Казалось бы, отсюда можно получить уже готовый рецепт генерации (почти) случайного разбиения ацтекского бриллианта. А именно: мы знаем, что граф с вершинами-разбиениями связен относительно перестроек квадратиков. Берём какое-нибудь фиксированное начальное разбиение, например, просто все доминошки ставим вертикально. И на каждом шаге выбираем случайный квадрат 2x2. Если его можно перестроить — перестраиваем. Если нельзя — не трогаем. Как раз получается добавление фальшивых рёбер (ибо теперь у нас из каждой вершины исходит одно и то же их количество — просто многие ведут в неё же).
Вот пример такой симуляции (за эти картинки спасибо И. Батманову и К. Люборту):
(кстати, видно, что один из квадратиков "развернулся обратно")
40-я — пары горизонтальных доминошек посередине уже порождают вертикальные другой чётности