Forwarded from Математические кружки | «МТ кружки»
Всем привет! Разбираем задачу про треугольный замок.
В этой задаче более-менее сразу понятно, что все комнаты обойти нельзя (например, нельзя попасть во все угловые). Но как понять, какое наибольшее число комнат можно посетить? Доказательство таких утверждений состоит обычно из двух частей: оценка и пример. В большинстве задач такого типа пример построить довольно легко, а вот оценка требует изобретательности!
В данной задаче работает метод раскраски. Надо покрасить залы в шахматном порядке (зелёный и белый цвета на рисунке). Перемещаясь из зала в зал, мы обязательно меняем цвет. Белых залов всего 10, и цвета мы должны чередовать. Учитывая, что стартовать и финишировать мы можем в зелёных залах, можно рассчитывать на посещение максимум 10+11=21 зала. Пример с маршрутом по 21 залу — на рисунке.
В этой задаче более-менее сразу понятно, что все комнаты обойти нельзя (например, нельзя попасть во все угловые). Но как понять, какое наибольшее число комнат можно посетить? Доказательство таких утверждений состоит обычно из двух частей: оценка и пример. В большинстве задач такого типа пример построить довольно легко, а вот оценка требует изобретательности!
В данной задаче работает метод раскраски. Надо покрасить залы в шахматном порядке (зелёный и белый цвета на рисунке). Перемещаясь из зала в зал, мы обязательно меняем цвет. Белых залов всего 10, и цвета мы должны чередовать. Учитывая, что стартовать и финишировать мы можем в зелёных залах, можно рассчитывать на посещение максимум 10+11=21 зала. Пример с маршрутом по 21 залу — на рисунке.
👍18❤3
Клеточки и разрезания по пятницам
61-й Уральский турнир Юных математиков. Финал, старшая высшая лига, бои за 1-4 места. USA TSTST 2023
#10. Дано натуральное n. Докажите, что можно закрасить некоторые клетки бесконечной клетчатой плоскости в зелёный цвет так, чтобы любой прямоугольник из n клеток содержал нечётное число зелёных клеток.
#клеточки
61-й Уральский турнир Юных математиков. Финал, старшая высшая лига, бои за 1-4 места. USA TSTST 2023
#10. Дано натуральное n. Докажите, что можно закрасить некоторые клетки бесконечной клетчатой плоскости в зелёный цвет так, чтобы любой прямоугольник из n клеток содержал нечётное число зелёных клеток.
#клеточки
❤13👍5
Разбираем задачу #9
Во-первых, не умаляя общности можно считать, что в наборе есть число 3n (иначе можно добавить ко всем числам одно и то же). Во-вторых, это означает, что чисел от n+1 до 2n-1 в наборе нет — они все образовывали бы с 3n искомую пару. Остальные числа разобьем на пары
(1, 2n), (2,2n+1), ..., (n, 3n-1)
— все эти пары удовлетворяют условию и в какой-то паре по принципу Дирихле выбраны оба числа.
Во-первых, не умаляя общности можно считать, что в наборе есть число 3n (иначе можно добавить ко всем числам одно и то же). Во-вторых, это означает, что чисел от n+1 до 2n-1 в наборе нет — они все образовывали бы с 3n искомую пару. Остальные числа разобьем на пары
(1, 2n), (2,2n+1), ..., (n, 3n-1)
— все эти пары удовлетворяют условию и в какой-то паре по принципу Дирихле выбраны оба числа.
🔥9
Хоть сегодня и понедельник, но будет не граф, а задача про множества, но по духу похожая на граф.
61-й Уральский турник Юных математиков. Финал. Высшая старшая лига. Бои за 1-4 места.
#11. В каждом зоопарке обитает ровно 100 видов животных. Зоопарки бывают двух типов: с вайфаем и без вайфая. Для любой пары зоопарков разного типа есть вид животных, который содержится в обоих зоопарках. Докажите, что все виды животных можно разделить на три непересекающихся списка так, чтобы в каждом зоопарке обитали животные не менее чем из двух списков.
#множества
61-й Уральский турник Юных математиков. Финал. Высшая старшая лига. Бои за 1-4 места.
#11. В каждом зоопарке обитает ровно 100 видов животных. Зоопарки бывают двух типов: с вайфаем и без вайфая. Для любой пары зоопарков разного типа есть вид животных, который содержится в обоих зоопарках. Докажите, что все виды животных можно разделить на три непересекающихся списка так, чтобы в каждом зоопарке обитали животные не менее чем из двух списков.
#множества
👍10🕊2🤯1😭1
Разбираем задачу #10
Легко заметить, что если пример построен для какого-то n, то он годится для np, где p — нечетное простое число. Поэтому достаточно строить пример для степеней двойки. Поэтому пусть n=2^k. Далее считаем, что в зеленых клетках стоят единички, а в белых — нули.
Не знаю, как младшеклассники должны строить пример для степени двойки, но я знаю такой метод. Надо для каждого m<k расставить единички так, чтобы в каждом прямоугольнике 2^m×2^(k-m) стояло нечетное число единиц, а в прямоугольники любой другой формы и той же площадью — четное. А затем сложить все такие раскраски по модулю 2.
Искомая раскраска для 2^m×2^(k-m) строится так: надо поставить единичку в клетку, если координата по y делится на 2^m, а координата по x делится на 2^(k-m).
В целом, сумму таких раскрасок, наверное, можно записать явно для каждой клетки...
Легко заметить, что если пример построен для какого-то n, то он годится для np, где p — нечетное простое число. Поэтому достаточно строить пример для степеней двойки. Поэтому пусть n=2^k. Далее считаем, что в зеленых клетках стоят единички, а в белых — нули.
Не знаю, как младшеклассники должны строить пример для степени двойки, но я знаю такой метод. Надо для каждого m<k расставить единички так, чтобы в каждом прямоугольнике 2^m×2^(k-m) стояло нечетное число единиц, а в прямоугольники любой другой формы и той же площадью — четное. А затем сложить все такие раскраски по модулю 2.
Искомая раскраска для 2^m×2^(k-m) строится так: надо поставить единичку в клетку, если координата по y делится на 2^m, а координата по x делится на 2^(k-m).
В целом, сумму таких раскрасок, наверное, можно записать явно для каждой клетки...
❤6👍2
61-ый Уральский турнир юных математиков, третий тур
#12. Два кальмара вынуждены участвовать в игре. Перед началом игры они узнают правила и договариваются о своих действиях. Затем они будут заперты в соседних комнатах, и каждому будет выдана карточка, на которой написано натуральное число. Известно, что числа на карточках различны и не превышают 2023. Далее кальмары по очереди делают ходы. За ход можно сделать одно из двух действий:
1) Очень громко назвать любое натуральное число. Это число будет услышано другим кальмаром.
2) Сказать, у кого из кальмаров на карточке большее число.
Если во втором случае ответ верен, то кальмаров отпускают, иначе — жарят. Найдите наименьшее натуральное N, при котором кальмары могут спастись (вне зависимости от того, какие у них карточки), и при этом сумма чисел, названных кальмарами, не превысит N.
#алгоритмы
#12. Два кальмара вынуждены участвовать в игре. Перед началом игры они узнают правила и договариваются о своих действиях. Затем они будут заперты в соседних комнатах, и каждому будет выдана карточка, на которой написано натуральное число. Известно, что числа на карточках различны и не превышают 2023. Далее кальмары по очереди делают ходы. За ход можно сделать одно из двух действий:
1) Очень громко назвать любое натуральное число. Это число будет услышано другим кальмаром.
2) Сказать, у кого из кальмаров на карточке большее число.
Если во втором случае ответ верен, то кальмаров отпускают, иначе — жарят. Найдите наименьшее натуральное N, при котором кальмары могут спастись (вне зависимости от того, какие у них карточки), и при этом сумма чисел, названных кальмарами, не превысит N.
#алгоритмы
👍10🔥4❤3
Клеточки по пятницам
#13. Шахматную доску 8×8 разрезали на 32 доминошки. Докажите, что 'вертикальных' доминошек чётное число.
#клеточки
#13. Шахматную доску 8×8 разрезали на 32 доминошки. Докажите, что 'вертикальных' доминошек чётное число.
#клеточки
👍11❤4🔥1🥰1
Всем привет! Сегодня мы поговорим с вами о задача, которая известна как "лемма о бензоколонках" (или Raney's lemma). Лемму эту опубликовал George Raney в 1960 году в журнале Transactions of the American Mathematical Society.
В России это утверждение больше известно благодаря публикации в задачнике журнала "Квант" в 1971 году под номером М82. Автором задачи указан читатель С. Охитин из Оренбурга.
Формулировка задачи такая
На кольцевой автомобильной дороге стоят несколько одинаковых автомашин. Если бы весь бензин, имеющийся в этих автомашинах, слили в одну, то эта машина смогла бы проехать по всей кольцевой дороге и вернуться на прежнее место. Докажите, что хотя бы одна из этих машин может объехать всё кольцо, забирая по пути бензин у остальных машин.
Ее несложно переформулировать с следующем более математическом виде (упражнение)
Даны числа x_1, x_2, ..., x_n с нулевой суммой. Тогда существует циклическая перестановка, для которой все частичные суммы неотрицательны. То есть существует такое k, что x_k⩾0, x_k+x_{k+1}⩾0, x_k+x_{k+1}+x_{k+2}⩾0,... x_k+x_{k+1}+...x_{k-1}⩾0.
Одно из наиболее классических и простых доказательств этого утверждение проводится при помощи индукции. Если машина одна, то в ней достаточно бензина на полный круг. Пусть у нас есть n машин, то можно найти 2 соседние, такие, что из первой можно доехать до второй по часовой стрелке. Уберем вторую и отдадим весь ее бензин первой. По предположению индукции, среди оставшихся n-1 существует одна, из которой можно проехать полный круг по часовой стрелке — она же подойдет и для n в исходной конфигурации.
Однако совсем недавно благодаря каналу Феди П я узнал прекрасное доказательство (которое он в свою очередь узнал от Таи Коротченко) с выпукло-геометрическими мотивами.
Рассмотрим n векторов, полученных из (1,-1,0,0,..,0) циклическими перестановками. Они все лежат в (n-1)-мерной гиперплоскости (сумма координат равна нулю) и являются вершинами симплекса, содержащего начало координат (центр его масс). Луч из начала координат в точку (x_1,...,x_n) пересекает некоторую грань этого симплекса. Сделаем циклическую перестановку так, чтобы эта грань не содержала вершину (-1,0,0,...,0,1). Но все точки (y_1,...,y_n) в этой грани имеют неотрицательные частичные суммы координат, поскольку этим свойством обладают все вершины этой грани, а значит и все выпуклые комбинации.
В России это утверждение больше известно благодаря публикации в задачнике журнала "Квант" в 1971 году под номером М82. Автором задачи указан читатель С. Охитин из Оренбурга.
Формулировка задачи такая
На кольцевой автомобильной дороге стоят несколько одинаковых автомашин. Если бы весь бензин, имеющийся в этих автомашинах, слили в одну, то эта машина смогла бы проехать по всей кольцевой дороге и вернуться на прежнее место. Докажите, что хотя бы одна из этих машин может объехать всё кольцо, забирая по пути бензин у остальных машин.
Ее несложно переформулировать с следующем более математическом виде (упражнение)
Даны числа x_1, x_2, ..., x_n с нулевой суммой. Тогда существует циклическая перестановка, для которой все частичные суммы неотрицательны. То есть существует такое k, что x_k⩾0, x_k+x_{k+1}⩾0, x_k+x_{k+1}+x_{k+2}⩾0,... x_k+x_{k+1}+...x_{k-1}⩾0.
Одно из наиболее классических и простых доказательств этого утверждение проводится при помощи индукции. Если машина одна, то в ней достаточно бензина на полный круг. Пусть у нас есть n машин, то можно найти 2 соседние, такие, что из первой можно доехать до второй по часовой стрелке. Уберем вторую и отдадим весь ее бензин первой. По предположению индукции, среди оставшихся n-1 существует одна, из которой можно проехать полный круг по часовой стрелке — она же подойдет и для n в исходной конфигурации.
Однако совсем недавно благодаря каналу Феди П я узнал прекрасное доказательство (которое он в свою очередь узнал от Таи Коротченко) с выпукло-геометрическими мотивами.
Рассмотрим n векторов, полученных из (1,-1,0,0,..,0) циклическими перестановками. Они все лежат в (n-1)-мерной гиперплоскости (сумма координат равна нулю) и являются вершинами симплекса, содержащего начало координат (центр его масс). Луч из начала координат в точку (x_1,...,x_n) пересекает некоторую грань этого симплекса. Сделаем циклическую перестановку так, чтобы эта грань не содержала вершину (-1,0,0,...,0,1). Но все точки (y_1,...,y_n) в этой грани имеют неотрицательные частичные суммы координат, поскольку этим свойством обладают все вершины этой грани, а значит и все выпуклые комбинации.
🔥10👍7❤2
Forwarded from Непрерывное математическое образование
классическое применение леммы Рени — формула для чисел Каталана:
пути Дика можно отождествить с последовательностями из n+1 числа +1 и n чисел -1, все частичные суммы которых положительны — а по лемме Рени последнее условие выделяет 1/(2n+1) часть от всех \binom{2n+1}{n+1} последовательностей (для каждой последовательности подойдет ровно один циклический сдвиг)
про последовательности ±1, частичные суммы и циклические перестановки есть также статья Эрдеша и Капланского 1946 года — https://old.renyi.hu/~p_erdos/1946-09.pdf — но там немного другое утверждение и уж совсем другое доказательство (но тоже, кстати, поучительное)
пути Дика можно отождествить с последовательностями из n+1 числа +1 и n чисел -1, все частичные суммы которых положительны — а по лемме Рени последнее условие выделяет 1/(2n+1) часть от всех \binom{2n+1}{n+1} последовательностей (для каждой последовательности подойдет ровно один циклический сдвиг)
про последовательности ±1, частичные суммы и циклические перестановки есть также статья Эрдеша и Капланского 1946 года — https://old.renyi.hu/~p_erdos/1946-09.pdf — но там немного другое утверждение и уж совсем другое доказательство (но тоже, кстати, поучительное)
👍10
Граф по понедельникам.
#14. Ладья, делая ходы по вертикали и горизонтали на соседнее поле, за 64 хода обошла все поля шахматной доски 8×8 и вернулась на исходное поле. Докажите, что число ходов по вертикали не равно числу ходов по горизонтали.
#граф
#14. Ладья, делая ходы по вертикали и горизонтали на соседнее поле, за 64 хода обошла все поля шахматной доски 8×8 и вернулась на исходное поле. Докажите, что число ходов по вертикали не равно числу ходов по горизонтали.
#граф
❤11👍2
Forwarded from Математические байки (Victor Kleptsyn)
К. Кноп меня тут научил, что треугольник Серпинского связан с ханойской башней. А именно, возможные конфигурации n колец можно сопоставить маленьким треугольникам на салфетке "порядка n" (после n раундов выкидывания).
При этом конфигурациям, отличающимся на один разрешённый ход, соответствуют соседние треугольники. Полностью собранным на одном из стержней кольцам — маленькие треугольники в самых вершинах исходного. А знание положений k самых больших колец определяет, в каком треугольнике ранга k (получающегося после k раундов выкидывания) содержится отвечающий данной позиции самый маленький.
Построить можно по индукции — построив для (n-1) кольца и состыковав [правильно повернув] три таких (отвечающих возможным положениям последнего кольца) нужным образом: треугольники "последнее кольцо на вершине А" и "последнее кольцо на вершине B" должны стыковаться по тем вершинам, где все кольца, кроме последнего, собраны в вершине C.
При этом конфигурациям, отличающимся на один разрешённый ход, соответствуют соседние треугольники. Полностью собранным на одном из стержней кольцам — маленькие треугольники в самых вершинах исходного. А знание положений k самых больших колец определяет, в каком треугольнике ранга k (получающегося после k раундов выкидывания) содержится отвечающий данной позиции самый маленький.
Построить можно по индукции — построив для (n-1) кольца и состыковав [правильно повернув] три таких (отвечающих возможным положениям последнего кольца) нужным образом: треугольники "последнее кольцо на вершине А" и "последнее кольцо на вершине B" должны стыковаться по тем вершинам, где все кольца, кроме последнего, собраны в вершине C.
👍8
Задача от лауреата филдсовской премии Максима Концевича. Задача когда-то очень давно предлагалась на сложном туре Турнира городов. Как вы думаете сколько баллов она стоила?
#15. k вершин правильного n-угольника закрашены. Закраска называется почти равномерной, если для любого натурального m верно следующее условие: если M₁ – множество m расположенных подряд вершин и M₂ – другое такое множество, то количество закрашенных вершин в M₁ отличается от количества закрашенных вершин в M₂ не больше чем на 1. Доказать, что для любых натуральных n и k ≤ n почти равномерная закраска существует и что она единственна с точностью до поворотов закрашенного множества.
#15. k вершин правильного n-угольника закрашены. Закраска называется почти равномерной, если для любого натурального m верно следующее условие: если M₁ – множество m расположенных подряд вершин и M₂ – другое такое множество, то количество закрашенных вершин в M₁ отличается от количества закрашенных вершин в M₂ не больше чем на 1. Доказать, что для любых натуральных n и k ≤ n почти равномерная закраска существует и что она единственна с точностью до поворотов закрашенного множества.
🤯15👍7❤4
Задача с прошедшей только что Китайской национальной олимпиады 2024. Задача предлагалась под номером 6 (самая сложная задача в варианте).
#16. В вершинах правильного 99-угольника расставляются натуральные числа от 1 до 99 (расстановки, отличающиеся поворотом, считаются одинаковыми). За одну операцию разрешается поменять местами два числа, стоящие в соседних вершинах. Найдите наименьшее n такое, что из любой расстановки можно получить любую другую, совершив не более чем n операций.
#16. В вершинах правильного 99-угольника расставляются натуральные числа от 1 до 99 (расстановки, отличающиеся поворотом, считаются одинаковыми). За одну операцию разрешается поменять местами два числа, стоящие в соседних вершинах. Найдите наименьшее n такое, что из любой расстановки можно получить любую другую, совершив не более чем n операций.
❤22🔥6🤮4👍1
Forwarded from Олимпиадная геометрия
Приближается к концу мой первый совместный триместр с Даброматом. Это было огого! Целых три программы по геометрии! Но теперь все немного переформатируется и будет еще круче. Во втором триместре Дабромат запускает несколько полноценных курсов-кружков.
Курс “Эйлер”
Этот курс рассчитан на условных восьмиклассников, которые готовятся к региону/финалу олимпиады Эйлера этого или следующего года. Содержит в себе занятия по всем важным разделам. Занятия будут вести просто супер-преподаватели Александр Кузнецов и Давид Бродский.
Курс “ВсОШ”
Этот курс рассчитан на условных 9-10 классников, готовящихся к региональной олимпиаде или финалу в этом году или в будущем. Каждую неделю участникам будут предложены листочки по Алгебре&ТЧ, Комбинаторике и Геометрии. Будет теоретический материал, отслушка и три разбора. Занятия ведем мы с Давидом Бродским. Он отвечает за алгебру, а я буду заниматься комбинаторикой и геометрией.
Тренировки по геометрии
Из предыдущего курса можно отдельно выделить геометрию — каждую неделю вы решаете, хотите ли порешать листик по геометрии. Получаете задачи, доступ к лекции, проверку ваших письменных решений и доступ к стриму с разбором, который провожу я в субботу. Расписание тренировок и кое-какие материалы я буду постить на канале, чтобы вы уже решали, нужно оно вам или нет. Приблизительную программу тренировок можно найти в программе Курса “ВсОШ”.
Курс “Современная геометрия”
Тут все по прежнему. Геометрическая жесть как она есть от Давида Бродского и немного от меня (я сглаживаю экстремизм коллеги). Тут программа начнется с подготовки к региону и финалу, а потом перейдет в прокач проективной геометрии.
Курс “Перечни”
Подготовка к перечневым олимпиадам. Ее ведет Мирослав Краснов.
По ссылкам вы можете найти программы курсов. Присоединяйтесь! Кажется, у нас получается довольно круто!
Курс “Эйлер”
Этот курс рассчитан на условных восьмиклассников, которые готовятся к региону/финалу олимпиады Эйлера этого или следующего года. Содержит в себе занятия по всем важным разделам. Занятия будут вести просто супер-преподаватели Александр Кузнецов и Давид Бродский.
Курс “ВсОШ”
Этот курс рассчитан на условных 9-10 классников, готовящихся к региональной олимпиаде или финалу в этом году или в будущем. Каждую неделю участникам будут предложены листочки по Алгебре&ТЧ, Комбинаторике и Геометрии. Будет теоретический материал, отслушка и три разбора. Занятия ведем мы с Давидом Бродским. Он отвечает за алгебру, а я буду заниматься комбинаторикой и геометрией.
Тренировки по геометрии
Из предыдущего курса можно отдельно выделить геометрию — каждую неделю вы решаете, хотите ли порешать листик по геометрии. Получаете задачи, доступ к лекции, проверку ваших письменных решений и доступ к стриму с разбором, который провожу я в субботу. Расписание тренировок и кое-какие материалы я буду постить на канале, чтобы вы уже решали, нужно оно вам или нет. Приблизительную программу тренировок можно найти в программе Курса “ВсОШ”.
Курс “Современная геометрия”
Тут все по прежнему. Геометрическая жесть как она есть от Давида Бродского и немного от меня (я сглаживаю экстремизм коллеги). Тут программа начнется с подготовки к региону и финалу, а потом перейдет в прокач проективной геометрии.
Курс “Перечни”
Подготовка к перечневым олимпиадам. Ее ведет Мирослав Краснов.
По ссылкам вы можете найти программы курсов. Присоединяйтесь! Кажется, у нас получается довольно круто!
dabromat.ru
Олимпиадная математика Дабромат
Курсы по олимпиадной математике
👍5👏2❤1👎1🤡1
Для любителей комбинаторики с числовыми мотивами прекрасная задача с американского отбора на международную олимпиаду.
#17. Пусть даны натуральные числа n>k и простое число p. Предположим, что p делит количество k-элементных подмножеств множества {1, 2, ..., n}. Докажите, что тогда все эти k-элементные подмножества можно разделить на p групп одинакового размера так, чтобы любые два подмножества с одинаковой суммой оказались в одной группе.
#17. Пусть даны натуральные числа n>k и простое число p. Предположим, что p делит количество k-элементных подмножеств множества {1, 2, ..., n}. Докажите, что тогда все эти k-элементные подмножества можно разделить на p групп одинакового размера так, чтобы любые два подмножества с одинаковой суммой оказались в одной группе.
❤12👍4🤔3
ВсОШ_4_Клеточки.pdf
102.3 KB
Всем привет! Сегодня у нас традиционна рубрика "Пятничные клеточки".
На этой неделе на курсе "ВсОШ" Дабромата как раз проходят клетчатые задачи. Лично мне очень нравится последняя задача и игрушка. Я в свое время получил огромное удовольствие от решения этих задач.
PS. Просьба не обсуждать задачи до завтрашнего вечера, когда случится их разбор в Дабромате
На этой неделе на курсе "ВсОШ" Дабромата как раз проходят клетчатые задачи. Лично мне очень нравится последняя задача и игрушка. Я в свое время получил огромное удовольствие от решения этих задач.
PS. Просьба не обсуждать задачи до завтрашнего вечера, когда случится их разбор в Дабромате
❤19👍5🔥1
Forwarded from Математические кружки | «МТ кружки»
Последний (четвёртый) тренировочный вариант региональной олимпиады
По ссылкам ниже находятся тренировочные варианты региональной олимпиады ВсОШ для каждой из параллелей (9, 10, 11 класс) и олимпиады Эйлера, разработанные командой преподавателей МТ кружков:
— Эйлер
— 9 класс
— 10 класс
— 11 класс
Если у вас есть такая возможность, то лучше всего прорешать вариант, соблюдая все правила написания реальной олимпиады:
— решать задачи надо в течение 4 часов подряд;
— в течение этого времени надо не только решать задачи, но ещё и записать их подробные решения;
— пользоваться можно только канцелярскими принадлежностями.
В конце этой недели к каждому варианту мы проведём стрим с подробным разбором. Ссылки на стримы будут опубликованы в нашем канале отдельным сообщением. Всем удачи🙂
PS. Условия и разбор первого тренировочного варианта можно посмотреть тут, второго — тут, а третьего — тут.
По ссылкам ниже находятся тренировочные варианты региональной олимпиады ВсОШ для каждой из параллелей (9, 10, 11 класс) и олимпиады Эйлера, разработанные командой преподавателей МТ кружков:
— Эйлер
— 9 класс
— 10 класс
— 11 класс
Если у вас есть такая возможность, то лучше всего прорешать вариант, соблюдая все правила написания реальной олимпиады:
— решать задачи надо в течение 4 часов подряд;
— в течение этого времени надо не только решать задачи, но ещё и записать их подробные решения;
— пользоваться можно только канцелярскими принадлежностями.
В конце этой недели к каждому варианту мы проведём стрим с подробным разбором. Ссылки на стримы будут опубликованы в нашем канале отдельным сообщением. Всем удачи🙂
PS. Условия и разбор первого тренировочного варианта можно посмотреть тут, второго — тут, а третьего — тут.
❤8👍1🍌1