на Московской математической олимпиаде была сегодня такая задача

«У хозяйки есть кусок мяса, которым она хочет накормить трёх котиков. Раз в несколько секунд хозяйка отрезает кусочек мяса и скармливает его одному из котиков на свой выбор, причём каждый кусочек должен составлять одну и ту же долю куска, от которого его отрезают. Через некоторое время хозяйка убирает остаток мяса в холодильник. Может ли она скормить котикам поровну мяса?» (А.Кушнир)

другими словами, можно ли разбить члены какой-нибудь геометрической прогрессии с 0<q<1 на 3 группы с одинаковыми суммами?

любая хозяйка, которая умеет резать мясо в золотом сечении, решит задачу для 2 котиков; для 3 котиков попробуйте решить на бумажке; для 4 котиков покажу попозже (пусть пока будет возможность подумать), как воспользоваться компьютером; какой ответ для 5 котиков — хотел бы знать

нравится сюжет Конвея про аналогию между играми и числами

например, игры (скажем, в которых роли противников симметричны, а проигрывает тот, кто не может сделать ход) можно складывать: в G+H играют на двух столах, на одном столе позиция в игре G, на другом — в игре H, каждый раз можно выбрать один из столов и сделать за ним ход

если в H выигрывает второй игрок, то результат у G+H такой же как и в G — это мотивирует объявить все выигрышные для второго игрока игры нулевыми

а вот игры, в которых выигрывает первый, бывают очень разными

если «ним-число» *n — это глуповатая игра «есть кучка из n камней, за ход можно взять любое количество камней из кучки», то *0 действительно нулевая игра, а все остальные *n — различные… и ненулевые )

и игра в четыре кучки камней *1+*3+*5+*7 уже не очень простая (не все персонажи фильма L'Année dernière à Marienbad справились), чтобы научиться в нее играть, хорошо бы изучить таблицу операций с ним-числами

вот такой, например, листок про это: https://dev.mccme.ru/~merzon/v14/pscache/5d-nim.pdf

написал код, который выписывает таблицы сложения и умножения для ним-чисел

def mex(N,arr):
    for a in range(N):
        if (a not in arr):
            return a
    return None

N = 2**(2**2)

t_sum = [list(range(N))]
for m in range(1,N):
    newline = []
    for i in range(N):
        # *m+*i = mex{*j+*i,*m+*i'|j<m,i'<i}
        arr = [line[i] for line in t_sum] + newline
        newline.append(mex(N,arr))
    t_sum.append(newline)
print(*t_sum,sep="\n")

t_mul = [[0]*N]
for m in range(1,N):
    newline = []
    for i in range(N):
        # *m.*i = mex{*j.(*i+*i')+*m.*i'|j<m,i'<i}
        arr = []
        for i1,mi1 in enumerate(newline):
            ii1 = t_sum[i][i1]
            for line in t_mul:
                jii1 = line[ii1] #*j.(*i+*i')
                arr.append(t_sum[jii1][mi1])
        newline.append(mex(N,arr))
    t_mul.append(newline)
print()
print(*t_mul,sep="\n")

можно заметить, а потом и доказать, что ним-сложение — это, на самом деле, просто побитовое сложение

а вот для ним-умножения настолько простого описания, кажется, нет

( определение — можно прочитать в https://en.wikipedia.org/wiki/Nimber#Multiplication )

но операция оч. хорошая — в частности, ним-числа, меньшие *(2^(2^k)), образуют конечное поле

К предыдущему: по мотивам этого же сюжета Конвея (про аналогию между играми и числами) есть брошюра Пьера Деорнуа, https://old.mccme.ru/free-books/dubna/dehornoy.pdf (восходящая к его дубнинскому курсу и к книгам Конвея «On Numbers and Games» и Berlekamp-Conway-Guy «Winning Ways for Your Mathematical Plays»).

Ну а я в какой-то момент тут чуть-чуть про это писал: см. https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/4361 + https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/4368 + https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/4401

На отрезке AB отметили точку X так, что AX:AB=1:10. После этого отрезок AB разделили на 2^10 равных частей. В каком отношении точка X делит ту часть, на которую попадает?

Предлагается попробовать решить такую задачу (вполне доступна и начинающим!), а потом можно заглянуть в статью Н.Солодовников «Удвоение отрезка и судьба точки» в Квантике, https://old.kvantik.com/art/files/pdf/2024-08.10-12.pdf

пусть нас интересует сумма q^n по всем n на длинном отрезке с целыми концами [a,b]

если число q маленькое, то эта сумма мало отличается от бесконечной суммы q^a+q^{a+1}+…, т.е. от q^a/(1-q)

если, наоборот, число q большое, то сумма примерно равна q^b+q^{b-1}+…, т.е. q^b/(1-q^{-1})

эти два приближенных ответа получены для разных диапазонов q… и тем не менее, если их сложить, то получится не бессмыслица, а точная формула для нашей суммы

упомянутая выше формула Бриона — многомерный аналог того же: вместо суммы по отрезку рассматриваются суммы по многогранникам, а ответ записывается в виде некоторой суммы по вершинам

по картинке можно сообразить, как именно это выглядит для треугольника — или прочитать это в статье

всё это немножко похоже на формулу включений-исключений, только добавлена магия: и вычитать пересечения почему-то не нужно, и складываются ответы, которые (казалось бы) осмысленны для разных диапазонов параметров

https://mccme.ru/free-books/dubna/protasov-sinfrac.pdf

стала бесплатно доступна электронная версия книги «Синусоида и фрактал: Элементы теории обработки сигналов и теории всплесков» В.Ю.Протасова по его лекциям на ЛШСМ

«Любой сигнал, будь то звук, изображение или другая функция, никогда не хранится в компьютере по точкам. Это дорого и неэффективно. Сигнал раскладывается в сумму других, «базовых» функций, и хранятся коэффициенты разложения. Главный вопрос — какую систему базовых функций использовать? И как построить хорошую систему, чтобы сигнал быстро и качественно воспроизводился и при этом занимал мало памяти? За это отвечает мощная и красивая математическая теория.

В течение десятилетий базовыми функциями были синус и косинус, что естественно, учитывая природу звука. Это — ряды Фурье, изобретенные более 200 лет назад. Однако, к середине XX века стало ясно, что они не отвечают современным запросам. Поиск новых конструкций, превосходящих ряды Фурье, оказался непростой задачей. Над этим трудилось не одно поколение математиков: функции Хаара, система Шеннона-Котельникова, всплески Мейера и Добеши, …. Новые функции уже не задаются явными формулами, а строятся как решения специальных уравнений. Они не являются гладкими, а, напротив, имеют свойства фракталов и самоподобных фигур. Сейчас они используются повсеместно при работе с фото, аудио и видео файлами, в компьютерной томографии, и т.д. Но математическая теория не стоит на месте…»

можно также купить книгу:
https://biblio.mccme.ru/node/46814

5 лет назад был отличный математический флэшмоб #12equations — в т.ч. как раз 22 июня писал про тангенс

…Очень люблю цитату из интервью Гельфанда, «я считал, что есть две математики — алгебраическая и геометрическая, и что геометрическая математика принципиально “трансцендентна” для алгебраической. (…) Когда я обнаружил, что синус можно записать алгебраически в виде ряда, барьер обрушился, математика стала единой».

В отличие от синуса и косинуса ряд для тангенса на первый взгляд выглядит хаотично:
x+x^3/3+2x^5/15+17x^7/315+…
Оказывается, за этим хаосом скрывается отличная комбинаторика…

сейчас описание комбинаторики опущу, а вместо этого приведу код, при помощи которого на эти коэффициенты можно посмотреть (потому что в лоб на бумажке это делать утомительно):

x = var('x')
taylor = tan(x).taylor(x,0,21)
E = [ taylor.coefficient(x,n)*factorial(n) for n in range(1,22,2) ]
print(E)

если не знаете ответа, то можно подумать про то, как на эти целые числа написать рекурренту, например (тут возможны разные ответы!)

или вот такой листок для курса Е.Смирнова про этот сюжет делал: https://dev.mccme.ru/~merzon/ium-combi/combi20-05-bernoulli.pdf

https://mccme.ru/free-books/dubna/vva-volumes.pdf

стала бесплатно доступна электронная версия книги «Ветвящиеся объёмы и группы отражений» В.А.Васильева по его рассказам на ЛШСМ

«Рассматривается восходящая к Архимеду и Ньютону задача о зависимости объема, отсекаемого плоскостью от ограниченного тела, от этой плоскости. В частности, мы докажем гипотезу В.И.Арнольда о том, что для тела с гладкой границей в четномерном пространстве этот объем не может алгебраически зависеть от коэффициентов уравнения плоскости, и приведем геометрические препятствия к такой алгебраичности в нечетномерном случае.

В книге рассказано об истории вопроса и о методах, позволяющих решать такие и подобные задачи (включая задачи о разрешимости уравнений в радикалах): теории монодромии, аналитическом продолжении, группах преобразований, порожденных отражениями, и топологии комплексных многообразий.»

можно также купить бумажную книгу:
https://biblio.mccme.ru/node/74704

mccme.ru/dubna/2025/

совсем скоро начинается XXIV Летняя школа «Современная математика» имени Виталия Арнольда

по ссылке есть расписание, анонсы курсов

видеозаписи большинства занятий появятся осенью, но большинство пленарных лекций планируется транслировать в вк-видео

откроется школа лекцией Александра Петровича Веселова про q-числа и их связь с узлами и косами (вск 20.07, 09:30)

Я воспользуюсь случаем и порекламирую две другие (классные!) лекции Александра Петровича, «Магия марковских троек» (https://www.mathnet.ru/rus/present17717 ) и «Река Конвея и парус Арнольда» (https://www.mathnet.ru/rus/present21266 ) — и их с В.М. Бухштабером статью «Топограф Конвея, PGL_2(Z)-динамика и двузначные группы», https://www.mathnet.ru/rus/rm9886 .

Пусть есть квадратичная форма Q(x,y) с целыми коэффициентами — и пусть она не-знакоопределённая. Давайте рассматривать её на решётке Z^2 — сначала со стандартным базисом, а потом будем от базиса (e_1,e_2) переходить к « соседнему », заменяя один из векторов либо на их сумму, либо на их разность. И будем рисовать соответствующую картину на плоскости — области соответствуют (примитивным) векторам решётки, рассматриваемым с точностью до смены знака; отметки в них — значению Q на соответствующих векторах (Q(v)=Q(-v), так что выбор знака вектора неважен), рёбра — разделяют области, пары векторов из которых образуют базис, и ребро, разделяющее области для e_1 и e_2, упирается в области для e_1+e_2 и для e_1-e_2.

Скриншот из статьи Веселова и Бухштабера.

И ещё из ссылок: «Квадратичные формы, данные нам в ощущениях» Конвея — классные!

Ещё немного к завтрашней лекции А. П. Веселова — соседняя история про q-деформацию. Возьмём поле F_q из q элементов. И спросим: сколько k-мерных подпространств есть в F_q^{n}?
(Если формулировать другими словами — сколько точек в грассманиане Gr(k,n) над F_q?)

Оказывается, что получается многочлен от q. Но в него можно подставлять не только те значения q, для которых есть соответствующие поля (т.е. степени простых), но и вообще что угодно. Например, q=1. А что мы будем получать?

Например, сколько точек в проективном пространстве P^{n}(F_q) — или, что то же самое, сколько в F_q^{n+1} прямых через 0? Проективное пространство делится на аффинную карту F_q^n, в которой q^n точек, и проективное пространство «точек на бесконечности» на единицу меньшей размерности; по индукции получаем
q^n+q^{n-1}+…+q+1.
В частности, при q=1 этот многочлен равен n+1.

Определение. q-аналогом числа n называется число точек n-1-мерной проективной плоскости P(F_q^n)
[n]_q := q^{n-1}+…+q+1.

Несложно видеть, что k- и n-k-мерных подпространств в F_q^n одинаковое количество (в качестве вещественной ассоциации — можно брать взятие ортогонального дополнения в качестве биекции), поэтому этот же ответ справедлив и для количества (n-1)-мерных подпространств.

Если определить q-факториал по индукции
[0]!=1, [n]!=[n-1]! * [n],
то он соответствует количеству полных флагов : цепочек подпространств
0=V_0 \subset V_1 \subset … \subset V_{n-1} \subset V_{n} = F_q^n,
где V_i — i-мерное.

Наконец, каждое k-мерное подпространство V_k участвует в
[k]! * [n-k]!
полных флагах (потому что нужно продолжить цепочку вниз — это [k]! вариантов — и вверх, их [n-k]!).
Так что точек в грассманиание Gr(k,n) —
[n]! / ([k]! [n-k]!).

При подстановке q=1 получается как раз биномиальный коэффициент!