На этой неделе я предлагаю вам порешать геометрические задачи, которые связывает то, что внутри некоторой фигуры располагается сразу несколько окружностей.

Первая задача (сравнительно простая) предлагалась 8-классникам в далёком 1986-м году на Всероссийской олимпиаде и недавно была предложена на олимпиаде «Высшая проба» в 10-м классе.

Вторая задача посложнее, она предлагалась в 1990-м году тоже на Всероссийской олимпиаде, но в 10-м классе.

И, наконец, третья задача является классикой. Три окружности, расположенные внутри треугольника указанным образом, называются окружностями Мальфатти. Джанфранческо Мальфатти в 1803 году решал задачу построения трёх таких окружностей, будучи убеждённым, что именно такие три круга внутри треугольника занимают наибольшую площадь. (На самом деле он решал задачу высечения трёх круглых колонн наибольшего объёма из треугольной призмы мрамора). В 1967-м году оказалось, что окружности Мальфатти не только не решают задачу, но и не являются оптимальным решением ни для какого треугольника. Обе задачи — построения окружностей Мальфатти и вырезания трёх непересекающихся кругов максимальной площади — называются задачами Мальфатти.

Задача построения трёх касающихся окружностей внутри треугольника была предложена японским математиком XVIII века Адзимой Наонобу ещё до работы Мальфатти, и эта задача была включена в неопубликованную коллекцию работ Адзимы, собранную годом позже его смерти его учеником Кусакой Макото. Именно в честь двух этих математиков и названа точка пересечения, наличие которой надо установить в третьей задаче.