Последовательность Фибоначчи задаётся рекурсией:
a₁ = 1, a₂ = 1
aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂
Мы привыкли считать члены последовательно, но существует формула, которая позволяет сразу найти любой член без предыдущих:
aₙ = (φⁿ – ψⁿ) / √5
Где:
φ = (1 + √5) / 2 — золотое сечение
ψ = (1 – √5) / 2 — его “зеркальный” корень
Рекурсия второго порядка — это когда значение зависит от двух предыдущих (aₙ₋₁ и aₙ₋₂). Такие уравнения называются линейными рекуррентными. У них есть стандартный метод решения:
1. Предполагаем, что решение имеет вид aₙ = rⁿ
2. Подставляем в рекурсию: rⁿ = rⁿ⁻¹ + rⁿ⁻²
3. Делим обе части на rⁿ⁻² и получаем характеристическое уравнение:
r² = r + 1
Решаем это квадратное уравнение:
r = (1 ± √5) / 2 → φ и ψ
Теперь общее решение имеет вид:
aₙ = A·φⁿ + B·ψⁿ
Подставляем начальные условия:
a₁ = A·φ + B·ψ = 1
a₂ = A·φ² + B·ψ² = 1
Решаем систему — получаем:
A = 1 / √5
B = –1 / √5
И окончательно:
aₙ = (φⁿ – ψⁿ) / √5
В следующем посте посмотрим, почему значения по этой формуле всегда получаются целыми, хотя в ней есть корни и дроби.
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
❤🔥4👍2
Формат постов
Anonymous Poll
63%
Небольшие (часть длинного поста, как раньше) каждые три дня
37%
Большие (1 длинный пост) раз в неделю
📎 Почему формула Бине даёт целые числа?
Формула:
aₙ = (φⁿ – ψⁿ) / √5
где φ = (1 + √5)/2, ψ = (1 – √5)/2
На вид — сплошные корни и дроби. Но результат всегда целый. Почему? Суть — в симметрии
φ и ψ — корни одного квадратного уравнения:
r² = r + 1
А это значит:
– их степени можно выразить через целые линейные комбинации
– иррациональные части в (φⁿ – ψⁿ) взаимно уничтожаются
– итоговое выражение всегда делится на √5
📌 То есть:
хотя φ и ψ иррациональны, вся дробь (φⁿ – ψⁿ) / √5 — всегда рациональна,
а именно — целое число
Например, при n = 7:
φ⁷ и ψ⁷ — иррациональны, но их разность делится на √5
и даёт a₇ = 13 точно, без приближений
Это не случайность, а результат глубоких свойств чисел. Формула работает идеально, даже если в ней всё выглядит дико.
⚫️ ThisMath || #углублённо
Формула:
aₙ = (φⁿ – ψⁿ) / √5
где φ = (1 + √5)/2, ψ = (1 – √5)/2
На вид — сплошные корни и дроби. Но результат всегда целый. Почему? Суть — в симметрии
φ и ψ — корни одного квадратного уравнения:
r² = r + 1
А это значит:
– их степени можно выразить через целые линейные комбинации
– иррациональные части в (φⁿ – ψⁿ) взаимно уничтожаются
– итоговое выражение всегда делится на √5
📌 То есть:
хотя φ и ψ иррациональны, вся дробь (φⁿ – ψⁿ) / √5 — всегда рациональна,
а именно — целое число
Например, при n = 7:
φ⁷ и ψ⁷ — иррациональны, но их разность делится на √5
и даёт a₇ = 13 точно, без приближений
Это не случайность, а результат глубоких свойств чисел. Формула работает идеально, даже если в ней всё выглядит дико.
⚫️ ThisMath || #углублённо
👍7
Свойства лимитов
Ранее мы с вами начали разбирать, что такое лимиты
Ссылка на пост
Сейчас же мы глубже разберём данную тему. Начнём с свойств
👉 1 свойство:
Мы можем выносить и вносить константу.
lim(x->a)(k*f(x)) = k * lim(x->a)(f(x))
👉 2 свойство:
Сумма лимитов равна лимиту суммы.
lim(x->a)(f(x)) + lim(x->a)(g(x)) = lim(x->a)(f(x) + g(x))
👉 3 свойство:
Разность лимитов равна лимиту разности.
lim(x->a)(f(x)) - lim(x->a)(g(x)) = lim(x->a)(f(x) - g(x))
👉 4 свойство:
Произведение лимитов равно лимиту произведения.
lim(x->a)(f(x)) * lim(x->a)(g(x)) = lim(x->a)(f(x) * g(x))
Так же и с делением.
lim(x->a)(f(x)) / lim(x->a)(g(x)) = lim(x->a)(f(x) / g(x))
На сегодня всё
Огромное спасибо тем, кто ставит на посты реакции. Помогает понять, насколько контент полезный
⚫️ ThisMath || #углублённо
Ранее мы с вами начали разбирать, что такое лимиты
Ссылка на пост
Сейчас же мы глубже разберём данную тему. Начнём с свойств
👉 1 свойство:
Мы можем выносить и вносить константу.
lim(x->a)(k*f(x)) = k * lim(x->a)(f(x))
👉 2 свойство:
Сумма лимитов равна лимиту суммы.
lim(x->a)(f(x)) + lim(x->a)(g(x)) = lim(x->a)(f(x) + g(x))
👉 3 свойство:
Разность лимитов равна лимиту разности.
lim(x->a)(f(x)) - lim(x->a)(g(x)) = lim(x->a)(f(x) - g(x))
👉 4 свойство:
Произведение лимитов равно лимиту произведения.
lim(x->a)(f(x)) * lim(x->a)(g(x)) = lim(x->a)(f(x) * g(x))
Так же и с делением.
lim(x->a)(f(x)) / lim(x->a)(g(x)) = lim(x->a)(f(x) / g(x))
На сегодня всё
Огромное спасибо тем, кто ставит на посты реакции. Помогает понять, насколько контент полезный
⚫️ ThisMath || #углублённо
❤7❤🔥3👍3😁1
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
❤🔥5😁2
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
Стремление к плюс или минус 0
Вот простой лимит
Чему он равен? Этот лимит не определен. Но почему? Потому что мы можем подходить к нулю с левой стороны, а можем с правой.
Значит когда х приближается к 0 со стороны плюса, с правой стороны то лимит равен +∞, а когда со стороны минусов, с левой, то значение = -∞.
Обычно это записываться перед нулем знаком + или -
Это не всегда надо иногда от этого ничего не измениться, но бывают случаи когда это необходимо.
Вернёмся к начальному примеру но запишем его правильно.
#углублённо
Вот простой лимит
lim(x->0)(1/x)
Чему он равен? Этот лимит не определен. Но почему? Потому что мы можем подходить к нулю с левой стороны, а можем с правой.
1/0.001 = 1000
1/0.000001 = 1000000
1/0.000000001 = 1000000000
1/(-0.001) = -1000
1/(-0.000001) = -1000000
1/(-0.000000001) = -1000000000
Значит когда х приближается к 0 со стороны плюса, с правой стороны то лимит равен +∞, а когда со стороны минусов, с левой, то значение = -∞.
Обычно это записываться перед нулем знаком + или -
lim(x->+0)(f(x))
lim(x->-0)(f(x))
Это не всегда надо иногда от этого ничего не измениться, но бывают случаи когда это необходимо.
Вернёмся к начальному примеру но запишем его правильно.
lim(x->+0)(1/x) = +∞
#углублённо
🔥6
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
😁4❤1
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
😁6
Лимиты: прямая подстановка
В этом материале разберём, как решать самые простые задачи на пределы.
Напомним, что такое лимит
Предел функции f(x) при x→a показывает, к какому значению «стремится» выражение f(x) при «приближении» x к a.
👉 1. Прямая подстановка
Если при подстановке х=a выражение становится конечным числом, то решается так:
lim(x→2)(x^3−5·x+3)
(2^3−5·2+3) = (8−10+3) = 1
Результат можно получить сразу, просто заменив х на 2.
👉 2. Определённость и неопределённость
• Определённость — когда прямая подстановка даёт конечный результат
Пример: lim(x→∞)(1/x) = 1/∞ = 0
• Неопределённость — когда при подстановке получается 0/0, ∞/∞, 0·∞ или ∞−∞
В таких случаях нужно упрощать выражение, чтобы устранить неопределённость.
⚫️ ThisMath || #углублённо
В этом материале разберём, как решать самые простые задачи на пределы.
Напомним, что такое лимит
Предел функции f(x) при x→a показывает, к какому значению «стремится» выражение f(x) при «приближении» x к a.
👉 1. Прямая подстановка
Если при подстановке х=a выражение становится конечным числом, то решается так:
lim(x→2)(x^3−5·x+3)
(2^3−5·2+3) = (8−10+3) = 1
Результат можно получить сразу, просто заменив х на 2.
👉 2. Определённость и неопределённость
• Определённость — когда прямая подстановка даёт конечный результат
Пример: lim(x→∞)(1/x) = 1/∞ = 0
• Неопределённость — когда при подстановке получается 0/0, ∞/∞, 0·∞ или ∞−∞
В таких случаях нужно упрощать выражение, чтобы устранить неопределённость.
⚫️ ThisMath || #углублённо
1
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
😁7👍3❤2
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
💯5
Лимиты вида ∞/∞ через деление на старшую степень
Рассмотрим пример с неопределённостью ∞/∞:
lim(x→∞)((4·x^3 − x^2 + 7)/(3·x − 5·x^3))
1. При прямой подстановке получаем ∞/∞ — неопределённость.
2. Находим старшую степень в числителе и знаменателе → x³
3. Делим оба выражения на x³:
(4 − 1/x + 7/x³)
—————————————————
(3/x² − 5)
4. Подстановка x→∞ даёт:
(4−0+0)/(0−5) = 4/(−5) = −4/5
Итог:
lim(x→∞)((4x³−x²+7)/(3x−5x³)) = −4/5
Этот метод применим, когда числитель и знаменатель — многочлены. Второй способ — сразу выделить старшие члены:
lim(x→∞)(4x³/−5x³) = 4/−5 = −4/5
⚫️ ThisMath || #углублённо
Рассмотрим пример с неопределённостью ∞/∞:
lim(x→∞)((4·x^3 − x^2 + 7)/(3·x − 5·x^3))
1. При прямой подстановке получаем ∞/∞ — неопределённость.
2. Находим старшую степень в числителе и знаменателе → x³
3. Делим оба выражения на x³:
(4 − 1/x + 7/x³)
—————————————————
(3/x² − 5)
4. Подстановка x→∞ даёт:
(4−0+0)/(0−5) = 4/(−5) = −4/5
Итог:
lim(x→∞)((4x³−x²+7)/(3x−5x³)) = −4/5
Этот метод применим, когда числитель и знаменатель — многочлены. Второй способ — сразу выделить старшие члены:
lim(x→∞)(4x³/−5x³) = 4/−5 = −4/5
⚫️ ThisMath || #углублённо
❤3👍2
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
❤11😁3
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
🤣5💯3❤1