От Арнольда знаю такое утверждение: период физического маятника строго монотонно зависит от амплитуды. Даже производная не нулевая. В одном из его экзаменов по обыкновенным дифференциальным уравнениям это (вернее: задача быстро сводящаяся к этой) была самая сложная задача.

Не видал пока молодых математических людей (и сам таким не был), которые могли бы ее быстро решить.

не видел в книжках, чтобы этот факт о монотонности был явно сформулирован - если кто видел — скажите

картинки по выходным: теорема Наполеона и ее родствениики из свежего Квантика, https://kvantik.com/issue/pdf/2023-11_sample.pdf

Ответ на вопрос довольно удивительный — это... квадрат! Причём почти все его точки (кроме счётного объединения отрезков) получаются ровно из одной точки тетраэдра Серпинского.

На фотографии — тот же самый тетраэдр Серпинского, снятый с нужного направления и с достаточно большого расстояния, чтобы это была почти параллельная проекция.

Убедиться в этом довольно просто. Сначала поймём, почему проекция обычного тетраэдра это квадрат. Для этого лучше всего заметить, что при "шахматной" раскраске вершин куба 4 одноцветные вершины образуют как раз правильный тетраэдр. Тогда середины противоположных рёбер этого тетраэдра это середины противоположных граней куба, так что направление проектирования это одно из направлений рёбер куба (на рисунке — вертикального). А 4 другие ребра тетраэдра — это диагонали 4 других граней куба (на рисунке — боковых), так что они проецируются в рёбра основания. И вот и получилось, что проекция тетраэдра это квадрат.

Точку Торричелли треугольника соединили с вершинами. В трех получившихся треугольниках провели прямые Эйлера. Доказать, что они проходят через одну точку.

// задачку рассказал Р.К.Гордин сегодня

к сегодняшнему юбилею Рафаила Калмановича Гордина — пусть здесь будет его недавнее интервью

К. Кноп меня тут научил, что треугольник Серпинского связан с ханойской башней. А именно, возможные конфигурации n колец можно сопоставить маленьким треугольникам на салфетке "порядка n" (после n раундов выкидывания).

При этом конфигурациям, отличающимся на один разрешённый ход, соответствуют соседние треугольники. Полностью собранным на одном из стержней кольцам — маленькие треугольники в самых вершинах исходного. А знание положений k самых больших колец определяет, в каком треугольнике ранга k (получающегося после k раундов выкидывания) содержится отвечающий данной позиции самый маленький.

Построить можно по индукции — построив для (n-1) кольца и состыковав [правильно повернув] три таких (отвечающих возможным положениям последнего кольца) нужным образом: треугольники "последнее кольцо на вершине А" и "последнее кольцо на вершине B" должны стыковаться по тем вершинам, где все кольца, кроме последнего, собраны в вершине C.

Картинка к предыдущему: маленькие треугольники, отвечающие ситуациями, когда:
- все кольца на одном из стержней (заштрихованные в вершинах)
- все кольца, кроме самого большого, на одном стержне, а большое на другом (отмеченные точками).

К вопросу со звёздочкой: давайте я немного поговорю про игру "ним".

Правила игры — есть несколько кучек камней, за один ход можно взять сколько угодно камней из любой одной кучки. Кто не может сделать ход — проиграл (иными словами, выигрывает взявший последний камень).

Игра на одной кучке тривиальна; игра на двух кучках решается симметричной стратегией — если в кучках одинаковое число камней, выигрывает второй игрок, а иначе начинающий (берущий столько, чтобы в кучках стало поровну). А что будет для игры с тремя кучками камней?

Возможным позициям в игре с двумя кучками можно сопоставить клетки (полубесконечной) таблицы или доски — позиции с i и j камнями в кучках соответствует клетка с координатами (i,j). И игра в таком случае превращается в игру "ладью — в угол", когда игроки по очереди двигают ладью влево или вниз на любое число клеток. И даже если симметрическая стратегия не угадывается сразу — она бросается в глаза, если раскрасить клетки-позиции на выигрышные и проигрышные.

Игра же на трёх кучках превращается уже в трёхмерную таблицу или доску. Давайте ограничим число камней в кучках — пусть в каждой кучке их меньше N.

Вопрос: как выглядит множество проигрышных клеток внутри куба NxNxN? Скажем, если этот куб затем сжать в N раз, чтобы он стал единичным, после чего клетки станут этакими "пикселями" (ну, или "вокселями", потому что они трёхмерные).

Если вы никогда этого не делали — попробуйте разобраться, что происходит для N=8. Игру можно разбирать "по слоям": сначала раскрасить доску 8x8, отвечающую позициям (i,j,k) с k=0. Собственно, тут это уже разобранный случай двух кучек.
Потом — с k=1 (учтя возможность хода "вниз"). Потом с k=2,3,... . И ответ сам по себе начнёт "проявляться"!

https://youtu.be/5q_sfXY-va8
( и https://youtu.be/KD_hRn_97RI )

новое видео Mathologer'а (при участии Henry Segerman'а) про объем шара и площадь сферы

Симплектоморфизм Архимеда (так называл его Арнольд) — это замечательное отображение сферы без полюсов на цилиндр, описанный около сферы. Это отображение сохраняет вертикальную и угловую координаты точки. Замечательно оно тем, что является симплектоморфизмом, то есть сохраняет площади — фигура на сфере переходит в фигуру той же площади на цилиндре. В частности площадь цилиндра равна площади сферы (это многие проверят в уме).

Сегодня узнал в канале непрерывного математического образования про совершенно другой симплектоморфизм: между сферой без северного полюса и кругом двойного радиуса. В канале мультик с рассказом, а словами этот симплектоморфизм описывается так: каждый меридиан (из южного полюса) сферы нужно повернуть вокруг его касательной в южном полюсе так, чтобы он стал горизонтальным. Получается круг, двойного радиуса, его площадь равна площади сферы, но более того — площади фигур сохраняются.

Первый симплектоморфизм имел (если не путаю) отношение к «теореме о теннисном мяче» — вложенная гладкая кривая на сфере, делящая ее площадь пополам, имеет не меньше четырех перегибов. А какие замечательные точки кривых на сфере можно «увидеть» с помощью второго симплектоморфизма?

Вот почти-мультфильм с тем, как по слоям заполняются выигрышные и проигрышные позиции для нима на 3 кучках, в которых исходно меньше 8 камней в каждой — или, что то же самое, в игре "ладью в угол" в кубе 8x8x8.

Справа — таблица текущего слоя; когда мы на него только переходим, из всех проигрышных позиций со всех слоёв ниже приходят выигрышные позиции, поэтому исходно он не совсем пустой.
Слои последовательно заполняются: механическим, раз за разом, применением правила "если из позиции можно пойти в проигрышную, то она выигрышная, а если можно только в выигрышные, то она проигрышная".

Слева — таблица "знаем ли мы уже для данного столбца, в каком слое в нём проигрышная позиция" (двух проигрышных позиций, одна над другой, быть не может).

(Кстати: обычно стрелочки вправо-влево позволяют перелистывать слайды так, чтобы они друг относительно друга не съезжали.)

И — наблюдая за такой, механически полученной, картинкой, можно пройти по очень правильному пути: заметить-сформулировать-доказать.