📎 Почему формула Бине даёт целые числа?

Формула:
aₙ = (φⁿ – ψⁿ) / √5
где φ = (1 + √5)/2, ψ = (1 – √5)/2

На вид — сплошные корни и дроби. Но результат всегда целый. Почему? Суть — в симметрии

φ и ψ — корни одного квадратного уравнения:
r² = r + 1

А это значит:
– их степени можно выразить через целые линейные комбинации
– иррациональные части в (φⁿ – ψⁿ) взаимно уничтожаются
– итоговое выражение всегда делится на √5

📌 То есть:
хотя φ и ψ иррациональны, вся дробь (φⁿ – ψⁿ) / √5 — всегда рациональна,
а именно — целое число

Например, при n = 7:
φ⁷ и ψ⁷ — иррациональны, но их разность делится на √5
и даёт a₇ = 13 точно, без приближений

Это не случайность, а результат глубоких свойств чисел. Формула работает идеально, даже если в ней всё выглядит дико.

⚫️ ThisMath || #углублённо

Свойства лимитов

Ранее мы с вами начали разбирать, что такое лимиты
Ссылка на пост
Сейчас же мы глубже разберём данную тему. Начнём с свойств

👉 1 свойство:
Мы можем выносить и вносить константу.
lim(x->a)(k*f(x)) = k * lim(x->a)(f(x))

👉 2 свойство:
Сумма лимитов равна лимиту суммы.
lim(x->a)(f(x)) + lim(x->a)(g(x)) = lim(x->a)(f(x) + g(x))

👉 3 свойство:
Разность лимитов равна лимиту разности.
lim(x->a)(f(x)) - lim(x->a)(g(x)) = lim(x->a)(f(x) - g(x))

👉 4 свойство:
Произведение лимитов равно лимиту произведения.
lim(x->a)(f(x)) * lim(x->a)(g(x)) = lim(x->a)(f(x) * g(x))

Так же и с делением.
lim(x->a)(f(x)) / lim(x->a)(g(x)) = lim(x->a)(f(x) / g(x))

На сегодня всё
Огромное спасибо тем, кто ставит на посты реакции. Помогает понять, насколько контент полезный

⚫️ ThisMath || #углублённо

Стремление к плюс или минус 0

Вот простой лимит

lim(x->0)(1/x)

Чему он равен? Этот лимит не определен. Но почему? Потому что мы можем подходить к нулю с левой стороны, а можем с правой.

1/0.001 = 1000
1/0.000001 = 1000000
1/0.000000001 = 1000000000

1/(-0.001) = -1000
1/(-0.000001) = -1000000
1/(-0.000000001) = -1000000000

Значит когда х приближается к 0 со стороны плюса, с правой стороны то лимит равен +∞, а когда со стороны минусов, с левой, то значение = -∞.
Обычно это записываться перед нулем знаком + или -

lim(x->+0)(f(x))
lim(x->-0)(f(x))

Это не всегда надо иногда от этого ничего не измениться, но бывают случаи когда это необходимо.

Вернёмся к начальному примеру но запишем его правильно.

lim(x->+0)(1/x) = +∞

#углублённо

Лимиты: прямая подстановка

В этом материале разберём, как решать самые простые задачи на пределы.

Напомним, что такое лимит
Предел функции f(x) при x→a показывает, к какому значению «стремится» выражение f(x) при «приближении» x к a.

👉 1. Прямая подстановка

Если при подстановке х=a выражение становится конечным числом, то решается так:
lim(x→2)(x^3−5·x+3)
(2^3−5·2+3) = (8−10+3) = 1
Результат можно получить сразу, просто заменив х на 2.

👉 2. Определённость и неопределённость

• Определённость — когда прямая подстановка даёт конечный результат
Пример: lim(x→∞)(1/x) = 1/∞ = 0

• Неопределённость — когда при подстановке получается 0/0, ∞/∞, 0·∞ или ∞−∞
В таких случаях нужно упрощать выражение, чтобы устранить неопределённость.

⚫️ ThisMath || #углублённо

Лимиты вида ∞/∞ через деление на старшую степень

Рассмотрим пример с неопределённостью ∞/∞:
lim(x→∞)((4·x^3 − x^2 + 7)/(3·x − 5·x^3))

1. При прямой подстановке получаем ∞/∞ — неопределённость.
2. Находим старшую степень в числителе и знаменателе → x³
3. Делим оба выражения на x³:
(4 − 1/x + 7/x³)
—————————————————
(3/x² − 5)
4. Подстановка x→∞ даёт:
(4−0+0)/(0−5) = 4/(−5) = −4/5

Итог:
lim(x→∞)((4x³−x²+7)/(3x−5x³)) = −4/5
Этот метод применим, когда числитель и знаменатель — многочлены. Второй способ — сразу выделить старшие члены:
lim(x→∞)(4x³/−5x³) = 4/−5 = −4/5

⚫️ ThisMath || #углублённо

Лимиты вида 0 ⁄ 0 через правило Лопиталя

В посте используются производные. Если вы не знакомы с данной темы, рекомендую прочитать данный пост

Правило Лопиталя гласит:
lim(x → a) (f(x) ⁄ g(x)) = f'(a) ⁄ g'(a)
При f(a) = 0 и g(a) = 0
То есть правило Лопиталя мы используем, когда возникает неопределённость 0 ⁄ 0. А теперь приступим к примерам:

👉 1. lim(x → 2)((x² − 2x) ⁄ (x² − x − 2))
Сначала подставляем 2 вместо x:
(4 − 2 × 2) ⁄ (4 − 2 − 2) = 0 ⁄ 0
Неопределённость 0 ⁄ 0. Берём производные:
(x² − 2x)' = 2x − 2
(x² − x − 2)' = 2x − 1

Подставляем x = 2:
(2x − 2) ⁄ (2x − 1) = (2 × 2 − 2) ⁄ (2 × 2 − 1) = 2 ⁄ 3
Ответ: 2 ⁄ 3

➖➖➖

👉 2. lim(x → 1)((x² − 1) ⁄ (ln(x) + x⁴ − 1))
Подставляем 1:
(1 − 1) ⁄ (0 + 1 − 1) = 0 ⁄ 0
Берём производные:
(x² − 1)' = 2x
(ln(x) + x⁴ − 1)' = 1 ⁄ x + 4x³

Подставляем x = 1:
(2x) ⁄ (1 ⁄ x + 4x³) = (2 × 1) ⁄ (1 ⁄ 1 + 4 × 1³) = 2 ⁄ 5
Ответ: 2 ⁄ 5

⚫️ ThisMath || #углублённо