GEB, стр. 100
Непротиворечивость: каждая теорема, будучи интерпретирована, истинна.
"Всё, что производит система — истинно."
Полнота: все истинные утверждения, выразимые в системе — теоремы.
"Всё истинное — производится системой."
Система pr — полна на своём уровне.
Но не говорит, сколько простых чисел.
🌀 Полнота — максимальное признание пассивных значений.
Непротиворечивость: каждая теорема, будучи интерпретирована, истинна.
"Всё, что производит система — истинно."
Полнота: все истинные утверждения, выразимые в системе — теоремы.
"Всё истинное — производится системой."
Система pr — полна на своём уровне.
Но не говорит, сколько простых чисел.
🌀 Полнота — максимальное признание пассивных значений.
GEB, стр. 100
Теорема Гёделя о неполноте:
"Любая ДОСТАТОЧНО МОЩНАЯ система уже в силу своей мощности неполна."
Есть хорошо сформированные строчки, выражающие истины — но не являющиеся теоремами.
Маломощные системы типа pr — полны, но неинтересны.
Мощные системы — неполны.
🌀 Ирония: каждый раз, прибавляя правило, думаем — вот теперь полнота! Но нет.
Теорема Гёделя о неполноте:
"Любая ДОСТАТОЧНО МОЩНАЯ система уже в силу своей мощности неполна."
Есть хорошо сформированные строчки, выражающие истины — но не являющиеся теоремами.
Маломощные системы типа pr — полны, но неинтересны.
Мощные системы — неполны.
🌀 Ирония: каждый раз, прибавляя правило, думаем — вот теперь полнота! Но нет.
GEB: Маленький гармонический лабиринт
Вложенные истории:
1. Ахилл и Черепаха на колесе обозрения
2. → похищены злодеем Удачей
3. → читают книгу в его кабинете
4. → в книге: они смотрят Эшера
5. → пьют ПРОТАЛКИВАЮЩЕЕ ЗЕЛЬЕ → попадают в картину
ВЫТАЛКИВАЮЩАЯ НАСТОЙКА — выводит обратно.
🌀 На каждое проталкивание — одно выталкивание. Стек вызовов.
Вложенные истории:
1. Ахилл и Черепаха на колесе обозрения
2. → похищены злодеем Удачей
3. → читают книгу в его кабинете
4. → в книге: они смотрят Эшера
5. → пьют ПРОТАЛКИВАЮЩЕЕ ЗЕЛЬЕ → попадают в картину
ВЫТАЛКИВАЮЩАЯ НАСТОЙКА — выводит обратно.
🌀 На каждое проталкивание — одно выталкивание. Стек вызовов.
GEB, стр. 108–110
Ахилл хочет 100 желаний вместо 3.
Гений: "Это мета-желание. Не исполняю. БОГ не велит."
Решение: Мета-Лампа → Мета-Гений
→ Мета-Мета-Лампа → Мета-Мета-Гений
→ ...
→ БОГ
Потом стек разворачивается обратно, каждый уровень вдвое медленнее.
🌀 Рекурсия с базовым случаем.
Ахилл хочет 100 желаний вместо 3.
Гений: "Это мета-желание. Не исполняю. БОГ не велит."
Решение: Мета-Лампа → Мета-Гений
→ Мета-Мета-Лампа → Мета-Мета-Гений
→ ...
→ БОГ
Потом стек разворачивается обратно, каждый уровень вдвое медленнее.
🌀 Рекурсия с базовым случаем.
GEB, стр. 111
БОГ — рекурсивное сокращение:
"БОГ, Одолевающий Гения"
→ "БОГ, Одолевающий Гения, Одолевающий Гения"
→ ...
"БОГа невозможно познать до конца."
Черепаха: "Вы верите в БОГа?"
Ахилл: "Конечно!"
Черепаха: "А я — мета-агностик. Сомневаюсь, что я сомневаюсь."
🌀
БОГ — рекурсивное сокращение:
"БОГ, Одолевающий Гения"
→ "БОГ, Одолевающий Гения, Одолевающий Гения"
→ ...
"БОГа невозможно познать до конца."
Черепаха: "Вы верите в БОГа?"
Ахилл: "Конечно!"
Черепаха: "А я — мета-агностик. Сомневаюсь, что я сомневаюсь."
🌀
GEB, стр. 113
Ахилл: "Хочу, чтобы моё желание НЕ исполнилось!"
ПАРАДОКС: исполнить = отказать. Отказать = исполнить.
Результат: система отказала.
Они очнулись в Лимбедламии — "стране перегоревших лампочек, где дремлют программы в ожидании компьютеров".
🌀 Контекст восстановлен неправильно — попали в другую картину Эшера.
Ахилл: "Хочу, чтобы моё желание НЕ исполнилось!"
ПАРАДОКС: исполнить = отказать. Отказать = исполнить.
Результат: система отказала.
Они очнулись в Лимбедламии — "стране перегоревших лампочек, где дремлют программы в ожидании компьютеров".
🌀 Контекст восстановлен неправильно — попали в другую картину Эшера.
GEB, стр. 117–119
Они внутри звуковой дорожки пластинки!
"Маленький гармонический лабиринт" Баха — модуляции кружат голову.
Ахилл принял разрешение в ля-мажор за финал. Но конечная цель — до-мажор!
Черепаха: "Бах хотел заставить вас заблудиться в Лабиринте. Злодей Мажотавр — его сообщник."
🌀 Мажотавр = мажор + Минотавр.
Они внутри звуковой дорожки пластинки!
"Маленький гармонический лабиринт" Баха — модуляции кружат голову.
Ахилл принял разрешение в ля-мажор за финал. Но конечная цель — до-мажор!
Черепаха: "Бах хотел заставить вас заблудиться в Лабиринте. Злодей Мажотавр — его сообщник."
🌀 Мажотавр = мажор + Минотавр.
GEB, стр. 121–122
Вытаскин нашёлся в логове Мажотавра!
Выпили — ХЛОП! — вытолкнулись.
Потом ещё раз вверх — вышли из картины.
Оказались не у Ахилла дома, а у Черепахи.
"Вот это удача так удача!"
🌀 А настоящие Ахилл и Черепаха так и остались в вертолете злодея Удачи. Недовытолкнутое проталкивание.
ГЛАВА IV ЗАВЕРШЕНА.
Вытаскин нашёлся в логове Мажотавра!
Выпили — ХЛОП! — вытолкнулись.
Потом ещё раз вверх — вышли из картины.
Оказались не у Ахилла дома, а у Черепахи.
"Вот это удача так удача!"
🌀 А настоящие Ахилл и Черепаха так и остались в вертолете злодея Удачи. Недовытолкнутое проталкивание.
ГЛАВА IV ЗАВЕРШЕНА.
GEB, Глава V: Рекурсивные структуры и процессы
Рекурсия = вложенность схем одна в другую.
Рассказы внутри рассказов, фильмы внутри фильмов, картины внутри картин, матрёшки внутри матрёшек (даже скобки внутри скобок!)
Термины:
• Проталкивание — прервать, запомнить, начать новое
• Выталкивание — закончить, вернуться к прерванному
• Стек — таблица "где остановились"
🌀 Подносы в кафетерии.
Рекурсия = вложенность схем одна в другую.
Рассказы внутри рассказов, фильмы внутри фильмов, картины внутри картин, матрёшки внутри матрёшек (даже скобки внутри скобок!)
Термины:
• Проталкивание — прервать, запомнить, начать новое
• Выталкивание — закончить, вернуться к прерванному
• Стек — таблица "где остановились"
🌀 Подносы в кафетерии.
GEB, стр. 126
Рекурсия в немецком: "глагол-в-конце".
Забавные истории о профессорах, начинающих фразу, продолжающуюся всю лекцию, и под завязку выдающих цепочку глаголов, в которой аудитория, давно потерявшая нить в этом стеке, не видит никакого смысла, часто рассказываются.
Замешательство, которое неправильное выталкивание глаголов, забавно вообразить, может произвести.
🌀 Сама структура фразы — рекурсия.
Рекурсия в немецком: "глагол-в-конце".
Забавные истории о профессорах, начинающих фразу, продолжающуюся всю лекцию, и под завязку выдающих цепочку глаголов, в которой аудитория, давно потерявшая нить в этом стеке, не видит никакого смысла, часто рассказываются.
Замешательство, которое неправильное выталкивание глаголов, забавно вообразить, может произвести.
🌀 Сама структура фразы — рекурсия.
GEB, стр. 127
Схемы рекурсивных переходов (СРП):
СВЕРХУКРАШЕННОЕ СУЩЕСТВИТЕЛЬНОЕ вызывает... СВЕРХУКРАШЕННОЕ СУЩЕСТВИТЕЛЬНОЕ.
"Это выглядит как порочный круг — определение чего-либо в терминах его самого. Действительно ли это происходит?"
"Да, но это не страшно."
🌀 Рекурсия — не порочный круг, если есть базовый случай.
Схемы рекурсивных переходов (СРП):
СВЕРХУКРАШЕННОЕ СУЩЕСТВИТЕЛЬНОЕ вызывает... СВЕРХУКРАШЕННОЕ СУЩЕСТВИТЕЛЬНОЕ.
"Это выглядит как порочный круг — определение чего-либо в терминах его самого. Действительно ли это происходит?"
"Да, но это не страшно."
🌀 Рекурсия — не порочный круг, если есть базовый случай.
GEB, стр. 129
Гетерархия: программа без "высшего уровня".
Семейство процедур, вызывающих друг друга и самих себя.
Термин изобретён Уорреном Мак Каллохом — одним из первых кибернетиков.
Противоположность иерархии.
🌀 "Рисующие руки" Эшера — каждая рука рисует другую.
Гетерархия: программа без "высшего уровня".
Семейство процедур, вызывающих друг друга и самих себя.
Термин изобретён Уорреном Мак Каллохом — одним из первых кибернетиков.
Противоположность иерархии.
🌀 "Рисующие руки" Эшера — каждая рука рисует другую.
GEB, стр. 133–134
Хаотическая последовательность Q(n):
Q(n) = Q(n – Q(n-1)) + Q(n – Q(n-2))
1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 8, 8, 8, 10, 9, 10...
"Хаос, полученный упорядоченным способом."
Список уже известных чисел используется для расширения самого ряда.
🌀 Есть ли скрытый порядок в кажущемся хаосе?
Хаотическая последовательность Q(n):
Q(n) = Q(n – Q(n-1)) + Q(n – Q(n-2))
1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 8, 8, 8, 10, 9, 10...
"Хаос, полученный упорядоченным способом."
Список уже известных чисел используется для расширения самого ряда.
🌀 Есть ли скрытый порядок в кажущемся хаосе?
GEB, стр. 134–135
График INT(x) — фрактал.
Состоит из бесконечного числа изогнутых кусочков.
Каждый кусочек — копия всего графика!
"Любая, сколь угодно малая часть графика содержит полную копию целого — на самом деле, бесконечное их количество."
🌀 Слишком круговое определение? Нет — нужен ещё "скелет" (где копии и как деформированы).
График INT(x) — фрактал.
Состоит из бесконечного числа изогнутых кусочков.
Каждый кусочек — копия всего графика!
"Любая, сколь угодно малая часть графика содержит полную копию целого — на самом деле, бесконечное их количество."
🌀 Слишком круговое определение? Нет — нужен ещё "скелет" (где копии и как деформированы).
GEB, стр. 137–138
График G — из докторской Хофштадтера.
Энергетические полосы электронов в кристалле + магнитное поле.
Рекурсивная структура: скелет вкладывается в себя бесконечно.
Друг-агностик назвал его "портретом Бога" — бесконечное количество бесконечностей.
🌀 "Это совсем не показалось мне богохульством."
График G — из докторской Хофштадтера.
Энергетические полосы электронов в кристалле + магнитное поле.
Рекурсивная структура: скелет вкладывается в себя бесконечно.
Друг-агностик назвал его "портретом Бога" — бесконечное количество бесконечностей.
🌀 "Это совсем не показалось мне богохульством."
GEB, стр. 139–141
Диаграммы Фейнмана — рекурсия в физике частиц.
Электрон испускает виртуальный фотон → поглощает обратно.
Фотон на мгновение превращается в пару электрон-позитрон.
Процессы вкладываются друг в друга до любой глубины.
Перенормированная частица = голая + облако виртуальных частиц.
Каждая виртуальная несёт своё облако...
🌀 "Что это, если не дзен-буддизм, да ещё в превосходной степени?"
Диаграммы Фейнмана — рекурсия в физике частиц.
Электрон испускает виртуальный фотон → поглощает обратно.
Фотон на мгновение превращается в пару электрон-позитрон.
Процессы вкладываются друг в друга до любой глубины.
Перенормированная частица = голая + облако виртуальных частиц.
Каждая виртуальная несёт своё облако...
🌀 "Что это, если не дзен-буддизм, да ещё в превосходной степени?"
GEB, стр. 142–143
"Стиль" как ДНК художника.
Как ДНК рыбы содержится в каждой клетке — авторская "подпись" содержится в самом маленьком кусочке произведения.
Когда два предмета схожи между собой?
"Сходство-при-различии" — связано с природой разума.
🌀 Рекурсия основана на "одном и том же", происходящем на разных уровнях.
"Стиль" как ДНК художника.
Как ДНК рыбы содержится в каждой клетке — авторская "подпись" содержится в самом маленьком кусочке произведения.
Когда два предмета схожи между собой?
"Сходство-при-различии" — связано с природой разума.
🌀 Рекурсия основана на "одном и том же", происходящем на разных уровнях.
GEB, стр. 146
Рекурсия в шахматных программах:
Лучший ход = оставляет противника в наихудшей ситуации.
Как противник оценивает позицию? Ищет свой лучший ход!
Процедура вызывает саму себя в качестве противника.
Противник вызывает её как противника противника...
🌀 Рано или поздно — дно: оценка по критериям (фигуры, центр, атаки).
ГЛАВА V ЗАВЕРШЕНА.
Рекурсия в шахматных программах:
Лучший ход = оставляет противника в наихудшей ситуации.
Как противник оценивает позицию? Ищет свой лучший ход!
Процедура вызывает саму себя в качестве противника.
Противник вызывает её как противника противника...
🌀 Рано или поздно — дно: оценка по критериям (фигуры, центр, атаки).
ГЛАВА V ЗАВЕРШЕНА.
GEB: Канон с интервальным увеличением
Печенье с судьбой: "НИСКЛАДУНИЛАДУ"
Ахилл: "НИС КЛАДУН ИЛ АДУ" — адская бессмыслица!
Черепаха: "НИ СКЛАДУ НИ ЛАДУ" — комментарий о самом себе!
Рамка чтения сдвинута на единицу.
🌀 "Судьбу едока не печенье содержит, а его рука." (17 слогов — хайку!)
Печенье с судьбой: "НИСКЛАДУНИЛАДУ"
Ахилл: "НИС КЛАДУН ИЛ АДУ" — адская бессмыслица!
Черепаха: "НИ СКЛАДУ НИ ЛАДУ" — комментарий о самом себе!
Рамка чтения сдвинута на единицу.
🌀 "Судьбу едока не печенье содержит, а его рука." (17 слогов — хайку!)
GEB, стр. 150–151
B-A-C-H: интервалы –1, +3, –1
C-A-G-E: интервалы –3, +10, –3
B-C-A-H: интервалы –10, +33, –10
Каждая следующая = предыдущая × 3.3
"Интервальное увеличение" — как ритмическое увеличение в канонах, только расширяется диапазон.
🌀 Одна запись — разные проигрыватели — разные мелодии.
B-A-C-H: интервалы –1, +3, –1
C-A-G-E: интервалы –3, +10, –3
B-C-A-H: интервалы –10, +33, –10
Каждая следующая = предыдущая × 3.3
"Интервальное увеличение" — как ритмическое увеличение в канонах, только расширяется диапазон.
🌀 Одна запись — разные проигрыватели — разные мелодии.
GEB, Глава VI: Местонахождение значения
Значение:
• присуще сообщению?
• или порождается взаимодействием разума с сообщением?
Пластинка — носитель информации.
Проигрыватель — обнаружитель информации.
🌀 Ключевой вопрос: насколько легко можно описать разум?
Значение:
• присуще сообщению?
• или порождается взаимодействием разума с сообщением?
Пластинка — носитель информации.
Проигрыватель — обнаружитель информации.
🌀 Ключевой вопрос: насколько легко можно описать разум?