Задание "Паутина"
Цель: Создать паутинку с двумя точками, которые двигают центр паутинки и её размер (Пример на GIF) и визуализируйте в desmos.com
Дано:
n: Количество отрезков внутри круга (0 ⩽ n ⩽ 500, n ⋮ 1)
Цель:
Построить n отрезков OAᵢ из центра на окружность. Все точки A должны делить окружность на n одинаковых дуг (Пример в видео)
Присылайте ссылку на решение в @thisMathBot
⚫️ ThisMath #задания
Цель: Создать паутинку с двумя точками, которые двигают центр паутинки и её размер (Пример на GIF) и визуализируйте в desmos.com
Дано:
n: Количество отрезков внутри круга (0 ⩽ n ⩽ 500, n ⋮ 1)
Цель:
Построить n отрезков OAᵢ из центра на окружность. Все точки A должны делить окружность на n одинаковых дуг (Пример в видео)
Присылайте ссылку на решение в @thisMathBot
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
❤🔥5
Решение задачи
Эту задачу можно было решить разными методами. В нашем примере есть еще дополнительные две точки. В решении победителя - два дополнительных ползунка
- Наше решение
- Решение победителя
#новости
Эту задачу можно было решить разными методами. В нашем примере есть еще дополнительные две точки. В решении победителя - два дополнительных ползунка
- Наше решение
- Решение победителя
#новости
❤🔥2
Вывод правила Лопиталя (случай при x = b − dx)
Теперь разберём случай x = b − dx.
Умножим числитель и знаменатель на (−1) — дробь не изменится
Пусть c = b − dx (тогда b = c + dx). Перепишем
По условию f(b) = 0 и g(b) = 0. Делим числитель и знаменатель на dx:
(f(c + dx) − f(c)) / dx — это ничто иное, как производная f(x) в точке b.
Итог:
Следовательно, при (x = b ± dx) имеем один и тот же результат, значит
⚫️ ThisMath || #углублённо
lim(x ➜ b) f(x) / g(x)
Теперь разберём случай x = b − dx.
f(b − dx) / g(b − dx)
Умножим числитель и знаменатель на (−1) — дробь не изменится
−f(b − dx) / −g(b − dx)
−f(b − dx) + f(b) − f(b)
───────
−g(b − dx) + g(b) − g(b)
f(b) − f(b − dx) − f(b)
───────
g(b) − g(b − dx) − g(b)
Пусть c = b − dx (тогда b = c + dx). Перепишем
f(c + dx) − f(c) − f(b)
───────
g(c + dx) − g(c) − g(b)
По условию f(b) = 0 и g(b) = 0. Делим числитель и знаменатель на dx:
f(c + dx) − f(c)
───
g(c + dx) − g(c)
(f(c + dx) − f(c)) / dx — это ничто иное, как производная f(x) в точке b.
(f(c + dx) − f(c)) / dx = f'(c)
(g(c + dx) − g(c)) / dx = g'(c)
f'(c) / g'(c) = f'(b − dx) / g'(b − dx) = f'(b) / g'(b)
Итог:
f'(b)
───
g'(b)
Следовательно, при (x = b ± dx) имеем один и тот же результат, значит
lim(x ➜ b) f(x) / g(x) = f'(b) / g'(b)
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
❤🔥5🤡1
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
👍13❤4😁4🤡1🖕1
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
❤🔥9😁3
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
😁14❤🔥3
Что делать если после применения правила Лопиталя получили неопределенность?
Вот пример:
lim(x ➜ 0) (x² / sin²(x/3))
Подставляем, 0 / 0, тогда воспользуемся правилом Лопиталя.
(x²)' = 2x
(sin²(x/3))' = 2·sin(x/3)·cos(x/3) / 3
(2x / (2·sin(x/3)·cos(x/3) / 3))
3·(x / (sin(x/3)·cos(x/3)))
3·(0 / (sin(0)·cos(0)))
3·(0 / (0·1))
0 / 0
После применения правила Лопиталя получили неопределенность, тогда ещё раз применяем это же правило, то есть берём производные двух функций и делим их значения при x = 0.
Только прежде чем брать производную, упростим выражение sin(x/3)·cos(x/3). Если x = 0, тогда мы получаем
sin(x/3)·cos(0) = sin(x/3)
После упрощения мы получаем 3x / sin(x / 3)
3x' = 3
(sin(x/3))' = cos(x/3) / 3
3 / (cos(x/3)·3)
9 / cos(0/3)
9 / cos(0)
9 / 1 = 9
Итог: лимит равен 9.
Вывод: если после применения правила Лопиталя получилась неопределенность 0 / 0, то применяем ещё раз правило Лопиталя к уже полученным выражениям.
#углублённо
Вот пример:
lim(x ➜ 0) (x² / sin²(x/3))
Подставляем, 0 / 0, тогда воспользуемся правилом Лопиталя.
(x²)' = 2x
(sin²(x/3))' = 2·sin(x/3)·cos(x/3) / 3
(2x / (2·sin(x/3)·cos(x/3) / 3))
3·(x / (sin(x/3)·cos(x/3)))
3·(0 / (sin(0)·cos(0)))
3·(0 / (0·1))
0 / 0
После применения правила Лопиталя получили неопределенность, тогда ещё раз применяем это же правило, то есть берём производные двух функций и делим их значения при x = 0.
Только прежде чем брать производную, упростим выражение sin(x/3)·cos(x/3). Если x = 0, тогда мы получаем
sin(x/3)·cos(0) = sin(x/3)
После упрощения мы получаем 3x / sin(x / 3)
3x' = 3
(sin(x/3))' = cos(x/3) / 3
3 / (cos(x/3)·3)
9 / cos(0/3)
9 / cos(0)
9 / 1 = 9
Итог: лимит равен 9.
Вывод: если после применения правила Лопиталя получилась неопределенность 0 / 0, то применяем ещё раз правило Лопиталя к уже полученным выражениям.
#углублённо
❤3👍1
Неопределённость ∞ / ∞ через правило Лопиталя
Пускай у нас есть
lim(x ➜ a) f(a) / g(a)
f(a) = ∞
g(a) = ∞
f(a) / g(a) = (1 / g(a)) / (1 / f(a))
Если f(a) = ∞, то 1 / f(a) = 0
И 1 / g(a) = 0
lim(x ➜ a) ( (1 / g(a)) / (1 / f(a)) )
1 / g(a) = 0
1 / f(a) = 0
Теперь у нас неопределённость 0 / 0. Тогда воспользуемся правилом Лопиталя.
(1 / g(x))' = g(x)^(−1)' = −1·g(x)^(−2)·g'(x) = −g'(x) / g(x)²
(1 / f(x))' = −f'(x) / f(x)²
(−g'(x) / g(x)²) / (−f'(x) / f(x)²) = (g'(x)·f(x)²) / (f'(x)·g(x)²)
lim(x ➜ a) f(x) / g(x) =
g'(a)·f(a)²
──
f'(a)·g(a)²
С другой стороны
f(a)² = lim(x ➜ a) f(x)²
g(a)² = lim(x ➜ a) g(x)²
lim(x ➜ a) f(x) / g(x) =
g'(a)·lim(x ➜ a) f(x)²
───────
f'(a)·lim(x ➜ a) g(x)²
= g'(a) / f'(a) · lim(x ➜ a) (f(x)² / g(x)²)
lim(x ➜ a) f(x) / g(x)
───────
lim(x ➜ a) f(x)² / g(x)²
= g'(a) / f'(a)
lim(x ➜ a) g(x) / f(x) = g'(a) / f'(a)
lim(x ➜ a) f(x) / g(x) = f'(a) / g'(a)
Вывод:
lim(x ➜ a) f(a) / g(a) = f'(a) / g'(a)
f(a) = ∞
g(a) = ∞
⚫️ ThisMath || #углублённо
Пускай у нас есть
lim(x ➜ a) f(a) / g(a)
f(a) = ∞
g(a) = ∞
f(a) / g(a) = (1 / g(a)) / (1 / f(a))
Если f(a) = ∞, то 1 / f(a) = 0
И 1 / g(a) = 0
lim(x ➜ a) ( (1 / g(a)) / (1 / f(a)) )
1 / g(a) = 0
1 / f(a) = 0
Теперь у нас неопределённость 0 / 0. Тогда воспользуемся правилом Лопиталя.
(1 / g(x))' = g(x)^(−1)' = −1·g(x)^(−2)·g'(x) = −g'(x) / g(x)²
(1 / f(x))' = −f'(x) / f(x)²
(−g'(x) / g(x)²) / (−f'(x) / f(x)²) = (g'(x)·f(x)²) / (f'(x)·g(x)²)
lim(x ➜ a) f(x) / g(x) =
g'(a)·f(a)²
──
f'(a)·g(a)²
С другой стороны
f(a)² = lim(x ➜ a) f(x)²
g(a)² = lim(x ➜ a) g(x)²
lim(x ➜ a) f(x) / g(x) =
g'(a)·lim(x ➜ a) f(x)²
───────
f'(a)·lim(x ➜ a) g(x)²
= g'(a) / f'(a) · lim(x ➜ a) (f(x)² / g(x)²)
lim(x ➜ a) f(x) / g(x)
───────
lim(x ➜ a) f(x)² / g(x)²
= g'(a) / f'(a)
lim(x ➜ a) g(x) / f(x) = g'(a) / f'(a)
lim(x ➜ a) f(x) / g(x) = f'(a) / g'(a)
Вывод:
lim(x ➜ a) f(a) / g(a) = f'(a) / g'(a)
f(a) = ∞
g(a) = ∞
⚫️ ThisMath || #углублённо
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
🤣14❤4👍1😁1
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
🤣13😁2
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
❤9🤣3