اندرو وایلز در این سخنرانی کوتاه درباره برنامه لانگلندز توضیح می ده. بیشتر یه مرور تاریخی که از حل معادلات شروع می شه و میاد جلوتر. در بین حرف هاش نکات تاریخی و جالبی رو می گه. اشاره به حضور لانگلندز در ترکیه، اشاره به مرگ زودهنگام آبل و گالوا و یه شعر که برای حل معادله درجه سوم ازش استفاده می کردند و نکات دیگه...
اولش شوخی می کنه که توضیح برنامه لانگلندز برای یه سری ریاضیدان از اثبات قضیه فرما هم سخت تره!
https://youtu.be/ZFOPxZtlkig?si=in609QdtxidwjgRR

لیست قضیه هایی که misnamed شده: قضیه هایی که به اسم شخصی ثبت شده ولی به لحاظ تاریخی اولین فردی نبوده که اون رو کشف یا اثبات کرده.
https://en.m.wikipedia.org/wiki/List_of_misnamed_theorems

"There are only two kinds of modern math books: Those you cannot read beyond the first sentence, and those you cannot read beyond the first page" - C.N. Yang (Nobel laureate in Physics)

یکی نوشته من با علاقه یه کتاب ریاضی رو گرفتم بخونم اولش این جوری شروع شده بود:
"Let G be a compact topological group..."
کتاب رو بستم و گذاشتم کنار.

البته به نظرم راه حلی وجود نداره برای این مساله، مفاهیم ریاضی روی مفاهیم قبلی بنا می شند.

دستمزد سالیانه جناب Tao، که خیلی خیلی بیشتر از میانگین دستمزد دریافتی یه ریاضیدان در فضای آکادمیکه(که البته حقش هست)
دستمزدهای تاپ حدود ۱۴۰، ۱۵۰ تا می شه معمولا، اون هم برای ریاضیدان هایی که در دانشگاه مشغول هستند. اون دسته از ریاضیدان ها که در جاهای دیگه مثل صنعت هستند(دیتا، مالی و...) و یا جاهایی مثل DOD، دستمزدشون بالاتر هم هست.
به هر حال در رشته ریاضی درآمد Tao استثنایی هست و حتی در مقایسه با سایر حرفه ها.

البته به نظرم نگفته حتما برید رشته ریاضی بخونید، گفته روی اون focus کنید. هدف تربیت ذهن ریاضی هست و تمرکز روی یادگیری مهارت های ریاضی و نه لزوما خوندن رشته ریاضی.

یکی ده قاعده که از ریاضیات یادگرفته رو لیست کرده( و گفته در زندگی هم کم و بیش کاربرد داره)، اون ده قاعده اینا هستند:
۱. زیر پا گذاشتن قوانین اغلب بهترین راه حل هستند.
۲. برای زیر پا گذاشتن قوانین باید اون ها رو خوب بفهمی.
۳. وقتی چیزی رو می فهمی که آهسته پیش بری.
۴. بهترین راه یادگیری حل مساله است.
۵. برای اینکه حرفه ای بشی راه میان بر وجود نداره.
۶. همیشه در یه لحظه فقط سراغ یه مساله برو.
۷. پیدا کردن دید درست نصف موفقیته.
۸. سوال بپرس.
۹. استعداد مثل تزئینات روی کیک می مونه.
۱۰. به استادها بیش از حد اعتماد نکن!

یه سایت جالب که در اون با انواع گره ها آشنا می شید. نزدیک دویست تا گره مختلف رو آموزش داده(اسم گره ها، آموزش خیلی خوب از نحوه گره زدن و...)
هم جنبه ریاضی و سرگرمی داره، هم شاید کاربرد عملی داشته باشه و در زندگی روزمره به کار کسی بیاد.
https://www.animatedknots.com/

توی این مقاله توصیه می کنه که: مدرکت رو بگیر.
گول امثال بیل گیتس رو نخور که بدون مدرک موفق شدند، اونا قبلش دانش فنی بالایی داشتند و بعد ترک تحصیل کردند. می گه اگر می خوای تاثیرگذار باشی مدرکت رو بگیر، شاید طول بکشه ولی مسیرش همینه.
اشاره می کنه که رشته گیتس در دانشگاه ریاضی بوده و اینکه غول های CS بیشترشون ریاضی و فیزیک خونده بودند و حتی فلسفه.

Three logicians walk into the Logic Bar.

Waiter: Do you all want beer?
First logician: I don't know.
Second logician: I don't know.
Third logician: Yes.

توضیحاتش در لینک زیر:
https://www.infinitelymore.xyz/p/epistemic-logic-and-common-knowledge

یه اثبات زیبا برای اصم بودن 2√

اگر کسی بهتون گفت لگاریتم به چه دردی می خوره این رو نشونش بدید.
ظاهرا اینکه صورت مساله یا قضیه برای همه قابل فهم باشه و حل یا اثباتش دور از دسترس، یه ویژگی ذاتی نظریه اعداد هست.

یه مثال دیگه از همبستگی بی دلیل:
تعداد مدارک دانشگاهی اعطا شده با سن دختران برنده مسابقه Miss America
correlation ≠ causation
یه مطلب دیگه در مورد همبستگی

امروز تولد Stephen Smale هست، حدس پوانکاره رو در ابعاد بالا ثابت کرده، بعدها پرلمان برای n=3 مساله رو حل کرد.
این مقاله برای زمانی هست که هنوز هم با تردید به اثبات پرلمان نگاه می کردند و به نظرم همین جذاب ترش کرده.
در مقاله اشاره می شه که اینقدر اثبات اشتباه برای این مساله ارائه شده بود که یه ریاضیدان مقاله ای می نویسه با این عنوان:
"چطور حدس پوانکاره را ثابت نکنیم" ظاهرا خطای اکثرشون این بوده که صرفا با نگاه توپولوژیکی به مساله نگاه می کردند.
n=1: Trivial
n=2: Easy (19th century)
n=3: Perelman (2003), declined Fields Medal
n=4: Freedman (1982), won Fields Medal
n≥5: Smale (1961), won Fields Medal

در این متن یه سری حکم نادرست بیان شده، و یه نتیجه نصفه و نیمه و نسبتا بدون ارتباط گرفته شده.

۱. «مغلطه» اساسا یه چیز کلامیه. وقتی می‌خوای ایده‌های ریاضی مثل پارادوکس راسل رو بیاری در مسائل برآمده از زبان استفاده کنی، باید دقت کنی. چیزی که از این متن برمیاد، فرض‌شدن ضمنی اصل طرد شق ثالث در قالب «مغلطه» هست و خب... منطق چند ارزشی (مثلا گودل-دامت) به شما سلام می‌کنه:)

۲. خود راسل معتقد بود که تناقض آرایشگر مثالی از پارادوکس خودش - که مبتنی بر نظریه خام مجموعه‌هاست - نیست. اگر چه برای توضیح شهودیش از این مثال استفاده می‌شه ولی تناظر دقیقی باهاش نداره. پارادوکس راسل از نامحدود بودن اصل موضوعه comprehension در نظریه مجموعه‌ها میاد. پارادوکس آرایشگر، بسته به انگاره ما از آرایشگر داره: ما تصورمون از آرایشگر کسی‌ئه که به «دیگری» سرویس آرایشگری می‌ده. به عبارتی این پارادوکس ناشی از بازی با معانی ضمنی کلماته. اما پارادوکس راسل (و معادلش در شهودگرایی، پارادوکس کِری (Curry))، از تعاریف دقیق ریاضی از عضویت در مجموعه، خود مجموعه و دیگر مفاهیم مربوطه برمیاد. بازی کلامی رو با تعریف دقیق نمی‌شه برابر کرد. اگر هم در جواب این بگید که بالاخره از زبان برای بیان مفاهیم ریاضی استفاده می‌شه، باز هم اشتباه می‌کنید: چون در ریاضی یا از بخش جامع و مانع زبان (بدون معنای ضمنی) استفاده می‌شه یا اگر لازم بشه از کلمه‌ای با معنای ضمنی استفاده بشه، حتما اون کلمه به تعریفی در قالب بخش جامع و مانع زبان نگاشته می‌شه.

۳. در راستای مورد بالا، راسل هیچ اسمی از پارادوکس آرایشگر در نامه‌ش به فرگه نیاورده. پارادوکس هم طرح نمی‌شه، بلکه با استفاده از اصول موضوعه یک نظریه به دست میاد که به صاحب نظریه بگه اصولش اشکال داره.

۴. شاخه‌های جدید تولید شده در سیستم منطقی دقیقا چیه؟ اگر‌ منظورتون مباحث مربوط به نظریه پیچیدگی (همون که ملانی میچل یا گونار پروسنر ازش حرف می‌زنن) هست که خب من تخصص دقیقی ندارم در این زمینه ولی؟ این که اصول بنیادی حساب پئانو (و نه ریاضیات!) اینا رو نتونه مدل کنه «اشکال اساسی»ش نیست. ضمن این که منطق‌های غیرکلاسیک (انواع منطق‌های وجهی مثل منطق وجهی احتمالاتی، منطق coalition، منطق temporal و سایر منطق‌های این کلاس که هر کدوم بخشی از مسائل واقعی‌تر مثل سر و کله زدن با داده رو پوشش می‌دن) به شما سلام می‌کنن:) بماند البته که این بحث شما که احتمالا مربوط به سیستم‌های پیچیده‌ست، بیشتر می‌ره تو حوزه سیستم‌های دینامیکی تا منطق.

۴. توالی همانی؟ تغییر یافتن و شدن؟ باید این‌ها رو دقیق تعریف کنید. اگر منظورتون اینه که تاثیرات متقابل چرا در ریاضیات مدل نمی‌شه، این ربطی به ریاضی نداره بلکه ربط به جا نگرفتن این مفهوم ذیل علیت (به معنای استانداردش) هست. که خب نباید هم جا بگیره چرا که برای استدلال علیتی، ماهیت موضوع مورد استدلال مهمه. طبیعیه که وقتی در سطح کلان‌تری میای که ماهیت‌ها و رفتارها عوض می‌شن، نیاز باشه جور دیگری فکر کنی و بگی رسیدن از حالت الف به ب یعنی چی. آیا زمانی که هیلبرت و شرکا و دیگر ریاضی‌دان‌ها دغدغه‌شون اصل‌بندی کل ریاضی بود، یا زمانی که جوزپه پئانو اصل‌بندیش رو از حساب منتشر کرد، این‌ها جزو دغدغه‌های دست اولشون بود؟

۵. راسل اگر چه پارادوکسش رو به فرگه پس از انتشار جلد اول Begriffsschrift نشون داد، ولی این مسئله اصلا براومده از یکی از چالش‌های نظریه خام مجموعه‌های کانتور بود. نوشتن نامه به فرگه نتیجه‌ی اون بود نه دلیلش.

۶. نتیجه نهایی خیلی با اغماض از بقیه مطلب در اومده. پارادوکس راسل از غلط بودن و ناسازگاری اصول نظریه خام مجموعه‌ها دراومده. در حالی که حرکت از ذات چیزی به سمت «درباره» چیزی، بیشتر ذیل ناتمامیت گودل می‌ره که از «ناکاملی» تحت شرایطی مشخص صحبت می‌کنه. این که هر دو موضوع به نوعی از self-reference اشاره می‌کنن، دلیل نمی‌شه که جنس این self-reference در هر دو یکی باشه.

ظاهرا صد تا مساله IMO رو formalized کرده.
https://youtu.be/5NbYtDfXfR4?si=BKjUXEWNp4Jxrqs7