Про геометрию вокруг законов Кеплера следует читать и пересказывать статью Гивенталя -- Kepler’s laws and conic sections (вышла в 2015 году в Арнольдовском математическом журнале).

Это вот про что: по ньютоновскому закону обратных квадратов точки двигаются по коническим сечениям. Это многие знают, некоторые даже могут доказать. Но как увидеть конус и сечение его плоскостью, связанный с орбитой? Обычно выводится уравнение конического сечения в полярных координатах (его уже не все помнят). Вот Гивенталь нашел этот конус и объяснил связь с геометрией конических сечений.

Сегодня, еще не зная про эту статью Гивенталя, проснулся с идеей: кто-то должен написать про это листочек для школьников. Обнаружив статью и предшествующее ей изложение результатов Гивенталя в обзоре Арнольда, Козлова и Нейштадта "Математические аспекты классической и небесной механики" понял: это в общем сделано!

Очень классная статья — A. Givental, Kepler’s Laws and Conic Sections, Arnold Math. J., 2016 (pre-print version: https://math.berkeley.edu/~giventh/kepler_091615.pdf , ref.: https://link.springer.com/article/10.1007/s40598-015-0030-6 ).

Вот главная картинка оттуда:

Давайте я перескажу это рассуждение. Вот из закона сохранения момента импульса (посчитанного, конечно, относительно Солнца) мы знаем, что орбита всегда лежит в одной плоскости — нормалью к которой вектор момента импульса и будет. Но это правда для любой центральной (направленной по радиусу) силы, не обязательно действующей по закону обратных квадратов.
А почему при законе тяготения орбиты получаются коническими сечениями? Как увидеть тот конус?

Гивенталь предлагает: раз орбита всё равно плоская, пусть это будет плоскость (x,y), и рассмотрим «виртуальное» трёхмерное пространство (x,y,r) с конусом
r^2 = x^2+y^2.
«Поднимем» орбиту на этот конус — над каждой точкой (x,y) рассмотрим соответствующую ей точку (x,y,r).
Теорема. Получающиеся точки все лежат в одной плоскости, проходящей через некоторую точку (0,0,l) — где величина l задаётся угловым моментом (точнее, секториальной скоростью — массу стоит сразу сократить).

Поэтому «поднятые» точки образуют коническое сечение — а потому коническим сечением будет и их проекция на плоскость (x,y).

Как такую теорему можно доказывать? Оказывается, что и трёхмерный «виртуальный» вектор R будет меняться, как если бы он подчинялся (некоторому) центральному закону притяжения с этим самым центром A=(0,0,l). И если это так — то и «виртуальный» момент относительно точки A,
N= [(R-A) x R’]
тоже сохраняется — и значит, вектор R движется в одной плоскости через точку A.

А как увидеть такое это поведение вектора R=(x,y,r)? Тем более, что именно здесь нужно воспользоваться тем, что в законе притяжения стоят именно обратные квадраты?

У Гивенталя приведена явная выкладка — которая легко прослеживается, но мне кажется, можно пройти чуть-чуть иначе.

В исходной плоскости (x,y) действует радиальная сила, поэтому вектор ускорения (x’’,y’’) пропорционален радиус-вектору r=(x,y) — с коэффициентом
h=-GM/r^3
(в знаменателе куб, потому что нам нужен единичный вектор в нужном направлении, а это отношение r/r, вот ещё одна степень r в знаменателе и появляется).

Поэтому
x’’ = hx
y’’ = hy.

Если бы радиус r был линейной комбинацией x и y, то для его второй производной было бы такое же соотношение, и центр даже двигать бы не пришлось. Но — давайте зафиксируем единичный вектор b=(b_x,b_y), в начальный момент направленный по радиусу, и рассмотрим линейную функцию (r,b) = b_x x + b_y y.

Эта линейная функция в первом порядке совпадает с радиусом r, а на радиальном луче совпадает с ним совсем. Так что их вторые производные будут отличаться только за счёт вклада от перпендикулярного радиусу движения точки :

r’’= b_x x’’ + b_y y’’ + (вклад от перпендикулярного движения)
= hr + (вклад от перпендикулярного движения)

Если v — это нормальная к радиусу компонента скорости, то этот вклад это
v^2 * (вторую производную радиуса при движении по касательной к окружности),
или, что то же самое, вторая производная при движении по касательной к окружности со скоростью v.
И вот сейчас момент импульса (секториальная скорость) и вылезет — ведь ровно за него/неё перпендикулярная радиусу скорость v и отвечает!

\sqrt{r^2 + (vt)^2} = r \sqrt{1 + (vt/r)^2} = r + (1/2) (vt)^2 / r + o(t^2),
так что вторая производная равна

v^2/r = (vr)^2 / r^3.

Числитель — (vr)^2 — это квадрат углового момента. Так что он вдоль орбиты всегда один и тот же!
А знаменатель r^3 — как раз и соответствует закону всемирного тяготения: куб, как и раньше. Так что, если взять константу
l = (vr)^2/ (GM),
то для разницы (r-l) будет
(r-l)’’ = r’’ = hr + (vr)^2 / r^3
= - GM r / r^3 + (vr)^2 / r^3
= - GM / r^3 * (r- l)
= h (r-l).

Так что трёхмерный вектор R = (x,y,r-l) подчиняется центральному закону
R’’ = h R, h = -GM/r^3.

Ура — теорема доказана!

Можно ещё всё это сделать прямо в трёхмерном пространстве — благо, что третье (перпендикулярное плоскости орбиты) направление задаётся вектором момента импульса. И тогда новый сохраняющийся вектор «виртуального» момента тоже будет там же — и вроде бы (я не доводил счёт до конца, но ничего другого получиться не должно) это должен быть вектор Лапласа—Рунге—Ленца, разве что, делённый на квадрат массы (и может быть, ещё на какую-нибудь константу?).

Пьер Картье (10.06.1932–17.08.2024)

https://mccme.ru/ru/nmu/raspisanie

появляется расписание НМУ в осеннем семестре. занятия начинаются с первой недели сентября

все как обычно:
математика «без смс и регистрации» по вечерам для всех желающих заниматься;
будут появляться видеозаписи и прочие материалы;
кто сдает в конце семестра сессию — те и считаются студентами

Двое играют в такую игру. У каждого имеется набор гирь весом от 1 до 55 г. Есть ещё чашечные весы. Игроки по очереди выставляют свои гири на весы — каждый на свою чашку, пока гири не кончатся.

Если в ходе игры наступит момент, когда разность весов между чашками станет равной ровно 50 г (причём неважно, какая чашка окажется тяжелее), то начинающий считается проигравшим, а если такой момент не наступит, проигрывает его соперник.

Кто победит?

Предлагайте стратегии для игроков в комментариях, завтра напишем решение.

Как ещё увидеть, что проекция тетраэдра Серпинского вдоль линии, соединяющей середины противоположных рёбер, это квадрат?
Очень просто: нужно взять тетраэдр Серпинского, ясную, солнечную погоду и выйти на улицу.

#начинающим

На рисунке изображен паркет из равных прямоугольных треугольников. Произвольные прямоугольные треугольники для такой схемы не подойдут.

Найдите соотношение сторон в этих треугольниках.

Рисунок и задача из журнала «Квантик» №7, 2017, статья Сергея Маркелова «Жесткие паркеты»

https://old.kvantik.com/art/files/pdf/2020-12.20-22.pdf

продолжаем тему паркетов и геометрии: попробуйте глядя на эти картинки доказать теорему Наполеона и теорему Тебо

или/и почитайте заметку «Теорема Наполеона, замощения плоскости и параллельники» (Г.Мерзон, «Квантик» №12 за 2020 год)

Замощения плоскости — мозаики — позволяют увидеть равносоставленность равновеликих многоугольников.

Эта идея у нас уже встречалась, например, в одном из доказательств теоремы Пифагора: один слой — это замощение плоскости квадратами двух разных размеров, второй слой — квадратная сетка.

Сегодняшняя модель — разрезание квадрата и равновеликого правильного восьмиугольника на одинаковые части https://etudes.ru/models/square-octagon/ . Его даёт такая мозаика https://news.1rj.ru/str/EtudesRu/762 : первый слой — снова замощение плоскости квадратами двух разных размеров, второй слой — сетка из маленьких квадратов первого разбиения и правильных восьмиугольников.

Это и ещё одно разрезание квадрата и правильного восьмиугольника встречается в персидской рукописи неизвестного автора, найденной в 1970 году в национальной библиотеке Франции (Anonymous Compendium / Paris, Bibliothèque nationale de France, Ms. Persan) и датируемой примерно XIV веком.

Интересующимся восточными орнаментами всячески рекомендуем страницу Андрея Ивановича Щетникова — удивительного человека, в частности, известного как автора образовательного проекта GetAClass.