А очень просто: если мы делим многочлен F с остатком на P, то значения остатка в корнях P совпадают со значениями F.

Поэтому остаток от деления F на P с некратными корнями — это единственный многочлен степени <= deg P -1, у которого в корнях те же значения, что и у F.

Иными словами — интерполяционный многочлен Лагранжа.

И вот получается алгоритм вычисления F(A): сначала построить интеполяционный многочлен R(x) по известным значениям F(λ_j) в корнях P(x) — собственных значениях λ_j. И потом подставить туда A.

Для матрицы A размера 2x2, нахождение R(x) это проведение прямой по двум точкам, что совсем быстро.

Для матрицы размера 3x3 — работы чуть больше (возвести A в квадрат, найти квадратный трёхчлен по трём значениям), но тоже вполне обозримо.

А узнал я это в своё время из посвящённого многочленам Лагранжа курса Аскольда Георгиевича Хованского — https://www.mccme.ru/dubna/2006/courses/khovansky.html (а вот тут лежат его записки — https://www.mccme.ru/dubna/2006/notes/newlagrang.pdf )

Математические постеры, которые висят в коридорах факультета математики (https://math.u-bourgogne.fr/ ) в Дижоне:

Не у всех есть глубокое содержание — но смотрятся очень хорошо (и "создают атмосферу").

Тут — стереографическая проекция, и это один из кадров из второй главы фильма Жиса, Йоса и Альвареса "Измерения":
http://dimensions-math.org/Dim_RU.htm

Начинается он довольно просто — но потом доходит до правильных многогранников в размерности 4, и до того, как на них можно "посмотреть глазами": сначала "надуть", чтобы они легли на трёхмерную сферу в R^4, а потом сделать стереографическую проекцию, получив картинку в R^3.

И про расслоение Хопфа и окружности Вилларсо в конце тоже рассказывают. Я, собственно, ровно оттуда узнал, что если рассечь тор, полученный честным вращением окружности, бикасательной плоскостью —