Представьте пол с параллельными линиями, расстояние между которыми равно L. Вы берёте иглу длиной l, где l не более чем L, и случайным образом бросаете её на пол.

Какова вероятность, что игла пересечёт одну из линий?

🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨

Бюффон показал, что эта вероятность равна 2l ⁄ πL.

Когда игла падает, она может упасть под любым углом с равной вероятностью — это и есть та самая окружность, которая прячется в задаче.

Игла «крутится» вокруг своего центра, и все направления равновероятны. И когда мы рассматриваем все возможные ориентации иглы, мы фактически рассматриваем точки на окружности.

*️⃣На самом деле задачу Бюффона можно даже переформулировать явно через окружность: вместо иглы мы бросаем радиус окружности или диаметр. Центр может оказаться где угодно, а радиус может быть направлен в любую сторону. Условие пересечения с линией — это условие на угол и положение, которое естественно включает π.

Если взять L=2 и l=1 (допустим, что расстояние между линиями вдвое больше длины иглы), то искомая вероятность будет равна 1/π.

Тогда π можно оценить как общее количество бросков, делённое на количество пересечений. Проще всего это сделать, взяв побольше спичек, нарисовать на большом листе бумаги параллельные линии и бросить спички. Далее подсчитать, сколько спичек пересекло линии, и разделить общее количество спичек на число пересечений.

Так мы получим приближение π! Причём чем больше спичек, тем точнее приближение. Очень наглядно это показано на видео (увидели его тут).

Этот результат принадлежит Леонарду Эйлеру и связан с дзета-функцией Римана. В точке 2 эта функция даёт значение π²/6.

Эйлер доказал это ещё в 1735 году, решив знаменитую Базельскую проблему. А вероятность того, что два числа взаимно просты, оказывается обратно пропорциональна значению дзета-функции в точке 2.

Объясняется так: вероятность, что оба числа делятся на простое p, равна 1/p², а вероятность, что не делятся — 1−1/p². Перемножая по всем простым числам и используя связь с дзета-функцией, мы получаем этот элегантный результат.

Рациональное число 1/89 можно представить как сумму слагаемых, в хвостовой части десятичных дробей которых пробегают все числа Фибоначчи.

Если сложить все эти слагаемые (а их количество бесконечно), их сумма обязана дать периодическую дробь — ведь результат рационален!

0,01
0,001
0,0002
0,00003
0,000005
0,0000008
0,00000013
0,000000021
0,0000000034
0,00000000055
0,000000000089
...
------------------
Сумма: 0,011235955...

0,(011235955056179775280 89887640449438202247191)

А вот более точное обоснование:
если θ — угол между двумя противоположными сторонами каждого из поворачиваемых четырёхугольников, то отношение площадей исходного и нового квадрата выражается как sec²θ = cos⁻²θ. При θ = 5° это примерно 1,00765, что соответствует разнице примерно в 0,8% — меньше одного процента!

Как ни удивительно, этого крохотного различия достаточно, чтобы заставить маленький квадрат исчезнуть.

❎Обычно задачу принимают за степенную функцию и пишут: y’ = x · xˣ⁻¹. Но так можно делать только когда степень — число. Здесь же степень — переменная.

❎Ещё студенты часто принимают функцию за показательную и пишут: y’ = xˣ · ln x. Так можно делать только когда основание — число. А тут основание тоже переменное.

🔸Условие: Винни стоит в узле квадратной сетки. Один его шаг будет равен стороне квадрата. Он идёт на север 56 шагов, поворачивает на 120° и снова проходит 56 шагов, затем ещё раз поворачивает на 120° и идёт 56 шагов.

На узлах сетки растёт земляника. На некоторые ягоды, которые находятся прямо на пути, он наступает, даже не замечая этого!

🔸Вопрос: сколько ягод расположено внутри фигуры, по которой ходит Винни? Раздавленные не считать!

🔸Подсказка: проще всего решить задачу с помощью короткой программы.

Треугольник образован тремя прямыми — осью ординат и двумя наклонными, одна из которых проходит через начало координат, а вторая через точку (0, 56).

Углы наклона обеих прямых нам известны — 30°, только одна имеет положительный коэффициент, другая — отрицательный.

Если рассматривать нижний прямоугольный треугольник, то, зная его гипотенузу (56) и левый угол (30°), можно найти катет, лежащий на оси х: 56 * cos(30°) = 48,497

Коэффициент наклона прямых равен тангенсу 30°, то есть 1/√3. Уравнения написаны на рисунке выше.

Видно, что по х нужно рассматривать точки от 0 (не включая) до 48 (включая), а по y — от 0 до 56, не включая оба значения.

Будем брать точку, если она лежит ниже верхней прямой и выше нижней.

from math import sqrt

count = 0
for x in range(1, 48 + 1):
    for y in range(1, 56):
        if 56 - x / sqrt(3) > y > x / sqrt(3):
            count += 1
print(count)