Игра в бревнышки
В трех кучках лежат бревнышки: 11, 7, 6. В любую кучку можно добавить ровно столько, сколько там уже есть, взяв их из другой кучки, причем именно из одной. Надо уравнять, сделать 8, 8, 8.
Мы взяли небольшие досточки и стали играть в них вживую.
Решает Илюха
Илюха делает ход, смотрит, что получилось, думает про следующий ход.
11 7 6
5 7 12
10 2 12
8 4 12 (о, я это заранее просчитал, перед прошлым ходом!)
8 8 8
Илюхе понадобилось всего 4 хода.
Тут подходит дедушка, интересуется. Я прошу Илюху объяснить дедушке правила. Для меня очень важно именно это: чтобы он научился сам их объяснять. Это позволит ему снова и снова возвращаться к этой игре в разных компаниях.
Решает дедушка
Дедушка сначала долго продумывает решение в уме, потом говорит, что ему нужен листок бумаги. Я предлагаю не пытаться решить задачу сразу целиком, а делать ходы с реальными дощечками, и думать, куда дальше пойти.
11 7 6
11 1 12
11 2 11
(— ой, неправильно, надо было вначале по-другому.
— продолжай, давай найдем решение)
9 4 11
9 8 7
2 8 14
4 8 12
8 8 8
Илюха доволен, что решил за меньшее число ходов.
Решает мама
Я знала, что можно за три хода. Дедушка усомнился. Я придумала как, не буду писать, сами придумаете.
Решает бабушка
Я ушла, а Илька задал задачу бабушке. Бабушка тоже за три хода решила. Но мне тут важно, что Илька сам рассказал условие, отследил решение, а потом еще бабушке свое продемонстрировал.
Ремарки
1) Если количества бревнышек в каждой кучке делятся на какое-то число, то так и дальше будут делиться. Это пригодится в разговоре о наибольшем общем делителе.
2) Я записала партию дедушки, чтобы не забыть для поста. Внимание Ильки я не обращала на это, но он видел, как такую игру можно записывать.
3) Еще это упражнение на устный счет в пределах 20.
4) Задачка из «Математической смекалки» Кордемского. Там про спички, но у нас были досточки под рукой.
В трех кучках лежат бревнышки: 11, 7, 6. В любую кучку можно добавить ровно столько, сколько там уже есть, взяв их из другой кучки, причем именно из одной. Надо уравнять, сделать 8, 8, 8.
Мы взяли небольшие досточки и стали играть в них вживую.
Решает Илюха
Илюха делает ход, смотрит, что получилось, думает про следующий ход.
11 7 6
5 7 12
10 2 12
8 4 12 (о, я это заранее просчитал, перед прошлым ходом!)
8 8 8
Илюхе понадобилось всего 4 хода.
Тут подходит дедушка, интересуется. Я прошу Илюху объяснить дедушке правила. Для меня очень важно именно это: чтобы он научился сам их объяснять. Это позволит ему снова и снова возвращаться к этой игре в разных компаниях.
Решает дедушка
Дедушка сначала долго продумывает решение в уме, потом говорит, что ему нужен листок бумаги. Я предлагаю не пытаться решить задачу сразу целиком, а делать ходы с реальными дощечками, и думать, куда дальше пойти.
11 7 6
11 1 12
11 2 11
(— ой, неправильно, надо было вначале по-другому.
— продолжай, давай найдем решение)
9 4 11
9 8 7
2 8 14
4 8 12
8 8 8
Илюха доволен, что решил за меньшее число ходов.
Решает мама
Я знала, что можно за три хода. Дедушка усомнился. Я придумала как, не буду писать, сами придумаете.
Решает бабушка
Я ушла, а Илька задал задачу бабушке. Бабушка тоже за три хода решила. Но мне тут важно, что Илька сам рассказал условие, отследил решение, а потом еще бабушке свое продемонстрировал.
Ремарки
1) Если количества бревнышек в каждой кучке делятся на какое-то число, то так и дальше будут делиться. Это пригодится в разговоре о наибольшем общем делителе.
2) Я записала партию дедушки, чтобы не забыть для поста. Внимание Ильки я не обращала на это, но он видел, как такую игру можно записывать.
3) Еще это упражнение на устный счет в пределах 20.
4) Задачка из «Математической смекалки» Кордемского. Там про спички, но у нас были досточки под рукой.
Умножение на 11
Часть 4
— Илька, а сколько будет 57•11?
— (молчит)
— Тут есть подвох.
— Я знаю, поэтому и не отвечаю.
— Ты попробуй как-нибудь, а я тебе объясню.
— 627
— А как ты решал?
— А я подумал, что этот лишний десяток надо куда-то деть, наверно, к следующему разряду добавить.
А я-то думала, придется объяснять.
Часть 4
— Илька, а сколько будет 57•11?
— (молчит)
— Тут есть подвох.
— Я знаю, поэтому и не отвечаю.
— Ты попробуй как-нибудь, а я тебе объясню.
— 627
— А как ты решал?
— А я подумал, что этот лишний десяток надо куда-то деть, наверно, к следующему разряду добавить.
А я-то думала, придется объяснять.
Продолжаем играть в бревнышки
Собрались придумать свою аналогичную задачу и придумали. Правила те же, кучек 4: 2, 3, 5, 6. Надо сделать 4, 4, 4, 4
Решение придумайте сами. И аналогичные задачи попробуйте придумать, кидайте их в комментарии.
Собрались придумать свою аналогичную задачу и придумали. Правила те же, кучек 4: 2, 3, 5, 6. Надо сделать 4, 4, 4, 4
Решение придумайте сами. И аналогичные задачи попробуйте придумать, кидайте их в комментарии.
Как мы задачу придумывали
7, 7, 7, 7
Вытащили все дощечки, что у нас есть, разложили по четырем кучкам. Сначала по одинаковым (везде по 7). Потом переложили произвольным образом, начали решать.
Тут я поняла, что решения не будет. Осталось объяснить это Илюхе. Я начала: «В самом конце у нас будет момент, когда две кучки уже собраны, и остались только две..» Вижу, теряет интерес, не понятно.
Захожу по-другому: «Смотри, всего две кучки: 1 и 13, надо в каждой по 7 сделать». Пробует, играет, на стадии 6 и 8 обнаруживает тупик. Тут и я: «Если у нас уже в обеих кучках четное, то нечетное мы никак не получим».
И с четырьмя кучками тот же тупик: когда осталось только две собрать, приходим к задаче про две кучки.
6, 6, 6, 6
Убрали 4 досточки. Пусть теперь нам нужны четные числа.
Взяли какие-то исходные кучки. В какой-то момент пришли к позиции 6, 6, 4, 8. Илька сам перекладывает, тупик видит.
Тут та же проблема: как только две кучки делятся обе на 4, мы из них 6 не сделаем, оно на 4 не делится.
Тогда мы взяли 4, 4, 4, 4 и придумали задачу. И решили ее. А можно брать 8, 8, 8, 8, но у нас досточек маловато.
Советы родителям
Результат «Я придумал свою задачу» очень мотивирует. Илька побежал рассказывать бабушке и дедушке.
Но лучше начать с двух кучек и внимательно изучить всё, что в них происходит, а потом уже увеличивать количество. А не как я.
7, 7, 7, 7
Вытащили все дощечки, что у нас есть, разложили по четырем кучкам. Сначала по одинаковым (везде по 7). Потом переложили произвольным образом, начали решать.
Тут я поняла, что решения не будет. Осталось объяснить это Илюхе. Я начала: «В самом конце у нас будет момент, когда две кучки уже собраны, и остались только две..» Вижу, теряет интерес, не понятно.
Захожу по-другому: «Смотри, всего две кучки: 1 и 13, надо в каждой по 7 сделать». Пробует, играет, на стадии 6 и 8 обнаруживает тупик. Тут и я: «Если у нас уже в обеих кучках четное, то нечетное мы никак не получим».
И с четырьмя кучками тот же тупик: когда осталось только две собрать, приходим к задаче про две кучки.
6, 6, 6, 6
Убрали 4 досточки. Пусть теперь нам нужны четные числа.
Взяли какие-то исходные кучки. В какой-то момент пришли к позиции 6, 6, 4, 8. Илька сам перекладывает, тупик видит.
Тут та же проблема: как только две кучки делятся обе на 4, мы из них 6 не сделаем, оно на 4 не делится.
Тогда мы взяли 4, 4, 4, 4 и придумали задачу. И решили ее. А можно брать 8, 8, 8, 8, но у нас досточек маловато.
Советы родителям
Результат «Я придумал свою задачу» очень мотивирует. Илька побежал рассказывать бабушке и дедушке.
Но лучше начать с двух кучек и внимательно изучить всё, что в них происходит, а потом уже увеличивать количество. А не как я.
Завела себе Яндекс.Дзен
Буду писать полезные приемы, методики и задачи для учителей.
Конкретно в эту задачу можно играть и с младшеклассниками, взяв, например, положительные числа или вообще одинаковые.
https://zen.yandex.ru/media/id/5d2af8e495aa9f00b1bec6ba/nestandartnye-zadachi-na-uroke-5d3c899097216d00acd50708
Буду писать полезные приемы, методики и задачи для учителей.
Конкретно в эту задачу можно играть и с младшеклассниками, взяв, например, положительные числа или вообще одинаковые.
https://zen.yandex.ru/media/id/5d2af8e495aa9f00b1bec6ba/nestandartnye-zadachi-na-uroke-5d3c899097216d00acd50708
Среднее арифметическое
Часть 1. 66+44
Несколько месяцев назад по дороге из школы:
— Мам, а знаешь какой у меня средний балл? 4,66
— Да? И что это означает?
— Осталось 44 шага до пятерки.
Ох, у меня глаза разбегаются — так много направлений, куда можно вести разговор дальше. Начнем с простого.
— Сколько будет 66+44?
— (уверенно) 100
— А сколько будет 66+34?
— (считает, думает) Странно, должно быть другое, а тоже 100 получается.
Всё, дальше объяснять не надо, полезнее оставить самого с этим сомнением. Да и до этого объяснять не надо — только вопросы задавать.
Часть 1. 66+44
Несколько месяцев назад по дороге из школы:
— Мам, а знаешь какой у меня средний балл? 4,66
— Да? И что это означает?
— Осталось 44 шага до пятерки.
Ох, у меня глаза разбегаются — так много направлений, куда можно вести разговор дальше. Начнем с простого.
— Сколько будет 66+44?
— (уверенно) 100
— А сколько будет 66+34?
— (считает, думает) Странно, должно быть другое, а тоже 100 получается.
Всё, дальше объяснять не надо, полезнее оставить самого с этим сомнением. Да и до этого объяснять не надо — только вопросы задавать.
Среднее арифметическое
Часть 2. Определение
— А ты знаешь, что если у тебя средний балл 4,66, то среднего балла 5 тебе уже не достичь?
— Это почему это?
— Я могу объяснить, но это сложно, ты готов?
В этот момент я еще не знала, как буду объяснять.
— Давай сначала обсудим, что такое среднее арифметическое. Слышал про такое?
— Нет
— Смотри, берем несколько чисел, сначала их все складываем, а потом сумму делим на их количество.
С делением всё сложно. Они на тот момент его совсем еще не проходили. Но в этот момент я вдруг понимаю, как действовать дальше.
— Давай я буду называть тебе несколько чисел, а ты будешь называть их среднее арифметическое.
— (с сомнением) Давай.
— 4 и 4.
— (честно считает) 4. (Тут уже полно энтузиазма, потому что легко)
— 5 и 3.
— 4
— 4 и 5.
— Не делится.
— Это нацело не делится. А будет 4 с половиной. Если мы сложим две четверки и две половинки, как раз 9 получится.
— Тут мы подошли к тому, почему оно так называется. Среднее — это означает, что оно посередине. Если чисел всего два, то это число ровно посередине.
Тут я апеллирую к линейке. Ильку учили складывать числа с помощью линейки, поэтому эти рассуждения ему понятны. Еще раз, представляя линейку объясняю про 4 и 5.
— А если чисел три?
— А тогда оно тоже в некотором смысле посередине между всеми ними.
Часть 2. Определение
— А ты знаешь, что если у тебя средний балл 4,66, то среднего балла 5 тебе уже не достичь?
— Это почему это?
— Я могу объяснить, но это сложно, ты готов?
В этот момент я еще не знала, как буду объяснять.
— Давай сначала обсудим, что такое среднее арифметическое. Слышал про такое?
— Нет
— Смотри, берем несколько чисел, сначала их все складываем, а потом сумму делим на их количество.
С делением всё сложно. Они на тот момент его совсем еще не проходили. Но в этот момент я вдруг понимаю, как действовать дальше.
— Давай я буду называть тебе несколько чисел, а ты будешь называть их среднее арифметическое.
— (с сомнением) Давай.
— 4 и 4.
— (честно считает) 4. (Тут уже полно энтузиазма, потому что легко)
— 5 и 3.
— 4
— 4 и 5.
— Не делится.
— Это нацело не делится. А будет 4 с половиной. Если мы сложим две четверки и две половинки, как раз 9 получится.
— Тут мы подошли к тому, почему оно так называется. Среднее — это означает, что оно посередине. Если чисел всего два, то это число ровно посередине.
Тут я апеллирую к линейке. Ильку учили складывать числа с помощью линейки, поэтому эти рассуждения ему понятны. Еще раз, представляя линейку объясняю про 4 и 5.
— А если чисел три?
— А тогда оно тоже в некотором смысле посередине между всеми ними.
Среднее арифметическое
Часть 3. Свойства
— Давай попробуем взять побольше чисел. 1, 1, 1
— 1
— Верно. А если 1, 1, 1, 1
— 1
— Вот видишь, если все числа одинаковые, то и среднее арифметическое равно им.
Я специально перешла на 1, чтобы было легко делить.
— 4, 4, 4
— 4
— 3, 4, 5
— (считает) 4
— 2, 5, 5
— (считает) 4
— Вот так и с твоими оценками — сложили все, поделили на их кодичество, получили средний балл. Но как ты видишь, средний балл 4 может быть при самых разных наборах оценок.
— И 4, 4, 4, и 3, 4, 5, и 2, 5, 5
— А если четыре оценки?
Я вижу, что Илька понял, как считают средний балл, но его 4,66 ему ничего пока не говорит. Иду и придумываю продолжение, пока он погружен в придумывание разных наборов из четырех оценок.
Часть 3. Свойства
— Давай попробуем взять побольше чисел. 1, 1, 1
— 1
— Верно. А если 1, 1, 1, 1
— 1
— Вот видишь, если все числа одинаковые, то и среднее арифметическое равно им.
Я специально перешла на 1, чтобы было легко делить.
— 4, 4, 4
— 4
— 3, 4, 5
— (считает) 4
— 2, 5, 5
— (считает) 4
— Вот так и с твоими оценками — сложили все, поделили на их кодичество, получили средний балл. Но как ты видишь, средний балл 4 может быть при самых разных наборах оценок.
— И 4, 4, 4, и 3, 4, 5, и 2, 5, 5
— А если четыре оценки?
Я вижу, что Илька понял, как считают средний балл, но его 4,66 ему ничего пока не говорит. Иду и придумываю продолжение, пока он погружен в придумывание разных наборов из четырех оценок.
Среднее арифметическое
Часть 4. Достигаем 5
— Давай теперь другой тип задачки. Вот у кого-то есть оценки 3 и 4. Среднее 3 с половиной. Какую оценку еще надо получить, чтобы среднее было 4?
— 4 (проверяет), а нет 5.
Второй раз радуюсь, что взяла для примеров такие числа. Первый — легко было шагнуть к оценкам. Тут — всё легко перебирается.
— Пусть у тебя среднее 5. Какими могут быть оценки?
— Все 5
— Хорошо, теперь допустим у тебя 4. Какую оценку надо получить, чтобы среднее было 5?
— 6
— Такой оценки нет. Если ты получишь 5, то будет 4 с половиной. Потом с каждой следующей пятеркой будет все ближе к 5, но так ее никогда и не достигнет, потому что не все пятерки.
— Теперь вернемся к твоему среднему баллу. Все твои оценки сложили, поделили на их количество, получили 4,66 — это такое число между 4 и 5. И теперь сколько бы пятерок ты не получил, твой средний балл будет расти, но не достигнет 5. Ну и не важно. Оценки вообще не очень важны. А средний балл, как мы видели может быть одним и тем же в самых разных ситуациях.
Часть 4. Достигаем 5
— Давай теперь другой тип задачки. Вот у кого-то есть оценки 3 и 4. Среднее 3 с половиной. Какую оценку еще надо получить, чтобы среднее было 4?
— 4 (проверяет), а нет 5.
Второй раз радуюсь, что взяла для примеров такие числа. Первый — легко было шагнуть к оценкам. Тут — всё легко перебирается.
— Пусть у тебя среднее 5. Какими могут быть оценки?
— Все 5
— Хорошо, теперь допустим у тебя 4. Какую оценку надо получить, чтобы среднее было 5?
— 6
— Такой оценки нет. Если ты получишь 5, то будет 4 с половиной. Потом с каждой следующей пятеркой будет все ближе к 5, но так ее никогда и не достигнет, потому что не все пятерки.
— Теперь вернемся к твоему среднему баллу. Все твои оценки сложили, поделили на их количество, получили 4,66 — это такое число между 4 и 5. И теперь сколько бы пятерок ты не получил, твой средний балл будет расти, но не достигнет 5. Ну и не важно. Оценки вообще не очень важны. А средний балл, как мы видели может быть одним и тем же в самых разных ситуациях.
Четыре задачки с конструктивами и доказательствами
Илька скучал. А мне было что ему предложить.
— Смотри, вот такой прямоугольник из двух клеток (1×2) будем называть доминошкой. (Рисую). Понятно?
— Понятно.
Задача 1
Есть доска 4×4, можно ли ее разрезать на доминошки?
Рисую ему квадрат 4×4. Он радостно разрезает. Очень доволен.
Задача 2
Та же доска, но без угловой клетки. Можно ли теперь разрезать на доминошки?
Пробует — не получается. Пробует еще два раза, не получается, делает вывод, что невозможно. Предполагает, что нельзя, но я спрашиваю, почему.
Подсказка через некоторое время:
— Вот ты начал, до конца не дошел, а как-то уже понял, что дальше нельзя. Как?
Через некоторое время Илька придумывает и четко озвучивает идею четности.
Илька скучал. А мне было что ему предложить.
— Смотри, вот такой прямоугольник из двух клеток (1×2) будем называть доминошкой. (Рисую). Понятно?
— Понятно.
Задача 1
Есть доска 4×4, можно ли ее разрезать на доминошки?
Рисую ему квадрат 4×4. Он радостно разрезает. Очень доволен.
Задача 2
Та же доска, но без угловой клетки. Можно ли теперь разрезать на доминошки?
Пробует — не получается. Пробует еще два раза, не получается, делает вывод, что невозможно. Предполагает, что нельзя, но я спрашиваю, почему.
Подсказка через некоторое время:
— Вот ты начал, до конца не дошел, а как-то уже понял, что дальше нельзя. Как?
Через некоторое время Илька придумывает и четко озвучивает идею четности.
Четыре задачки с конструктивами и доказательствами
Задача 3
Теперь вырезали две угловые клетки, прилегающие к одной стороне.
Илька легко разрезает и счастлив. Очень хорошо, что каждая вторая задача легкая. Попробовал — тут же получилось.
Задача 4
Снова вырезаны две угловые клетки. На этот раз противоположные. Можно ли разрезать?
Илька знатно помучился. Подсказка: раскрась доску в шахматном порядке.
После подсказки он не сразу, но решил. Раскраснелся, весь лист изрисовал, но вышел с победой.
Задача 3
Теперь вырезали две угловые клетки, прилегающие к одной стороне.
Илька легко разрезает и счастлив. Очень хорошо, что каждая вторая задача легкая. Попробовал — тут же получилось.
Задача 4
Снова вырезаны две угловые клетки. На этот раз противоположные. Можно ли разрезать?
Илька знатно помучился. Подсказка: раскрась доску в шахматном порядке.
После подсказки он не сразу, но решил. Раскраснелся, весь лист изрисовал, но вышел с победой.
Моя статья на Дзене про эту задачу и ее продолжение:
https://zen.yandex.ru/media/id/5d2af8e495aa9f00b1bec6ba/razrezaem-shahmatnuiu-dosku-na-dominoshki-5d40606a1d656a1fe2ea05d2
https://zen.yandex.ru/media/id/5d2af8e495aa9f00b1bec6ba/razrezaem-shahmatnuiu-dosku-na-dominoshki-5d40606a1d656a1fe2ea05d2
Яндекс Дзен
Разрезаем шахматную доску на доминошки
Разберем подробно классическую олимпиадную задачу и соседние сюжеты. 5–6-м классе мы обычно ничего не доказываем на уроках, а если и доказываем, то обычно не спрашиваем. В 7-м классе мы же начинаем требовать строгие доказательства, например, геометрические.…
Вот какую штуку я предлагаю: вы пишете в своем канале пост про какой-то из моих каналов. Всё, что угодно, вот прямо то, что думаете. Ссылочку на пост кидаете в комментарии канала, про который вы написали. А я в этом канале пишу всё, что думаю про ваш канал.
Этакое вп без согласований текстов.
Про некоторые каналы я все же не готова написать у себя, поэтому, если сомневаетесь, предполагаете что ваш канал может быть таким, спросите в личке @natnetint
Список моих каналов, в которых я готова в это поиграть:
@geometrykanal
@childrenmath
@mylunchbox
@natanet
Мои критерии успеха заранее:
Поучаствует хотя бы 15 каналов. Ко мне придут суммарно хотя бы 300 подписчиков.
Этакое вп без согласований текстов.
Про некоторые каналы я все же не готова написать у себя, поэтому, если сомневаетесь, предполагаете что ваш канал может быть таким, спросите в личке @natnetint
Список моих каналов, в которых я готова в это поиграть:
@geometrykanal
@childrenmath
@mylunchbox
@natanet
Мои критерии успеха заранее:
Поучаствует хотя бы 15 каналов. Ко мне придут суммарно хотя бы 300 подписчиков.
#расскажи
Первый такой пост — канал @skazoshnayavyshivka
Рекомендую тем, кто любит вышивать, или тем, кто ищет подарок рукодельнице. В канале каждый день появляется ссылка на рукодельный набор или вышивку.
Первый такой пост — канал @skazoshnayavyshivka
Рекомендую тем, кто любит вышивать, или тем, кто ищет подарок рукодельнице. В канале каждый день появляется ссылка на рукодельный набор или вышивку.
Таблица умножения
Договорились, что не учим таблицу умножения, а я иногда спрашиваю случайные примеры на умножение — так все и выучится.
Когда я внезапно спрашиваю, Иля тянет время, говорит, что я спросила невовремя, а сам при этом в голове быстро считает.
Считает он хорошо. На 2 он умножает сложением. На 4 — умножает на 2 и еще раз на 2. На 9 — умножает на 10 и вычитает само число.
Когда я спрашиваю, иногда он рассуждает вслух. И тогда я вижу, что сначала он прикидывает способ, как будет проще посчитать. Это долго, от зубов таблица не отлетает, что-то он выучил, а что-то вовсе нет. Но это умение проанализировать ситуацию, выбрать удобный способ, построить в голове модель задачи — это сослужит добрую службу.
На уроках пока просто везет — спрашивают те примеры на умножение, которые он уже запомнил.
Договорились, что не учим таблицу умножения, а я иногда спрашиваю случайные примеры на умножение — так все и выучится.
Когда я внезапно спрашиваю, Иля тянет время, говорит, что я спросила невовремя, а сам при этом в голове быстро считает.
Считает он хорошо. На 2 он умножает сложением. На 4 — умножает на 2 и еще раз на 2. На 9 — умножает на 10 и вычитает само число.
Когда я спрашиваю, иногда он рассуждает вслух. И тогда я вижу, что сначала он прикидывает способ, как будет проще посчитать. Это долго, от зубов таблица не отлетает, что-то он выучил, а что-то вовсе нет. Но это умение проанализировать ситуацию, выбрать удобный способ, построить в голове модель задачи — это сослужит добрую службу.
На уроках пока просто везет — спрашивают те примеры на умножение, которые он уже запомнил.
«Не» слитно или отдельно
— Я хотел сказать, что вирусы не живые и не неживые. Но если я говорю, что они не живые, то как отличить: они не относятся к живым или относятся к неживым?
— На слух никак. А письменно одни раздельно пишутся, а другие слитно.
— Я хотел сказать, что вирусы не живые и не неживые. Но если я говорю, что они не живые, то как отличить: они не относятся к живым или относятся к неживым?
— На слух никак. А письменно одни раздельно пишутся, а другие слитно.