Совершенно общее утверждение при таком подходе: одно применение F приводит к сдвигу кодирующей последовательности на один символ влево.
А в нашем случае всё ещё лучше:
- кодирование точки x это её двоичная запись
- если выбрать точку x равномерно на [0,1], то символы из кодирующей последовательности получаются как подбрасывания независимых честных монеток
- кодирование точки x это её двоичная запись
- если выбрать точку x равномерно на [0,1], то символы из кодирующей последовательности получаются как подбрасывания независимых честных монеток
А, например, выпадение 0,1,0 на n,n+1,n+2-ых подбрасываниях превращается в "F^n(x) между точками с двоичными записями {0,010}_2 и {0,011}_2 — то есть на полуинтервале [1/4, 3/8)".
Соответственно, игра Penney превращается в размещение "лунок": сначала один, потом второй игрок размещают лунки-отрезки длиной по 1/2^k; начальная точка выбирается равномерно случайно, и итерируется отображением F. В чью лунку она попадёт первой, тот победил.
Бунимович, правда, использовал немного другое отображение, "tent map" — F(x)=|2x-1|.
Но кодирование к этому отображению можно применить совершенно так же, просто дословно с теми же I_0 и I_1.
И он больше говорил о вопросе "какова мера начальных условий, которые не попадают в одну лунку J за время n" (она убывает экспоненциально с ростом n, но по-разному для разных лунок одинаковой длины).
Но на этом месте я, пожалуй, прекращу дозволенные речи. :)
В Bedlewo сегодня завершается конференция "2020 Vision for the dynamics" (https://www.impan.pl/en/activities/banach-center/conferences/19-vision2020 ), посвящённая памяти А. Б. Катка (https://ru.wikipedia.org/wiki/Каток,_Анатолий_Борисович ). И мне хотелось поделиться ещё парой фотографий с докладов:
С доклада Е. А. Робинсона-младшего (https://blogs.gwu.edu/robinson/ ) :
Как раз та самая подстановка Фибоначчи, о которой в Дубне рассказывал А. П. Веселов: ( https://vk.com/videos-65937233?z=video-65937233_456239054%2Fclub65937233%2Fpl_-65937233_-2 / https://mccme.ru/dubna/2019/courses/veselov.html )
Из той же лекции — мозаика Пенроуза: не периодичная, но квазипериодичная (любой кусочек, который появляется хоть где-то, появляется везде — по кусочку можно назвать такой радиус R, что копия кусочка есть внутри любого круга радиуса R).
А вот эта — из лекции Марка Полликотта (https://warwick.ac.uk/fac/sci/maths/people/staff/mark_pollicott/p1/ ) —
На фотографии можно узнать аффинное динамически определённое канторово множество. И, конечно, простейший пример — стандартное КМ: