Найдите ГМТ красных точек на рисунке (не вершин треугольника)

Разминка №20.

Народная задача от @timofeyxd.

Простая и симпатичная!

Всем доброе утро. Нам очень понравилась идея тематических дней, так что сегодня для вас ещё один. День кубик ;) Мы постарались подобрать не классические задачи на кубики, а некоторые более неожиданные факты, так что задачи сегодня будут довольно продвинутые.


Но начнем с довольно простой задачи. Точки P и P' на рисунке изогонально сопряжены.

Итак, вторая задача уже сразу довольно интересная. Я думаю, к ней рисунок будет излишним.

Конечная точка такова, что прямая через неё и трилинейный полюс её ортотрансверсали проходит через центроид. Доказать, что эта точка лежит на гиперболе Киперта.

В качестве третьей задачи предлагаем довольно классическую задачу попроще.

Be - точка Бевена (X(40))
L - симметрия ортоцентра относительно центра описанной (X(20))

К четвертой задаче рисунок также будет излишним.

Существует ли остроугольный треугольник, в котором середина отрезка между точками Торричелли лежит вне него?

в канал добавлена новая реакция специально для постов юсуфа

Убейся

Ненавидь меня это нормально👌😂

Ну и напоследок предлагаю задачу, которую я не умею решать.

Кубику Нойберга повернули на 120° в разные стороны относительно центра описанной окружности. Докажите, что полученные три кубики лежат в одном пучке.

Тематический день кубик - ВСЁ. Заказывайте тематические дни в комментариях, м.б. мы сделаем.

Разминка №21.

Точка Н - ортоцентр большого треугольника.

Народная задача от @Edinburgh_of_the_Seven_Seas

Красиво 🤤

Разминка №22.

Одноцветные углы на рисунке в сумме дают или 90° или 180° (сумма синих углов - 90°, сумма красных углов - 90°, а сумма зелёных углов - 180°).
Синие отрезки - биссектрисы соотв. углов.

ну и народная красота от @IvanMChas

кто-то помешан на шалтаях-болтаях...

Тут произошли тех-шоколадки, и я неверно нарисовал рисунок... Перерисовывать мне лень, поэтому держите оригинальное условие. Тот, кто хочет, все-равно решит)

Разминка №23.

АА', ВВ', СС' - биссектрисы треугольника АВС. Доказать, что периметр АВС хотя бы вдвое больше периметра А'В'С'.

Вчера был выходной 😁

Upd: оба админа, которые делают рисуночки, заболели, поэтому объявляется неделя стереомы, кг и неравенств

Интернет не анонимен

Кто-то пожаловался в комментариях, что предыдущая разминка была слишком простой.
Итак, РАЗМИНКА 24.

В треугольнике АВС угол В тупой, а H и I - его ортоцентр и инцентр. Доказать, что HI не больше, чем 4S(AHC)/P(ABC).

Ну и в завершение дня предлагаем вам решить очень красивую народную задачу от @IvanMChas.

Бс, Бb - C-Болтай AFC и B-Болтай АFB.