В этом году проводится заочный конкурс Турнира городов. Что это такое можно узнать на сайте. На том же сайте уже выложены два набора конкурсных задач в стиле проекта ЛКТГ (Если решить много задач, то можно пройти на саму ЛКТГ). Оба проекта по геометрии. Один продолжает проект с последней ЛКТГ Инварианты Понселе в свете Cool ratio lemma, второй же посвящён Теореме Дезарга об Инволюции, если вы давно хотели узнать что это такое и порешать на это какие-то задачки, то кажется это хороший способ это сделать)

Задачи конкурса.
1. Инварианты Понселе в свете Cool ratio lemma
2. Теореме Дезарга об Инволюции

Давайте я чуть-чуть добавлю — почему это именно гало, а не радуга. Радуга получается из-за преломления и отражения света в капельках-шариках воды. При этом вообще-то, в зависимости от того, как именно луч входит в шарик, угол, на который преломление и отражение его повернёт, может быть совершенно разным. (Проще всего отсчитывать угол от направления, обратного направлению входа — так отразится луч, прошедший через центр капли.)
Так вот — угол поворота в зависимости от не-центральности входа луча в каплю может быть совершенно разным. Но. У функции «угол поворота в зависимости от места входа в каплю» есть точка максимума. И это значит, что в этом направлении уйдёт гораздо больше лучей, чем во всех остальных!

Гораздо больше — потому что в этом направлении плюс-минус δ идут лучи из «окна входа» размера порядка корень из δ. А для любого другого направления размер окна тоже порядка δ. И корень из δ много больше δ.
Ну и — из-за того, что значение коэффициента преломления зависит от цвета (хорошо, от длины волны 🙂 ), от него зависит и значение этого максимума: красный цвет поворачивает на 42 градуса от обратного направления, а другие чуть-чуть меньше. Вот мы и видим (главную) радугу — образующую дугу с углом ~42 градуса вокруг направления, противоположного направлению на Солнце.

У Математических Этюдов есть прекрасный ролик об этом — https://etudes.ru/etudes/rainbow/ .

Так вот — радуга это 42 градуса от направления, обратного направлению на Солнце. А на первом фото радужный отблеск в небе довольно близко к направлению на Солнце (оно справа на том же фото), так что радугой это быть не может. Так что это гало — получающееся из преломления света в кристалликах льда.

Давайте я добавлю ещё чуть-чуть про радугу. Вот у нас есть функция «угол, на который луч повернётся от направления, обратного направлению на Солнце», и радуга идёт на угловом расстоянии от этого направления, которое является максимумом этой функции.

Но! Если у функции какое-то значение это максимум, то все остальные значения меньше его. То есть — кроме собственно радуги, внутри неё мы видим ещё и рассеянный каплями под меньшим углом свет. А вот снаружи радуги такого света мы не получаем. Так что небо снаружи радуги — темнее, чем внутри.

Ещё — если свет внутри капли идёт по пути не с одним внутренним отражением («вход/преломление—внутреннее отражение—выход/преломление»), а с двумя, то получается другая функция с другим критическим значением (уже минимумом, а не максимумом, опять же, если отсчитывать от направления, противоположного Солнцу. И так получается вторая (более слабая из-за потерь) радуга.

Опять же, при таком отражении свет может уйти ещё сильнее за вторую радугу (потому что у функции — минимум), но не внутрь. Поэтому самая тёмная полоса, полоса Александера, будет между этими двумя радугами.

И ещё:
1) Скриншот соответствующего кусочка из «Математической составляющей», https://book.etudes.ru/articles/rainbow/
2) В январском номере Квантика, https://kvantik.com/issue/pdf/2025-01.pdf , на с. 19 есть фотография, где появляется третья радуга, причём она пересекает вторую (и вопрос, как же такое могло произойти). И да, это очень круто, автору (статьи и фотографии) — Никите Панюнину — большой респект. (А ответ есть в том же номере, на с. 29.)

Мальчишка, появившийся в 2005...

Друзья-коллеги помнят https://etudes.ru/news/2005/ и поздравляют. Спасибо!

https://vk.com/etudesru?w=wall-192547232_3563