Решение задачи
Эту задачу можно было решить разными методами. В нашем примере есть еще дополнительные две точки. В решении победителя - два дополнительных ползунка
- Наше решение
- Решение победителя
#новости
Эту задачу можно было решить разными методами. В нашем примере есть еще дополнительные две точки. В решении победителя - два дополнительных ползунка
- Наше решение
- Решение победителя
#новости
❤🔥2
Вывод правила Лопиталя (случай при x = b − dx)
Теперь разберём случай x = b − dx.
Умножим числитель и знаменатель на (−1) — дробь не изменится
Пусть c = b − dx (тогда b = c + dx). Перепишем
По условию f(b) = 0 и g(b) = 0. Делим числитель и знаменатель на dx:
(f(c + dx) − f(c)) / dx — это ничто иное, как производная f(x) в точке b.
Итог:
Следовательно, при (x = b ± dx) имеем один и тот же результат, значит
⚫️ ThisMath || #углублённо
lim(x ➜ b) f(x) / g(x)
Теперь разберём случай x = b − dx.
f(b − dx) / g(b − dx)
Умножим числитель и знаменатель на (−1) — дробь не изменится
−f(b − dx) / −g(b − dx)
−f(b − dx) + f(b) − f(b)
───────
−g(b − dx) + g(b) − g(b)
f(b) − f(b − dx) − f(b)
───────
g(b) − g(b − dx) − g(b)
Пусть c = b − dx (тогда b = c + dx). Перепишем
f(c + dx) − f(c) − f(b)
───────
g(c + dx) − g(c) − g(b)
По условию f(b) = 0 и g(b) = 0. Делим числитель и знаменатель на dx:
f(c + dx) − f(c)
───
g(c + dx) − g(c)
(f(c + dx) − f(c)) / dx — это ничто иное, как производная f(x) в точке b.
(f(c + dx) − f(c)) / dx = f'(c)
(g(c + dx) − g(c)) / dx = g'(c)
f'(c) / g'(c) = f'(b − dx) / g'(b − dx) = f'(b) / g'(b)
Итог:
f'(b)
───
g'(b)
Следовательно, при (x = b ± dx) имеем один и тот же результат, значит
lim(x ➜ b) f(x) / g(x) = f'(b) / g'(b)
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
❤🔥5🤡1
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
👍13❤4😁4🤡1🖕1
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
❤🔥9😁3
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
😁14❤🔥3
Что делать если после применения правила Лопиталя получили неопределенность?
Вот пример:
lim(x ➜ 0) (x² / sin²(x/3))
Подставляем, 0 / 0, тогда воспользуемся правилом Лопиталя.
(x²)' = 2x
(sin²(x/3))' = 2·sin(x/3)·cos(x/3) / 3
(2x / (2·sin(x/3)·cos(x/3) / 3))
3·(x / (sin(x/3)·cos(x/3)))
3·(0 / (sin(0)·cos(0)))
3·(0 / (0·1))
0 / 0
После применения правила Лопиталя получили неопределенность, тогда ещё раз применяем это же правило, то есть берём производные двух функций и делим их значения при x = 0.
Только прежде чем брать производную, упростим выражение sin(x/3)·cos(x/3). Если x = 0, тогда мы получаем
sin(x/3)·cos(0) = sin(x/3)
После упрощения мы получаем 3x / sin(x / 3)
3x' = 3
(sin(x/3))' = cos(x/3) / 3
3 / (cos(x/3)·3)
9 / cos(0/3)
9 / cos(0)
9 / 1 = 9
Итог: лимит равен 9.
Вывод: если после применения правила Лопиталя получилась неопределенность 0 / 0, то применяем ещё раз правило Лопиталя к уже полученным выражениям.
#углублённо
Вот пример:
lim(x ➜ 0) (x² / sin²(x/3))
Подставляем, 0 / 0, тогда воспользуемся правилом Лопиталя.
(x²)' = 2x
(sin²(x/3))' = 2·sin(x/3)·cos(x/3) / 3
(2x / (2·sin(x/3)·cos(x/3) / 3))
3·(x / (sin(x/3)·cos(x/3)))
3·(0 / (sin(0)·cos(0)))
3·(0 / (0·1))
0 / 0
После применения правила Лопиталя получили неопределенность, тогда ещё раз применяем это же правило, то есть берём производные двух функций и делим их значения при x = 0.
Только прежде чем брать производную, упростим выражение sin(x/3)·cos(x/3). Если x = 0, тогда мы получаем
sin(x/3)·cos(0) = sin(x/3)
После упрощения мы получаем 3x / sin(x / 3)
3x' = 3
(sin(x/3))' = cos(x/3) / 3
3 / (cos(x/3)·3)
9 / cos(0/3)
9 / cos(0)
9 / 1 = 9
Итог: лимит равен 9.
Вывод: если после применения правила Лопиталя получилась неопределенность 0 / 0, то применяем ещё раз правило Лопиталя к уже полученным выражениям.
#углублённо
❤3👍1
Неопределённость ∞ / ∞ через правило Лопиталя
Пускай у нас есть
lim(x ➜ a) f(a) / g(a)
f(a) = ∞
g(a) = ∞
f(a) / g(a) = (1 / g(a)) / (1 / f(a))
Если f(a) = ∞, то 1 / f(a) = 0
И 1 / g(a) = 0
lim(x ➜ a) ( (1 / g(a)) / (1 / f(a)) )
1 / g(a) = 0
1 / f(a) = 0
Теперь у нас неопределённость 0 / 0. Тогда воспользуемся правилом Лопиталя.
(1 / g(x))' = g(x)^(−1)' = −1·g(x)^(−2)·g'(x) = −g'(x) / g(x)²
(1 / f(x))' = −f'(x) / f(x)²
(−g'(x) / g(x)²) / (−f'(x) / f(x)²) = (g'(x)·f(x)²) / (f'(x)·g(x)²)
lim(x ➜ a) f(x) / g(x) =
g'(a)·f(a)²
──
f'(a)·g(a)²
С другой стороны
f(a)² = lim(x ➜ a) f(x)²
g(a)² = lim(x ➜ a) g(x)²
lim(x ➜ a) f(x) / g(x) =
g'(a)·lim(x ➜ a) f(x)²
───────
f'(a)·lim(x ➜ a) g(x)²
= g'(a) / f'(a) · lim(x ➜ a) (f(x)² / g(x)²)
lim(x ➜ a) f(x) / g(x)
───────
lim(x ➜ a) f(x)² / g(x)²
= g'(a) / f'(a)
lim(x ➜ a) g(x) / f(x) = g'(a) / f'(a)
lim(x ➜ a) f(x) / g(x) = f'(a) / g'(a)
Вывод:
lim(x ➜ a) f(a) / g(a) = f'(a) / g'(a)
f(a) = ∞
g(a) = ∞
⚫️ ThisMath || #углублённо
Пускай у нас есть
lim(x ➜ a) f(a) / g(a)
f(a) = ∞
g(a) = ∞
f(a) / g(a) = (1 / g(a)) / (1 / f(a))
Если f(a) = ∞, то 1 / f(a) = 0
И 1 / g(a) = 0
lim(x ➜ a) ( (1 / g(a)) / (1 / f(a)) )
1 / g(a) = 0
1 / f(a) = 0
Теперь у нас неопределённость 0 / 0. Тогда воспользуемся правилом Лопиталя.
(1 / g(x))' = g(x)^(−1)' = −1·g(x)^(−2)·g'(x) = −g'(x) / g(x)²
(1 / f(x))' = −f'(x) / f(x)²
(−g'(x) / g(x)²) / (−f'(x) / f(x)²) = (g'(x)·f(x)²) / (f'(x)·g(x)²)
lim(x ➜ a) f(x) / g(x) =
g'(a)·f(a)²
──
f'(a)·g(a)²
С другой стороны
f(a)² = lim(x ➜ a) f(x)²
g(a)² = lim(x ➜ a) g(x)²
lim(x ➜ a) f(x) / g(x) =
g'(a)·lim(x ➜ a) f(x)²
───────
f'(a)·lim(x ➜ a) g(x)²
= g'(a) / f'(a) · lim(x ➜ a) (f(x)² / g(x)²)
lim(x ➜ a) f(x) / g(x)
───────
lim(x ➜ a) f(x)² / g(x)²
= g'(a) / f'(a)
lim(x ➜ a) g(x) / f(x) = g'(a) / f'(a)
lim(x ➜ a) f(x) / g(x) = f'(a) / g'(a)
Вывод:
lim(x ➜ a) f(a) / g(a) = f'(a) / g'(a)
f(a) = ∞
g(a) = ∞
⚫️ ThisMath || #углублённо
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
🤣14❤4👍1😁1
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
🤣13😁2
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
❤9🤣3
Свойство лимитов #2
Лимит от функции равен функции лимита
Давайте докажем это свойство. Мы знаем что
Эта формула исходит из определения, х стремится к числу, но никогда не равен ему.
Значит
место того что бы доказывать все свойства из поста (ссылка на пост со свойствами лимитов), мы докажем общий случай. Пусть у нас будет некая функция от двух переменных h(a,b). вместо a b мы подставим функции f(x) и g(x). Надо доказать что
распишем
если
пользуясь полученной формулой
мы получим
вот мы и доказали что лимит суммы равен сумме лимитов!
Вывод:
В этом посте мы доказали формулы
⚫️ ThisMath || #углублённо
Лимит от функции равен функции лимита
lim(x ➜ a)(f(g(x)) = f(lim(x ➜ a)(g(x)))
Давайте докажем это свойство. Мы знаем что
lim(x ➜ a)(f(x)) = f(a+dx)
Эта формула исходит из определения, х стремится к числу, но никогда не равен ему.
lim(x ➜ a)(f(g(x)) = f(g(a+dx))
f(lim(x ➜ a)(g(x)) = f(g(a+dx))
f(g(a+dx)) = f(g(a+dx))
Значит
lim(x ➜ a)(f(g(x)) = f(lim(x ➜ a)(g(x)))
место того что бы доказывать все свойства из поста (ссылка на пост со свойствами лимитов), мы докажем общий случай. Пусть у нас будет некая функция от двух переменных h(a,b). вместо a b мы подставим функции f(x) и g(x). Надо доказать что
lim(x ➜ a) (h(f(x) , g(x)) ) = h( lim(x ➜ a)(f(x)) , lim(x ➜ a)(g(x))
распишем
lim(x ➜ a) ( h(f(x) , g(x)) ) = h( f(a+dx) , g(a+dx) )значит
h( lim(x ➜ a)(f(x)) , lim(x ➜ a)(g(x)) ) = h( f(a+dx) , g(a+dx) )
lim(x ➜ a) (h(f(x) , g(x)) ) = h( lim(x ➜ a)(f(x)) , lim(x ➜ a)(g(x)) )
если
h(a,b) = a + b
пользуясь полученной формулой
lim(x ➜ a) (h(f(x) , g(x)) ) = h( lim(x ➜ a)(f(x)) , lim(x ➜ a)(g(x)) )
мы получим
lim(x ➜ a)(f(x) + g(x)) = lim(x ➜ a)(f(x)) + lim(x ➜ a)(g(x))
вот мы и доказали что лимит суммы равен сумме лимитов!
Вывод:
В этом посте мы доказали формулы
lim(x ➜ a)(f(g(x)) = f(lim(x ➜ a)(g(x)))И с помощью второй формулы можно доказать другие свойства лимитов.
lim(x ➜ a) (h(f(x) , g(x)) ) = h( lim(x ➜ a)(f(x)) , lim(x ➜ a)(g(x)) )
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
❤3
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
2🤣12❤3❤🔥2