کدامیک از ما خوشحال نخواهیم شد اگر پرده ای که آینده در ورای آن پنهان است کنار برود، تا پرتوی بر رازهای توسعه ی ریاضیات در قرن های آینده افکنده شود؟

دیوید هیلبرت، کنگره بین المللی ریاضیدانان، پاریس، ۸ اوت ۱۹۰۰

دو صفحه از کتاب رو دادم بهش و خروجی این بود.

مدل جدید DeepSeek-Prover-V2 مسائل رو ظاهرا بهتر از ورژن های قبلی حل می کنه. مسائل رو به زیرمساله هایی تبدیل می کنه که ساده ترند و بعد می ره سراغ حل اون زیر مساله ها. مثلا ۴۹ تا مساله از ۶۵۸ مساله های پاتنام رو حل کرده(که مسابقات ریاضی در سطح دانشگاه هست). با بعضی بنچ مارک های دیگه هم محک خورده و سربلند در اومده و بهتر از قبل عمل کرده. مثلا توی AIME هم خوب عمل کرده.
منتها چند نفری سوتی هم در آوردند از حل هاش. مثلا یه مساله از IMO 1974 رو باید ثابت می کرده همه مقادیر بین صفر و یک رو می گیره ولی ثابت کرده بین صفر و یک هست. این موضوع به صراحت در صورت سوال نیومده و انگار خود صورت مساله رو درست نفهمیده و فقط یه چیز ساده تری رو اثبات کرده.

لینک مساله:
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1974_IMO_Problems/Problem_5

لینک مقاله:
https://arxiv.org/abs/2504.21801

امروز  تولد
Peter Lax
از معدود بازمانده‌ های اون نسل طلایی از ریاضیدان ها که چند دهه پیش به آمریکا مهاجرت کردند.
به مناسبت تولدش دوتا قضیه معروف از درس ریاضی عمومی (که شکل کلی ترش رو در آنالیز هم می بینند بچه های ریاضی) از یکی از کتاب هاش آوردم.
دو نکته:
۱) اون کتاب هایی که در همه سال های قبل به عنوان کتاب مرجع برای ریاضی عمومی ترجمه و معرفی شدند به نظرم بدترین انتخاب های ممکن بودند(حتی کتاب جناب آپوستل در ریاضی عمومی) اوج بدسلیقگی و بهترین روش برای متنفر کردن دانشجو از این درس بود.
۲) یادم نیست کجا خونده بودم که یه ریاضی دانی گفته بود که این دو تا قضیه(یا یکی شون) از اون قضایایی هستند که بیشتر دانشجوها درک درستی ازشون ندارند و اصلا درست تدریس نمی شه توسط استاد. برای خود من همین طور بود و بعدا به دلایل دیگری مجبور شدم تا حدی سر در بیارم از چند و چونشون.

مساله برای فکر کردن

انتشارات آکسفورد یه سری مجموعه کتاب داره به اسم
Very Short Introductions
که در موضوعات مختلف در حدود صد صفحه  مفاهیم مرتبط با اون موضوع خاص رو توضیح می ده. معروف ترین کتاب ریاضی اش کتاب آقای گاورز هست که به فارسی هم ترجمه شده.
این کتاب هم، درباره گودل و کارهاش کتاب جمع و جوریه. یه سری باورهای رایج و عموما اشتباه در مورد این قضیه رو زیر سوال می بره و توضیحاتی در مورد اون ها می ده. مثلا اینکه "هیچ چیز در ریاضی قابل اثبات نیست" یا "برتری انسان بر ماشین"
زمینه های تاریخی، شرح اون ها و نتایجش رو بررسی می کنه.
برای کسانی که می خواند بدون زمینه خیلی قوی با موضوع آشنا بشند، معرکه است.

یکیش این بود، مصاحبه با دکتر شهشهانی در اون مصاحبه تاریخ شفاهی...اشاره به قضیه تابع ضمنی...
جای دیگه ای هم بوده شاید...
اولین بار هم در تاریخ، Cauchy یه بیان درست و درمون از این قضیه رو ارائه داده ظاهرا.

این سلسله مطالب از این مقاله بود، بیان نتیجه اصلی این مقاله.

مساله برای فکر کردن:
مساحت دایره رو پیدا کنید.

1 + 1 = 2 is occasionally useful!

دارم یه کتاب در مورد زندگی
Jim Simons(1, 2, 3)
می خونم، کمی حوصله سر بره، چون به زحمت نکات خوبی توش پیدا می شه. کامنت هایی که این ور و اون ور در مورد کتاب نوشته شده رو می خوندم ملت راضی نبودند از کتاب، یعنی شاکی بودند بیشتر. البته به دلایل دیگه ای. مثلا یکی نوشته بود انتظار داشته که trading یاد بگیره با خوندن کتاب! یا روش ها و الگوریتم هایی که سیمونز و... ازش استفاده می کرده رو شرح بده!
یکی از رازهای موفقیت اون خدا بیامرز مخفی نگه داشتن الگوریتم ها بود و می گند حتی کسانی که اونجا کار می کردند دسترسی های محدودی داشتند به کل سیستم اونجا، بعد طرف انتظار داره که همه اطلاعات و روش های کاری اش رو طرف تو یه کتاب چند دلاری در اختیار بقیه بذاره!
چند نکته/جمله از کتاب:
روش های سیمونز فقط برای سوددهی در کوتاه مدت خوب بوده و نه بلند مدت، ضمنا استاد عمیقا اعتقاد به سود نویزها داشت. می گفت: سود تو نویزه! یعنی بازار این طوریه.

ظاهرا تاخیرهای میلی ثانیه ای اینترنت هم به شدت روی خروجی کار و سود تاثیر می ذاشته، واسه همین بحث های زیرساختی خیلی براشون مهم بوده(این یعنی اون روش ها و الگوریتم ها بدرد ایران نمی خورده)

و در پایان جمله ای از استاد:
"اگر داده‌ها یه چیزی می‌گن، حتی اگه خلاف عقل سلیم باشه، از داده‌ها پیروی کن."

در عکس هم، نفر سمت چپ سیمونزه.

The Implicit Function Theorem History, Theory, and Applications

موضوع اینقدر مهم بوده، جداگانه براش کتاب نوشتند.

مساله برای فکر کردن:
با دو روش شمارش ثابت کنید رابطه بالا برقراره.

صورت سوال اصلاح شد.

یکی از مفاهیم ریاضی که قدمت خیلی زیادی داره(البته نه شاید به قدمت اعداد)، مفهوم
Convexity
هست. مفهوم خیلی بنیادی در هندسه، که در شاخه های دیگه ریاضی هم خیلی زیاد استفاده می شه، هر چند در نگاه اول این طور به نظر نرسه. آنالیز تابعی، آنالیز مختلط، نظریه گراف، هندسه جبری، نظریه احتمال و... بخش های دیگه ریاضی هستند که از این مفهوم استفاده می کنه. در زمینه هایی مثل بهینه سازی هم می شه گفت بخش بزرگی از قضایا و... متکی به این مفهوم هست. بهترین منابع برای خوندن این مفهوم به طور کلی کتاب ها و مقالات هندسه دان های بزرگ حوزه بالکان هست.
شکل بالا تنها شکل های ممکن برای
‌regular convex polyhedra
هست، از زمان یونانیان این اشکال رو می شناختند و به اجسام افلاطونی معروف هستند.
از یه سری تعاریف و نتایج خیلی قدیمی اگر بگذریم، چند تا از نتایج در دوره های اخیر مربوط به کشی می شه. در ۱۸۵۰ این نتیجه رو صراحتا ذکر کرده:
اگر یک منحنی بسته محدب داخل یه دایره باشه، محیطش از دایره کوچک تره.
یکی از مهمترین فرمول های بعد رابطه معروفی بود که اویلر بدست آورد:
V-E+F=2
که می گند قبلا دکارت به این رابطه رسیده بود، منتها دستنوشته اش گم یا فراموش شده.
خود فرمول اویلر رو اولین بار لژاندر اثبات درست و درمون براش ارائه داد.
Alexandrov
که از شاگردهای لوزین بود و از توپولوژیست های معروف در مورد این فرمول گفته بود:
اولین اتفاق مهم در توپولوژی.
اون فرمول برای هر چند وجهی درست نیست البته و دامنه درستی اش زمینه بحث های زیادی شده در ریاضی.
تعمیم این رابطه بعدها توسط کس دیگه ای به دست اومد و پوانکاره اون رو ثابت کرد. می گه اگر f_k تعداد face های k بعدی یک چندوجهی n بعدی باشه، در این صورت:
Σ(-1)^k*f_k=1-(-1)^n
برای k از 0 تا n-1.
یه مساله خیلی سخت و باز در این زمینه: برای n تا از اون f_k ها یه چند وجهی محدب هست؟
در حالت n=3، ریاضیدانی به اسم 
Ernst Steinitz
مساله رو حل کرد.(یه قضیه خیلی معروف در جبر خطی داره به اسم
Steinitz exchange lemma
که هر کس جبرخطی پاس کرده دیده این قضیه رو هر چند اسمش رو ممکنه نشنیده باشه!)
یه ویدئو جذاب از اون فرمول اویلر رو اینجا ببینید.

Fibonacci's clock