От Арнольда знаю такое утверждение: период физического маятника строго монотонно зависит от амплитуды. Даже производная не нулевая. В одном из его экзаменов по обыкновенным дифференциальным уравнениям это (вернее: задача быстро сводящаяся к этой) была самая сложная задача.

Не видал пока молодых математических людей (и сам таким не был), которые могли бы ее быстро решить.

не видел в книжках, чтобы этот факт о монотонности был явно сформулирован - если кто видел — скажите

картинки по выходным: теорема Наполеона и ее родствениики из свежего Квантика, https://kvantik.com/issue/pdf/2023-11_sample.pdf

Ответ на вопрос довольно удивительный — это... квадрат! Причём почти все его точки (кроме счётного объединения отрезков) получаются ровно из одной точки тетраэдра Серпинского.

На фотографии — тот же самый тетраэдр Серпинского, снятый с нужного направления и с достаточно большого расстояния, чтобы это была почти параллельная проекция.

Убедиться в этом довольно просто. Сначала поймём, почему проекция обычного тетраэдра это квадрат. Для этого лучше всего заметить, что при "шахматной" раскраске вершин куба 4 одноцветные вершины образуют как раз правильный тетраэдр. Тогда середины противоположных рёбер этого тетраэдра это середины противоположных граней куба, так что направление проектирования это одно из направлений рёбер куба (на рисунке — вертикального). А 4 другие ребра тетраэдра — это диагонали 4 других граней куба (на рисунке — боковых), так что они проецируются в рёбра основания. И вот и получилось, что проекция тетраэдра это квадрат.

Точку Торричелли треугольника соединили с вершинами. В трех получившихся треугольниках провели прямые Эйлера. Доказать, что они проходят через одну точку.

// задачку рассказал Р.К.Гордин сегодня

к сегодняшнему юбилею Рафаила Калмановича Гордина — пусть здесь будет его недавнее интервью

К. Кноп меня тут научил, что треугольник Серпинского связан с ханойской башней. А именно, возможные конфигурации n колец можно сопоставить маленьким треугольникам на салфетке "порядка n" (после n раундов выкидывания).

При этом конфигурациям, отличающимся на один разрешённый ход, соответствуют соседние треугольники. Полностью собранным на одном из стержней кольцам — маленькие треугольники в самых вершинах исходного. А знание положений k самых больших колец определяет, в каком треугольнике ранга k (получающегося после k раундов выкидывания) содержится отвечающий данной позиции самый маленький.

Построить можно по индукции — построив для (n-1) кольца и состыковав [правильно повернув] три таких (отвечающих возможным положениям последнего кольца) нужным образом: треугольники "последнее кольцо на вершине А" и "последнее кольцо на вершине B" должны стыковаться по тем вершинам, где все кольца, кроме последнего, собраны в вершине C.

Картинка к предыдущему: маленькие треугольники, отвечающие ситуациями, когда:
- все кольца на одном из стержней (заштрихованные в вершинах)
- все кольца, кроме самого большого, на одном стержне, а большое на другом (отмеченные точками).

К вопросу со звёздочкой: давайте я немного поговорю про игру "ним".

Правила игры — есть несколько кучек камней, за один ход можно взять сколько угодно камней из любой одной кучки. Кто не может сделать ход — проиграл (иными словами, выигрывает взявший последний камень).

Игра на одной кучке тривиальна; игра на двух кучках решается симметричной стратегией — если в кучках одинаковое число камней, выигрывает второй игрок, а иначе начинающий (берущий столько, чтобы в кучках стало поровну). А что будет для игры с тремя кучками камней?

Возможным позициям в игре с двумя кучками можно сопоставить клетки (полубесконечной) таблицы или доски — позиции с i и j камнями в кучках соответствует клетка с координатами (i,j). И игра в таком случае превращается в игру "ладью — в угол", когда игроки по очереди двигают ладью влево или вниз на любое число клеток. И даже если симметрическая стратегия не угадывается сразу — она бросается в глаза, если раскрасить клетки-позиции на выигрышные и проигрышные.

Игра же на трёх кучках превращается уже в трёхмерную таблицу или доску. Давайте ограничим число камней в кучках — пусть в каждой кучке их меньше N.

Вопрос: как выглядит множество проигрышных клеток внутри куба NxNxN? Скажем, если этот куб затем сжать в N раз, чтобы он стал единичным, после чего клетки станут этакими "пикселями" (ну, или "вокселями", потому что они трёхмерные).

Если вы никогда этого не делали — попробуйте разобраться, что происходит для N=8. Игру можно разбирать "по слоям": сначала раскрасить доску 8x8, отвечающую позициям (i,j,k) с k=0. Собственно, тут это уже разобранный случай двух кучек.
Потом — с k=1 (учтя возможность хода "вниз"). Потом с k=2,3,... . И ответ сам по себе начнёт "проявляться"!

https://youtu.be/5q_sfXY-va8
( и https://youtu.be/KD_hRn_97RI )

новое видео Mathologer'а (при участии Henry Segerman'а) про объем шара и площадь сферы

Симплектоморфизм Архимеда (так называл его Арнольд) — это замечательное отображение сферы без полюсов на цилиндр, описанный около сферы. Это отображение сохраняет вертикальную и угловую координаты точки. Замечательно оно тем, что является симплектоморфизмом, то есть сохраняет площади — фигура на сфере переходит в фигуру той же площади на цилиндре. В частности площадь цилиндра равна площади сферы (это многие проверят в уме).

Сегодня узнал в канале непрерывного математического образования про совершенно другой симплектоморфизм: между сферой без северного полюса и кругом двойного радиуса. В канале мультик с рассказом, а словами этот симплектоморфизм описывается так: каждый меридиан (из южного полюса) сферы нужно повернуть вокруг его касательной в южном полюсе так, чтобы он стал горизонтальным. Получается круг, двойного радиуса, его площадь равна площади сферы, но более того — площади фигур сохраняются.

Первый симплектоморфизм имел (если не путаю) отношение к «теореме о теннисном мяче» — вложенная гладкая кривая на сфере, делящая ее площадь пополам, имеет не меньше четырех перегибов. А какие замечательные точки кривых на сфере можно «увидеть» с помощью второго симплектоморфизма?

Вот почти-мультфильм с тем, как по слоям заполняются выигрышные и проигрышные позиции для нима на 3 кучках, в которых исходно меньше 8 камней в каждой — или, что то же самое, в игре "ладью в угол" в кубе 8x8x8.

Справа — таблица текущего слоя; когда мы на него только переходим, из всех проигрышных позиций со всех слоёв ниже приходят выигрышные позиции, поэтому исходно он не совсем пустой.
Слои последовательно заполняются: механическим, раз за разом, применением правила "если из позиции можно пойти в проигрышную, то она выигрышная, а если можно только в выигрышные, то она проигрышная".

Слева — таблица "знаем ли мы уже для данного столбца, в каком слое в нём проигрышная позиция" (двух проигрышных позиций, одна над другой, быть не может).

(Кстати: обычно стрелочки вправо-влево позволяют перелистывать слайды так, чтобы они друг относительно друга не съезжали.)

И — наблюдая за такой, механически полученной, картинкой, можно пройти по очень правильному пути: заметить-сформулировать-доказать.

📢 Лекция Григория МЕРЗОНА в это воскресенье, 10 декабря 18:00 МСК

Григорий Мерзон — сотрудник МЦНМО и Лаб. популяризации и пропаганды математики МИАН, редактор журнала «Квантик».

🔍 Геометрические неравенства

📝 Мы поговорим про геометрические неравенства. Вот два примера задач.

* Как оценить площадь фигуры, если известен ее периметр? Как уточнить оценку, если известна дополнительная информация про геометрию фигуры?

* В метро разрешается проносить только такие коробки (прямоугольные параллелепипеды), у которых сумма измерений по длине, ширине и высоте не больше 150 см. Можно ли обойти это правило, убрав запрещенную коробку внутрь разрешенной?

Рассказ предполагается элементарным. От слушателей ожидается, что они знают формулу площади круга, морально готовы (не только рисовать картинки, но и) раскрывать скобки, не боятся слова “вероятность”.

⏰ Начало в 18:00 МСК.

📌 Ссылка на Zoom.

#открытые_лекции #анонс