Вывод правила Лопиталя (cлучай при x = b + dx)

Для понимания данного поста вы должны знать производные и понимать их смысл (ссылка на пост с производными)

Начнем с того, что такое лимит. Лимит — это значение функции при x, который стремится к числу b: не равен, а именно стремится. То есть можно сказать, мы рассматриваем значение функции не при x = b, а при x = b + dx либо при x = b - dx. Тогда

Предел функции через dx

lim(x->b) f(x) = f(b ± dx)

С этим разобрались, но нас интересует предел отношения при

f(b) = 0, g(b) = 0
lim(x->b) ( f(x) / g(x) )

Заменяем лимит по ранее полученной формуле

f(b ± dx) / g(b ± dx)

Сначала разберём случай, когда b + dx. Стартовая дробь

f(b + dx) / g(b + dx)

Вычтем и прибавим f(b) к числителю и g(b) к знаменателю

f(b+dx) - f(b) + f(b)
━━━━━━━━━━━━━━━━
g(b+dx) - g(b) + g(b)

Теперь делим и числитель, и знаменатель на dx

(f(b+dx) - f(b))/dx + f(b)/dx
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
(g(b+dx) - g(b))/dx + g(b)/dx

(f(b+dx) - f(b))/dx — это ничто иное, как производная f(x) в точке b

(f(b+dx) - f(b))/dx = f'(b)
(g(b+dx) - g(b))/dx = g'(b)

Подставляем

f'(b) + f(b)/dx
━━━━━━━━━━━━
g'(b) + g(b)/dx

По условию f(b) = 0 и g(b) = 0

f'(b)
━━━━━━━
g'(b)

Во втором посте разберём случай x = b - dx.

#углублённо

По техническим неполадкам пост переносится на 12 в завтра

Приносим извинения

#новости

Победитель.. @it1rin

Уже выдали подарок. Ждите следующий конкурсов)

#отзыв

Решение задачи

Эту задачу можно было решить разными методами. В нашем примере есть еще дополнительные две точки. В решении победителя - два дополнительных ползунка

- Наше решение
- Решение победителя

#новости

Вы скажите, у вас нормально новые дроби отображаются? Например эта

f'(c) f'(b-dx) f'(b)
━━ = ━━━━ = ━━
g'(c) g'(b-dx) g'(b)

👍 - да, всё хорошо
👎 - нет, не пойми что

#новости

Что делать если после применения правила Лопиталя получили неопределенность?

Вот пример:
lim(x ➜ 0) (x² / sin²(x/3))
Подставляем, 0 / 0, тогда воспользуемся правилом Лопиталя.
(x²)' = 2x
(sin²(x/3))' = 2·sin(x/3)·cos(x/3) / 3
(2x / (2·sin(x/3)·cos(x/3) / 3))
3·(x / (sin(x/3)·cos(x/3)))
3·(0 / (sin(0)·cos(0)))
3·(0 / (0·1))
0 / 0
После применения правила Лопиталя получили неопределенность, тогда ещё раз применяем это же правило, то есть берём производные двух функций и делим их значения при x = 0.

Только прежде чем брать производную, упростим выражение sin(x/3)·cos(x/3). Если x = 0, тогда мы получаем
sin(x/3)·cos(0) = sin(x/3)
После упрощения мы получаем 3x / sin(x / 3)
3x' = 3
(sin(x/3))' = cos(x/3) / 3
3 / (cos(x/3)·3)
9 / cos(0/3)
9 / cos(0)
9 / 1 = 9

Итог: лимит равен 9.

Вывод: если после применения правила Лопиталя получилась неопределенность 0 / 0, то применяем ещё раз правило Лопиталя к уже полученным выражениям.

#углублённо

Астрономические мемы?

#мемы

Неопределённость ∞ / ∞ через правило Лопиталя

Пускай у нас есть
lim(x ➜ a) f(a) / g(a)
f(a) = ∞
g(a) = ∞
f(a) / g(a) = (1 / g(a)) / (1 / f(a))
Если f(a) = ∞, то 1 / f(a) = 0
И 1 / g(a) = 0
lim(x ➜ a) ( (1 / g(a)) / (1 / f(a)) )
1 / g(a) = 0
1 / f(a) = 0

Теперь у нас неопределённость 0 / 0. Тогда воспользуемся правилом Лопиталя.
(1 / g(x))' = g(x)^(−1)' = −1·g(x)^(−2)·g'(x) = −g'(x) / g(x)²
(1 / f(x))' = −f'(x) / f(x)²
(−g'(x) / g(x)²) / (−f'(x) / f(x)²) = (g'(x)·f(x)²) / (f'(x)·g(x)²)
lim(x ➜ a) f(x) / g(x) =

g'(a)·f(a)²
──
f'(a)·g(a)²
С другой стороны
f(a)² = lim(x ➜ a) f(x)²
g(a)² = lim(x ➜ a) g(x)²
lim(x ➜ a) f(x) / g(x) =

g'(a)·lim(x ➜ a) f(x)²
───────
f'(a)·lim(x ➜ a) g(x)²

= g'(a) / f'(a) · lim(x ➜ a) (f(x)² / g(x)²)
lim(x ➜ a) f(x) / g(x)
───────
lim(x ➜ a) f(x)² / g(x)²
= g'(a) / f'(a)
lim(x ➜ a) g(x) / f(x) = g'(a) / f'(a)
lim(x ➜ a) f(x) / g(x) = f'(a) / g'(a)

Вывод:

lim(x ➜ a) f(a) / g(a) = f'(a) / g'(a)
f(a) = ∞
g(a) = ∞

⚫️ ThisMath || #углублённо