднился ответить.
Некоторое время разговор продолжался, а потом наступила естественная пауза. И вдруг Андрей Николаевич сказал, что, пока мы разговаривали тут о русском искусстве, он, кажется, сообразил, как различать по массивности аналитические функции от разного числа переменных. Именно так — идея пришла во время разговора!
И Андрей Николаевич вкратце изложил мне замысел, который (и также в конспективной форме) был несколько позже им реализован в виде заметки в «Докладах АН», названной «О линейной размерности топологических векторных пространств». А затем А. Н. утратил интерес к этой теме и вовсе не интересовался развитием нового, «перспективного», как потом стали говорить, научного направления, где происходили впоследствии яркие и занимательные события.
воспоминания В.М. Тихомирова об А.Н. Колмогорове («Слово об учителе»)
По мотивам пары замечательных — нет, правда, с офигительными участниками! — конференций.
Дорогие коллеги-организаторы!
Если (вдруг) предполагается, что бейджик нужен для облегчения знакомства участников, то:
1) Имя и ФАМИЛИЯ
участника там должны быть как можно крупнее. Да, вот прям на пол-бейджика по высоте. Потому что это самое важное. Название конференции, честно, потерпит хоть 12-й шрифт, его худо-бедно все помнят.
2) Если бейджик не на булавке/прищепке, а вешающийся на шею — содержание с двух сторон должно быть одинаково — да, вот прямо распечатать всё в двух экземплярах — или хотя бы просто быть.
Иначе ровно половина участников будет светить пустой стороной перевернувшегося бейджика.
Спасибо за внимание; навеяно наблюдениями за ходьбой по любимым граблям…
Дорогие коллеги-организаторы!
Если (вдруг) предполагается, что бейджик нужен для облегчения знакомства участников, то:
1) Имя и ФАМИЛИЯ
участника там должны быть как можно крупнее. Да, вот прям на пол-бейджика по высоте. Потому что это самое важное. Название конференции, честно, потерпит хоть 12-й шрифт, его худо-бедно все помнят.
2) Если бейджик не на булавке/прищепке, а вешающийся на шею — содержание с двух сторон должно быть одинаково — да, вот прямо распечатать всё в двух экземплярах — или хотя бы просто быть.
Иначе ровно половина участников будет светить пустой стороной перевернувшегося бейджика.
Спасибо за внимание; навеяно наблюдениями за ходьбой по любимым граблям…
Forwarded from tropical saint petersburg
"Традиционно утверждается, что большинство результатов, которые формулируются в элементарных [математических] курсах, следует сопровождать полными доказательствами. Такая точка зрения представляется нам безнадежно устаревшей, нереалистичной и лицемерной."
Из статьи Вавилова/Халина/Юркова. "НЕБЕСА ПАДАЮТ: МАТЕМАТИКА ДЛЯ НЕМАТЕМАТИКОВ"
"Что нас больше всего раздражает в жрецах так называемой “элементарной математики”, так это их крючкотворство и мелочный педантизм. Нам, воспитанным профессиональными математиками, все их дебаты кажутся совершенно лишенными смысла и крайне искусственными."
"В действительности дело обстоит следующим образом. Наличие или отсутствие доказательств никак не влияет на доверие студентов к самим результатам. Мы думаем, что основная роль доказательств в лекциях и учебниках для нематематиков состоит в следующем:
∙ Убедить студента в том, что он правильно понимает формулировку.
∙ Уточнить смысл результата и его связь с другими результатами.
При обучении профессиональных математиков доказательства могут иметь и другие функции:
∙ Отработать общие приемы математических рассуждений (индукция, редукция, разбиение на случаи, общее положение, специализация, …) и стандартную технику в какой-либо конкретной области.
∙ Выработать привычку и вкус к точным рассуждениям как таковым, а также тренировать привычку сразу отличать предположения, свидетельства и догадки от твердо установленных фактов.
∙ Как говорят в Кембридже, to illustrate some of the tedium."
И много примеров как компьютерную алгебру можно применять.
Из статьи Вавилова/Халина/Юркова. "НЕБЕСА ПАДАЮТ: МАТЕМАТИКА ДЛЯ НЕМАТЕМАТИКОВ"
"Что нас больше всего раздражает в жрецах так называемой “элементарной математики”, так это их крючкотворство и мелочный педантизм. Нам, воспитанным профессиональными математиками, все их дебаты кажутся совершенно лишенными смысла и крайне искусственными."
"В действительности дело обстоит следующим образом. Наличие или отсутствие доказательств никак не влияет на доверие студентов к самим результатам. Мы думаем, что основная роль доказательств в лекциях и учебниках для нематематиков состоит в следующем:
∙ Убедить студента в том, что он правильно понимает формулировку.
∙ Уточнить смысл результата и его связь с другими результатами.
При обучении профессиональных математиков доказательства могут иметь и другие функции:
∙ Отработать общие приемы математических рассуждений (индукция, редукция, разбиение на случаи, общее положение, специализация, …) и стандартную технику в какой-либо конкретной области.
∙ Выработать привычку и вкус к точным рассуждениям как таковым, а также тренировать привычку сразу отличать предположения, свидетельства и догадки от твердо установленных фактов.
∙ Как говорят в Кембридже, to illustrate some of the tedium."
И много примеров как компьютерную алгебру можно применять.
Forwarded from Квантик
Forwarded from Непрерывное математическое образование
https://old.kvantik.com/art/files/pdf/2013-10.6-9.pdf
сегодня пусть здесь будет статья Сергея Дориченко про чётность («Квантик» №10 за 2013 год)
сегодня пусть здесь будет статья Сергея Дориченко про чётность («Квантик» №10 за 2013 год)
Квантик
Вышел «Квантик» №7, 2024 В магазине издательства: https://biblio.mccme.ru/node/247555
Хвастаюсь: у меня в этом номере Квантика вышли «Магические карточки» — текст, который мне очень нравится: это рассказ, связывающий фокус с отгадыванием чисел и двоичную запись, и герои по ходу некоторые вещи пере-придумывают (и его можно посмотреть в выложенной части номера, https://kvantik.com/issue/pdf/2024-07_sample.pdf ).
Это — первая часть; вторая, «Вас плохо слышно», выйдет в следующем номере. Там будет про бит контроля чётности и исправление ошибок; мне кажется, должно получиться немного трудно, но понятно (и очень забавно показывать такие фокусы друзьям).
У Квантика всегда замечательные художники; спасибо Марии Усеиновой за иллюстрации! (И вот две из них — на самом деле, это одна горизонтальная иллюстрация сверху разворота, так что карточки и цифры в волшебном облаке на второй половине вылетели из цилиндра фокусника на первой.)
Это — первая часть; вторая, «Вас плохо слышно», выйдет в следующем номере. Там будет про бит контроля чётности и исправление ошибок; мне кажется, должно получиться немного трудно, но понятно (и очень забавно показывать такие фокусы друзьям).
У Квантика всегда замечательные художники; спасибо Марии Усеиновой за иллюстрации! (И вот две из них — на самом деле, это одна горизонтальная иллюстрация сверху разворота, так что карточки и цифры в волшебном облаке на второй половине вылетели из цилиндра фокусника на первой.)
А ещё у Сергея Дориченко, создателя и главного редактора Квантика, недавно был день рождения. И я хочу по этому поводу вспомнить его текст — с Котлетной и Апельсинной теоремами:
https://old.kvantik.com/art/files/pdf/2020-04.2-7.pdf
Сергей Александрович — с днём рождения, и спасибо Вам!
https://old.kvantik.com/art/files/pdf/2020-04.2-7.pdf
Сергей Александрович — с днём рождения, и спасибо Вам!
Forwarded from Непрерывное математическое образование
https://mccme.ru/dubna/2024/
приближается ЛШСМ-2024 (доступно расписание, анонсы курсов; планируются прямые трансляции большинства пленарных лекций)
утром в субботу всё начнется с лекции А.А.Разборова про арифметическую комбинаторику и лекции С.К.Смирнова про замощения
приближается ЛШСМ-2024 (доступно расписание, анонсы курсов; планируются прямые трансляции большинства пленарных лекций)
утром в субботу всё начнется с лекции А.А.Разборова про арифметическую комбинаторику и лекции С.К.Смирнова про замощения
Forwarded from Непрерывное математическое образование
https://youtu.be/r257kL7UTsc
к юбилею М.А.Цфасмана пусть здесь будет запись его недавней лекции на ЛШСМ-2021 «Алгебраические числа, алгебраические кривые и плотные упаковки шаров»
к юбилею М.А.Цфасмана пусть здесь будет запись его недавней лекции на ЛШСМ-2021 «Алгебраические числа, алгебраические кривые и плотные упаковки шаров»
Forwarded from Непрерывное математическое образование
YouTube
ACADEMIA. Михаил Цфасман. Как и зачем мы занимаемся математикой? Канал Культура
ACADEMIA. Михаил Цфасман. Как и зачем мы занимаемся математикой? Канал Культура.
На примере нескольких задач теории чисел доктор физико-математических наук Михаил Анатольевич Цфасман рассказывает, как работают математики. Основные герои его рассказа – вавилонские…
На примере нескольких задач теории чисел доктор физико-математических наук Михаил Анатольевич Цфасман рассказывает, как работают математики. Основные герои его рассказа – вавилонские…
Forwarded from Непрерывное математическое образование
https://www.youtube.com/live/fctLDA1Vnp8
24 июля на ЛШСМ в 11:15 Н.Ю.Решетихин будет рассказывать про димерные модели в статистической механике (или, говоря по-простому, про разбиения на доминошки)
https://www.youtube.com/live/UZ-imCoLcU0
25 июля в 15:30 — А.П.Веселов про алгебру многогранников и обращение рядов
24 июля на ЛШСМ в 11:15 Н.Ю.Решетихин будет рассказывать про димерные модели в статистической механике (или, говоря по-простому, про разбиения на доминошки)
https://www.youtube.com/live/UZ-imCoLcU0
25 июля в 15:30 — А.П.Веселов про алгебру многогранников и обращение рядов
YouTube
Н.Ю.Решетихин. Димерные модели в статистической механике (ЛШСМ-2024)
Анонс лекции: https://mccme.ru/dubna/2024/courses/reshetikhin.html
Разбиение какой-либо фигуры из клеточек на домино (прямоугольники 2×1) можно рассматривать как разбиение её клеточек на пары соседних. В более общем контексте такую постановку называют «димерными…
Разбиение какой-либо фигуры из клеточек на домино (прямоугольники 2×1) можно рассматривать как разбиение её клеточек на пары соседних. В более общем контексте такую постановку называют «димерными…
Forwarded from Непрерывное математическое образование
Про разбиения на домино (в т.ч. случайные) можно для начала заглянуть в статью Кеньона и Окунькова в колокне «What is…» (и потом читать, например, Lectures on Dimers) или в статью В.Горина «Что можно сложить из кубиков?» в Кванте.
А про подсчет количества разбиений на домино полезно почитать статью М.Вялого в Мат. просвещении (и конкретно про ацтекский бриллиант объясняется, конечно, в одноименной брошюре Е.Смирнова, упоминавшейся здесь в начале года).
А про подсчет количества разбиений на домино полезно почитать статью М.Вялого в Мат. просвещении (и конкретно про ацтекский бриллиант объясняется, конечно, в одноименной брошюре Е.Смирнова, упоминавшейся здесь в начале года).
Forwarded from Непрерывное математическое образование
https://www.math.columbia.edu/~okounkov/AMScolloq.pdf
хочется напонить еще текст «Limit shapes, real and imaginary» Андрея Окунькова
«We are surrounded by random surfaces. In fact, every shape around us is random on a sufficiently small scale. The definite shapes that we perceive are manifestations of the law of large numbers that makes averages much larger than the fluctuations around them. Same law is at work e.g. with a balloon floating through the air. Our eyes trace out a smooth trajectory while air molecules hit the balloon randomly from all directions.
Can mathematical physics link the microscopic dynamics to the resulting macroscopic shape, say, for objects of inorganic natural origin? The endless variety of snowflake shapes produced by commonplace water under ordinary conditions illustrates how challenging this question is.
Yet, at or near equilibrium a successful theory explaining the macroscopic shape from the microscopic laws may be developed. It requires deep and powerful mathematics that we can only begin to explore it the course of 3 lectures. In turn, it impacts areas of mathematics that may seem very distant from equilibrium crystals or liquid droplets.
Mathematics and physics are full of random geometric objects, especially when surveyed with a trained eye. In dealing with them, the experience and intuition acquired in the study of equilibrium crystals can be very valuable.
***
The main goal of this lecture is to provide an accessible introduction to an area of mathematical physics that I, personally, find captivating. (…)»
хочется напонить еще текст «Limit shapes, real and imaginary» Андрея Окунькова
«We are surrounded by random surfaces. In fact, every shape around us is random on a sufficiently small scale. The definite shapes that we perceive are manifestations of the law of large numbers that makes averages much larger than the fluctuations around them. Same law is at work e.g. with a balloon floating through the air. Our eyes trace out a smooth trajectory while air molecules hit the balloon randomly from all directions.
Can mathematical physics link the microscopic dynamics to the resulting macroscopic shape, say, for objects of inorganic natural origin? The endless variety of snowflake shapes produced by commonplace water under ordinary conditions illustrates how challenging this question is.
Yet, at or near equilibrium a successful theory explaining the macroscopic shape from the microscopic laws may be developed. It requires deep and powerful mathematics that we can only begin to explore it the course of 3 lectures. In turn, it impacts areas of mathematics that may seem very distant from equilibrium crystals or liquid droplets.
Mathematics and physics are full of random geometric objects, especially when surveyed with a trained eye. In dealing with them, the experience and intuition acquired in the study of equilibrium crystals can be very valuable.
***
The main goal of this lecture is to provide an accessible introduction to an area of mathematical physics that I, personally, find captivating. (…)»
ЛШСМ-2024: чуть больше, чем через час, в 9:30, начнётся лекция Ю. С. Ильяшенко про вывод законов Кеплера:
https://www.youtube.com/live/C8C4Uvazrgg
https://www.youtube.com/live/C8C4Uvazrgg
YouTube
Ю.С.Ильяшенко. Законы Кеплера — доказательство, понятное школьникам
Анонс лекции: https://mccme.ru/dubna/2024/courses/ilyashenko.html
Будет рассказан вывод законов Кеплера, описывающих движение планет, из закона всемирного тяготения. Этот вывод — самый простой из известных автору, и во всяком случае более простой, чем в…
Будет рассказан вывод законов Кеплера, описывающих движение планет, из закона всемирного тяготения. Этот вывод — самый простой из известных автору, и во всяком случае более простой, чем в…