Аммониты в метро

Любимое развлечение в метро «Парк победы» — искать на стенке окаменевшие останки аммонитов. Это такие древние молюски.

Решила изучить, какие математические книги нравятся мне, и рассказать. Для начала снова порекомендую «Киты и люди».

https://www.labirint.ru/books/617538/?p=28826

Книги и фильмы
Часть 1

— А почему мы читаем «Гарри Поттера», а не смотрим?
— Давай сначала разберемся, чем отличаются книги и фильмы. Как ты считаешь?
— Ну книга — это книга, а фильм — это фильм.

Тут я понимаю, что Ильке не хватает языка, объяснить. Продолжаю вопросы:

— Что такое книга?
— Книга – это существительное.
— Фильм — тоже существительное.
— Хорошо, книга — это такая вещь. Она сама перемещаться не может, но ее можно переместить.

Тут бы побольше контрпримеров. Показываю на пакет:
— Это книга? Объясни так, как ты бы объяснил инопланетянину.
— Книга — это существительное. Она сделана из бумаги. Обложка бывает из картона, из кожи, много еще из чего. А еще она наполнена буквами!
— Ок, книга — это текст с картинками. Бывает без текста, бывает без картинок, но в основном так. А фильм? Что это?

— Фильм состоит из сюжета..
— В книге тоже есть сюжет
— Не всегда. В книгах про животных нет.
— В фильме тоже не всегда. Вот книга состоит из бумаги, текста, картинок, а фильм?
— Фильм — это такая вещь, состоит из множества мелких вещей.

Снова не хватает языка. Тут Илька заходит с неожиданной стороны:
— Книги печатают, а фильмы снимают!
— Да. И получается видео. Много картинок, их часто сменяют, получаются движущиеся картинки...
— Это я всё знаю.
— Да, и называешь словом «фильм» и фильм, и кадры, и видео.

Итог: надо почаще просить объяснить что-то инопланетянам. Это вскрывает хорошие глубины — что как устроено, каких слов не хватает, как сформулировать свои знания.

Книги и фильмы
Часть 2

— Итак, книга — это текст, в первую очередь. Что происходит, когда ты ее читаешь?
— Мое воображение оживляет картинку.
— Да. Вот папа читает про Рона и Гермиону, что они держали желтые и грязные зубы василиска. И ты сразу себе это представляешь.
И воображение твое рисует ярче любого фильма.

Поэтому, если ты сначала смотришь фильм, а потом читаешь книгу, то представляешь героев такими, как видел в фильме. А если сначала читаешь книгу, то фильм часто потом не нравится.

Аудиокниги

А вы включаете детям аудиокниги? Расскажите, когда и как.

Умножение на 11
Часть 1

Ильке задали на лето таблицу умножения поучить. Поэтому я иногда внезапно спрашиваю: 6•7?
Сегодня иначе.

— Хочешь научу на 11 умножать? Это просто. Сколько будет 11 умножить на 3?
— (Думает)
— Хорошо, давай проще: 11•1?
— 11
— 11•2
— 24, ой нет... 22
— 11•3
— 33
...

Мы продолжали до пяти. Потом я спросила:
— А можешь правило сформулировать для однозначных чисел?
Илька подумал и сказал:
— Берешь число и записываешь его два раза.

Ключевые идеи:
• Начать с очень простых примеров
• Когда видно, что уже понял, попросить самого сформулировать правило

Умножение на 11
Часть 2

— Теперь двузначные. Смотри, берешь двузначное число, складываешь его цифры, результат записываешь между этими цифрами. Например, 32•11. Сколько 3+2?
— 5
— Значит 32•11=352

Тут меня гачинают глодать сомнения. Взяла и самое интересное рассказала.

— Я не уверена, что ты меня понял. Сколько будет 31•11?
— 341. А как можно было не так понять?
— Ну мало ли. А 11•11?
— 121

— Теперь ты знаешь таблицу умножения на 11
— Я еще знаю на 10, на 1, на 2.

Оговорки:
• Я не обсуждала переход через десяток. Например 89•11
• Я в моем детстве восхищалась таким способом. Это как фокусы показыаать.
• Завтра проверю, что там в памяти осталось.

Умножение на 11
Часть 3

Сегодня вечером:
— Сколько будет 35•11?
— Ох, подожди, дай подумать... 385
— Умничка. А сколько будет 53•11? Я цифры переставила. Было 35, теперь 53.
— Вот странно. 3+5=5+3=8 Но ответ же должен быть другим.
— Так тут цифры в другом порядке.
— Ааа.. Я понял, 583
— Смотри мы у сомножителя цифры поменяли и у результата они тоже в обратном порядке встали.

План:
1) Разобраться с переходом через десяток
2) Научиться трехзначные числа умножать на 11
3) Обобщить на многозначные
4) Поговорить про умножение на 101, 1001 (тут милый фокус есть, но пока рано, годик подождать надо)
5) Самостоятельно открыть признак делимости на 11

​​Игра в бревнышки

В трех кучках лежат бревнышки: 11, 7, 6. В любую кучку можно добавить ровно столько, сколько там уже есть, взяв их из другой кучки, причем именно из одной. Надо уравнять, сделать 8, 8, 8.

Мы взяли небольшие досточки и стали играть в них вживую.

Решает Илюха
Илюха делает ход, смотрит, что получилось, думает про следующий ход.

11 7 6
5 7 12
10 2 12
8 4 12 (о, я это заранее просчитал, перед прошлым ходом!)
8 8 8

Илюхе понадобилось всего 4 хода.

Тут подходит дедушка, интересуется. Я прошу Илюху объяснить дедушке правила. Для меня очень важно именно это: чтобы он научился сам их объяснять. Это позволит ему снова и снова возвращаться к этой игре в разных компаниях.

Решает дедушка
Дедушка сначала долго продумывает решение в уме, потом говорит, что ему нужен листок бумаги. Я предлагаю не пытаться решить задачу сразу целиком, а делать ходы с реальными дощечками, и думать, куда дальше пойти.

11 7 6
11 1 12
11 2 11
(— ой, неправильно, надо было вначале по-другому.
— продолжай, давай найдем решение)
9 4 11
9 8 7
2 8 14
4 8 12
8 8 8

Илюха доволен, что решил за меньшее число ходов.

Решает мама
Я знала, что можно за три хода. Дедушка усомнился. Я придумала как, не буду писать, сами придумаете.

Решает бабушка
Я ушла, а Илька задал задачу бабушке. Бабушка тоже за три хода решила. Но мне тут важно, что Илька сам рассказал условие, отследил решение, а потом еще бабушке свое продемонстрировал.

Ремарки
1) Если количества бревнышек в каждой кучке делятся на какое-то число, то так и дальше будут делиться. Это пригодится в разговоре о наибольшем общем делителе.

2) Я записала партию дедушки, чтобы не забыть для поста. Внимание Ильки я не обращала на это, но он видел, как такую игру можно записывать.

3) Еще это упражнение на устный счет в пределах 20.

4) Задачка из «Математической смекалки» Кордемского. Там про спички, но у нас были досточки под рукой.

Умножение на 11
Часть 4

— Илька, а сколько будет 57•11?
— (молчит)
— Тут есть подвох.
— Я знаю, поэтому и не отвечаю.
— Ты попробуй как-нибудь, а я тебе объясню.
— 627
— А как ты решал?
— А я подумал, что этот лишний десяток надо куда-то деть, наверно, к следующему разряду добавить.

А я-то думала, придется объяснять.

Продолжаем играть в бревнышки

Собрались придумать свою аналогичную задачу и придумали. Правила те же, кучек 4: 2, 3, 5, 6. Надо сделать 4, 4, 4, 4

Решение придумайте сами. И аналогичные задачи попробуйте придумать, кидайте их в комментарии.

Как мы задачу придумывали

7, 7, 7, 7
Вытащили все дощечки, что у нас есть, разложили по четырем кучкам. Сначала по одинаковым (везде по 7). Потом переложили произвольным образом, начали решать.

Тут я поняла, что решения не будет. Осталось объяснить это Илюхе. Я начала: «В самом конце у нас будет момент, когда две кучки уже собраны, и остались только две..» Вижу, теряет интерес, не понятно.

Захожу по-другому: «Смотри, всего две кучки: 1 и 13, надо в каждой по 7 сделать». Пробует, играет, на стадии 6 и 8 обнаруживает тупик. Тут и я: «Если у нас уже в обеих кучках четное, то нечетное мы никак не получим».

И с четырьмя кучками тот же тупик: когда осталось только две собрать, приходим к задаче про две кучки.

6, 6, 6, 6
Убрали 4 досточки. Пусть теперь нам нужны четные числа.

Взяли какие-то исходные кучки. В какой-то момент пришли к позиции 6, 6, 4, 8. Илька сам перекладывает, тупик видит.

Тут та же проблема: как только две кучки делятся обе на 4, мы из них 6 не сделаем, оно на 4 не делится.

Тогда мы взяли 4, 4, 4, 4 и придумали задачу. И решили ее. А можно брать 8, 8, 8, 8, но у нас досточек маловато.

Советы родителям
Результат «Я придумал свою задачу» очень мотивирует. Илька побежал рассказывать бабушке и дедушке.

Но лучше начать с двух кучек и внимательно изучить всё, что в них происходит, а потом уже увеличивать количество. А не как я.

Влияние дедушек на внуков невозможно переоценить

Завела себе Яндекс.Дзен
Буду писать полезные приемы, методики и задачи для учителей.

Конкретно в эту задачу можно играть и с младшеклассниками, взяв, например, положительные числа или вообще одинаковые.

https://zen.yandex.ru/media/id/5d2af8e495aa9f00b1bec6ba/nestandartnye-zadachi-na-uroke-5d3c899097216d00acd50708

Среднее арифметическое
Часть 1. 66+44

Несколько месяцев назад по дороге из школы:
— Мам, а знаешь какой у меня средний балл? 4,66
— Да? И что это означает?
— Осталось 44 шага до пятерки.

Ох, у меня глаза разбегаются — так много направлений, куда можно вести разговор дальше. Начнем с простого.

— Сколько будет 66+44?
— (уверенно) 100
— А сколько будет 66+34?
— (считает, думает) Странно, должно быть другое, а тоже 100 получается.

Всё, дальше объяснять не надо, полезнее оставить самого с этим сомнением. Да и до этого объяснять не надо — только вопросы задавать.

Среднее арифметическое
Часть 2. Определение

— А ты знаешь, что если у тебя средний балл 4,66, то среднего балла 5 тебе уже не достичь?
— Это почему это?
— Я могу объяснить, но это сложно, ты готов?

В этот момент я еще не знала, как буду объяснять.

— Давай сначала обсудим, что такое среднее арифметическое. Слышал про такое?
— Нет
— Смотри, берем несколько чисел, сначала их все складываем, а потом сумму делим на их количество.

С делением всё сложно. Они на тот момент его совсем еще не проходили. Но в этот момент я вдруг понимаю, как действовать дальше.

— Давай я буду называть тебе несколько чисел, а ты будешь называть их среднее арифметическое.
— (с сомнением) Давай.
— 4 и 4.
— (честно считает) 4. (Тут уже полно энтузиазма, потому что легко)
— 5 и 3.
— 4
— 4 и 5.
— Не делится.
— Это нацело не делится. А будет 4 с половиной. Если мы сложим две четверки и две половинки, как раз 9 получится.

— Тут мы подошли к тому, почему оно так называется. Среднее — это означает, что оно посередине. Если чисел всего два, то это число ровно посередине.

Тут я апеллирую к линейке. Ильку учили складывать числа с помощью линейки, поэтому эти рассуждения ему понятны. Еще раз, представляя линейку объясняю про 4 и 5.

— А если чисел три?
— А тогда оно тоже в некотором смысле посередине между всеми ними.

Среднее арифметическое
Часть 3. Свойства

— Давай попробуем взять побольше чисел. 1, 1, 1
— 1
— Верно. А если 1, 1, 1, 1
— 1
— Вот видишь, если все числа одинаковые, то и среднее арифметическое равно им.

Я специально перешла на 1, чтобы было легко делить.

— 4, 4, 4
— 4
— 3, 4, 5
— (считает) 4
— 2, 5, 5
— (считает) 4
— Вот так и с твоими оценками — сложили все, поделили на их кодичество, получили средний балл. Но как ты видишь, средний балл 4 может быть при самых разных наборах оценок.
— И 4, 4, 4, и 3, 4, 5, и 2, 5, 5
— А если четыре оценки?

Я вижу, что Илька понял, как считают средний балл, но его 4,66 ему ничего пока не говорит. Иду и придумываю продолжение, пока он погружен в придумывание разных наборов из четырех оценок.

Среднее арифметическое
Часть 4. Достигаем 5

— Давай теперь другой тип задачки. Вот у кого-то есть оценки 3 и 4. Среднее 3 с половиной. Какую оценку еще надо получить, чтобы среднее было 4?
— 4 (проверяет), а нет 5.

Второй раз радуюсь, что взяла для примеров такие числа. Первый — легко было шагнуть к оценкам. Тут — всё легко перебирается.

— Пусть у тебя среднее 5. Какими могут быть оценки?
— Все 5

— Хорошо, теперь допустим у тебя 4. Какую оценку надо получить, чтобы среднее было 5?
— 6
— Такой оценки нет. Если ты получишь 5, то будет 4 с половиной. Потом с каждой следующей пятеркой будет все ближе к 5, но так ее никогда и не достигнет, потому что не все пятерки.

— Теперь вернемся к твоему среднему баллу. Все твои оценки сложили, поделили на их количество, получили 4,66 — это такое число между 4 и 5. И теперь сколько бы пятерок ты не получил, твой средний балл будет расти, но не достигнет 5. Ну и не важно. Оценки вообще не очень важны. А средний балл, как мы видели может быть одним и тем же в самых разных ситуациях.

Четыре задачки с конструктивами и доказательствами

Илька скучал. А мне было что ему предложить.

— Смотри, вот такой прямоугольник из двух клеток (1×2) будем называть доминошкой. (Рисую). Понятно?
— Понятно.

Задача 1
Есть доска 4×4, можно ли ее разрезать на доминошки?

Рисую ему квадрат 4×4. Он радостно разрезает. Очень доволен.

Задача 2
Та же доска, но без угловой клетки. Можно ли теперь разрезать на доминошки?

Пробует — не получается. Пробует еще два раза, не получается, делает вывод, что невозможно. Предполагает, что нельзя, но я спрашиваю, почему.

Подсказка через некоторое время:
— Вот ты начал, до конца не дошел, а как-то уже понял, что дальше нельзя. Как?

Через некоторое время Илька придумывает и четко озвучивает идею четности.