Многим известна такая элементарная задача: доказать, что для любого N можно найти N подряд идущих составных чисел. В аналитической теории чисел у неё есть продолжение, которое состоит в том, чтобы оценить снизу наибольший промежуток между простыми числами, не превосходящими данной величины X.

Можно задаваться и обратным вопросом, то есть доказывать, что отрезок [0,X] не может содержать слишком длинных отрезков, в которых нет простых чисел. Аналогичные вопросы можно задавать и про разные другие последовательности из теории чисел: бесквадратные числа, суммы двух квадратов, нормы элементов числовых полей и т.д.

Я расскажу об этих и некоторых других задачах такого вида, что про них известно и что предполагается. Особое внимание постараюсь уделить значениям квадратичных форм от двух переменных.

Лекция доступна слушателям начиная со старших классов матшкол. Из требований для понимания: не смущаться, когда на экране появится выражение вроде loglogloglog X/logloglog X:) Все нужные теоремы из теории чисел я сформулирую.