Сегодня — день Фибоначчи!

Об этих числах можно рассказывать очень много. Мы уже, кстати, удочки закидывали: недавно про десятичные разложения и давно про начос…

Говоря о самом математике Фибоначчи или, как его называют, Леонардо из Пизы, часто вспоминают «заячью» задачу о рождаемости новых пар кроликов — интересный, модельный пример проявления его чисел в популяционных процессах.

Но есть ещё одна область — природная. А именно, филотаксис — наука о расположении листьев, семян и цветков. И расскажем мы об этом проявлении чисел Фибоначчи аж в трёх частях:

↕️
1️⃣ Модель Фогеля
🤭
В 1979 году физик Хельмут Фогель предложил математическую схему, которая потрясающе точно воспроизводит рисунок на подсолнухе:

🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨🎨

Он описал положение n-го семечка двумя формулами в полярных координатах:

r(n) = c√n, θ(n) = n · α,
где α = 2π·(1−φ) — золотой угол, примерно равный 137,5°, а φ = (√5−1)/2 — золотое сечение.

Причём тут Фибоначчи, спросите вы? При том, что вычисляется золотое сечение как предел отношения последовательных чисел Фибоначчи Fₙ/Fₙ₊₁.

Каждое следующее семя «откручивается» от предыдущего на этот угол и смещается от центра на расстояние, пропорциональное корню из n. В результате и возникает узнаваемая спираль, известная как спираль Ферма.

Попробуй чуть-чуть изменить угол — и порядок сразу рушится. Филотаксис оказывается крайне чувствительным к точности: даже отклонение на 1° заметно портит симметрию.

↕️

2️⃣

Секрет золотого угла

↕️

Золотой угол, помимо того что относится к углу, дополняющему его до полного, так же, как тот относится к полному углу, обладает ещё одним важным свойством: он делит круг в иррациональной пропорции.

Если бы он был рациональным делением круга, новые листочки располагались бы «в линию» и мешали бы друг другу, создавая тень. А с иррациональными пропорциями невозможно «попасть в резонанс» — точки редко оказываются на одной линии.

Для растения такое листорасположение — жизненно важный фактор, так как весь падающий свет используется наилучшим образом.

↕️

3️⃣

Фибоначчи и ботаника

↕️

Ещё в XVII веке Иоганн Кеплер заметил, что у многих цветов число лепестков — это число Фибоначчи. Например: 1 у калла, 2 у молочая, 3 у триллиума, 5 у водосбора, 8 у сангвинарии, 13 у тунбергии, 21 у ромашки Шаста.

У подсолнухов и крупных цветов есть спирали на головках — одна направо, другая налево. И очень часто они вырастают в парах 21 и 34, или 34 и 55, или 55 и 89. Подобные спирали можно наблюдать даже у шишек, с такими же соотношениями:

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

🎨

Почему так? Ответ лежит в особенностях роста растений. У основания побега образуются маленькие выступы, называемые примордиями. Эти точки потом растут и превращаются в листья или цветы.

Пионер кристалографии Огюст Браве со своим братом показали, что угол между последовательными примордиями составляет примерно… 137,5°. Ничего не напоминает?

🤯

В 1992 году исследователи Дюди и Кудер разработали динамическую модель, в которой рост примордий регулируется этим углом. Она демонстрирует, что при угле, приближённом к золотому, создаются спирали именно с числами Фибоначчи. И всё потому, что это оптимальный способ экономно расходовать энергию и избегать перекрытий.

Тот, кто дочитал последнюю часть, готов к суровому выводу: «неидеальные» конфигурации с точки зрения эволюции и выживаемости не работают. Да, они встречаются в природе, но гораздо реже «правильных» углов и структур.

❓ Что думаете об этом? Мы вот считаем, что природа так же прекрасна как математика, а значит тоже имеет право быть строга к неточностям.

Если мнение составить пока трудно и нужно ещё покопаться, то советуем заглянуть в материалы наших коллег по теме:

▶️ числа Фибоначчи
▶️ золотое сечение

А если всё понравилось, накидайте 🎉 и мы продолжим бесконечный праздник математики!

#как_устроено

Дела действительно очень странные 🤯

Помните, мы выкладывали подборку математических инструментов? На самом деле каждый сервис из того поста достоин отдельного внимания и сюжетов. И сейчас мы расскажем кое-что любопытное про Desmos.

▶️Рассмотрим в нём график неявно заданной функции xʸ = yˣ

Известно, что этот график лежит в первой четверти и должен выглядеть как объединение части прямой y = x с кривой, напоминающей гиперболу. На деле это, конечно, никакая не гипербола, а отдельная кривая. В русском языке она не имеет собственного названия, а вот в английском используют специальное словечко mutuabola.

Исторически уравнение xʸ = yˣ впервые упоминается в письме Бернулли к Гольдбаху в 1728 году. Там утверждается, что при x ≠ y единственными решениями в натуральных числах являются пары (2, 4) и (4, 2), как на 2-й карточке.

Хотя существует бесконечно много решений в рациональных числах — например, (27/8, 9/4) и (9/4, 27/8). В ответе Гольдбаха приводится общее решение уравнения, полученное подстановкой y = v·x. Похожее решение позднее нашёл и сам Эйлер.

На первый взгляд — всё скучно, академично и ничего подозрительного, пока не начнёшь зумировать.

Как только вы приближаете картинку примерно до шестого знака после запятой (см. 3-ю карточку), происходит что-то очень странное — появляются шумы, отдельные точки, рваные линии, а если подвигать видимую область, за вами начинает «ходить» странное пятно, как на 4-й карточке. Если бы мы знали, что это такое…

▶️Кто виноват?

Само уравнение ведёт себя вполне прилично: решения известны, непрерывность не нарушается. Проблема возникает из-за численной арифметики:

Desmos написан на JavaScript, а JavaScript использует 64-битные числа в формате IEEE 754. Это означает, что многие десятичные дроби не представимы точно в двоичной форме — их всегда приходится округлять, а при каждом вычислении накапливается ошибка плавающей точки или floating point error.

Обычно эти микроскопические ошибки незаметны. Но при экстремальном зумировании они начинают влиять на изображаемый результат: например, точка (e, e), которая должна лежать на графике, из-за округления соответствующей функции вычисляется «криво», и тогда Desmos решает, что график «прерывается» или что точки вообще нет.

Но это лишь половина истории. Самое интересное припасли на завтра — ведь все что мы написали выше никак не объясняет странное пятно…

Или вы уже в курсе что это?

🤓 — если да
🦄 — если нет, но заинтригованы
🗿 — во всех остальных случаях

#как_устроено