Задачи о подсчёте числа способов встречаются в кружках 5-8 классов довольно часто. Однако иногда кажется, что эта тема не так уж сильно раскрыта в старших классах. Тем не менее в серьёзных олимпиадах периодически встречаются интересные задачи, связанные с этой областью математики.

В этой разминке приведены 3 задачи, которые меня заинтересовали и которые я с удовольствием решал. Первая задача может быть решена даже учеником 5 класса, вторая требует более тщательного рассмотрения, а третья представляет собой более сложную задачу, над которой точно придётся какое-то время подумать.

В качестве новой разминки предложу задачи на тему «Подсчёт количества информации». В основном в задачах такого типа при помощи доступных операций/вопросов необходимо что-то выяснить за минимальное количество таких действий. Как правило, привести конкретный алгоритм и проверить его — не очень сложно. А вот доказательство его оптимальности вызывает определённые трудности, и без подсчёта количества информации зачастую просто не обойтись.

Такие задачи начинают встречаться в 5-6 классах, и зачастую это задачи про взвешивания (задача №1). Также без подсчёта количества информации не обойтись в более серьёзных задачах про фокусы (задача №2). А про задачу №3 скажу только, что задачу своего авторства не вставить в такую подборку я просто не мог 😀

На этой неделе я предлагаю вам порешать геометрические задачи, которые связывает то, что внутри некоторой фигуры располагается сразу несколько окружностей.

Первая задача (сравнительно простая) предлагалась 8-классникам в далёком 1986-м году на Всероссийской олимпиаде и недавно была предложена на олимпиаде «Высшая проба» в 10-м классе.

Вторая задача посложнее, она предлагалась в 1990-м году тоже на Всероссийской олимпиаде, но в 10-м классе.

И, наконец, третья задача является классикой. Три окружности, расположенные внутри треугольника указанным образом, называются окружностями Мальфатти. Джанфранческо Мальфатти в 1803 году решал задачу построения трёх таких окружностей, будучи убеждённым, что именно такие три круга внутри треугольника занимают наибольшую площадь. (На самом деле он решал задачу высечения трёх круглых колонн наибольшего объёма из треугольной призмы мрамора). В 1967-м году оказалось, что окружности Мальфатти не только не решают задачу, но и не являются оптимальным решением ни для какого треугольника. Обе задачи — построения окружностей Мальфатти и вырезания трёх непересекающихся кругов максимальной площади — называются задачами Мальфатти.

Задача построения трёх касающихся окружностей внутри треугольника была предложена японским математиком XVIII века Адзимой Наонобу ещё до работы Мальфатти, и эта задача была включена в неопубликованную коллекцию работ Адзимы, собранную годом позже его смерти его учеником Кусакой Макото. Именно в честь двух этих математиков и названа точка пересечения, наличие которой надо установить в третьей задаче.