@infinitymath
سخنرانی دکتر خلخالی
امروز ساعت 3تا4 عصر
پژوهشگاه دانشهای بنیادی

اثبات نامتناهی بودن مجموعه اعداد اول با استفاده از توپولوژی
منبع: کتاب اثبات (مارتین ایگنز و گونتر تسیگلر)
@infinitymath

قسمتی از متن پیشگفتار کتاب اثبات (مارتین ایگنز و گونتر تسیگلر) ترجمه سیامک کاظمی
@infinitymath

#فراخوان_مسائل_زیبای_ریاضی
مساله شماره 3
قضیه وایرشتراس
هر تابع پیوسته ای قابل تقریب زدن به وسیله یک چندجمله ای است. یا به عبارت دیگر، چندجمله ای ها در مجموعه توابع پیوسته چگال هستند.

#فراخوان_مسائل_زیبای_ریاضی

مساله شماره 4
قضایای ناتمامیت گودل:
<به بیان غیر دقیق.>
قضیه 1: به ازای هر دستگاه منطقی سازگار "خوب" جمله ای وجود دارد که نه خودش اثبات میشود و نه نقیضش.
قضیه 2: هر دستگاه منطقی سازگار خوب نمیتواند سازگاری خودش را اثبات کند.

*خوب= به طور بازگشتی شمارش‌پذیر و دارای اصول حساب رابینسون(نظریه اعداد بسیار ابتدایی)
** این قضایا از منظر فلسفه بسیار بااهمیت هستند.
***نظریه اعداد و ریاضیات ما(ZFC) "خوب "هستند. این بدین معتاست که ما نمیدانیم ریاضیاتمان منطقا سازگار هست یا نه هرچند باور داریم.

هر طور که دوست دارید: این قضایا در فراریاضیات یا در ریاضیات در نظر بگیرید.
@infinitymath

#نقل_قولهای_ریاضی
#پاول_ریچارد_هالموس
🔷 نباید ریاضیات را صرفا بخوانید، باید با آن کلنجار بروید. سوالات خودتان را بپرسید، به مثالهای خودتان بنگرید، برهان های خودتان را کشف نمائید. آیا فرضها واقعا لازمند؟ آیا عکس حکم برقرار است؟ در حالت خاص متعارف چه اتفاقی میافتد؟ در مورد حالات استثنایی چطور؟ برهان، کجا از فرض استفاده میکند؟
@infinitymath

#نقل_قولهای_ریاضی
#پاول_ریچارد_هالموس
🔷 کتابخانه، آزمایشگاه ریاضیدان است.
@infinitymath

قضیه شارکوفسکی


تعریف: نقطه x را متناوب از دوره تناوب n گوییم هرگاه f^n(x)=x.

فرض کنید f تابع حقیقی پیوسته روی بازه باز باشد و ترتیب زیر را روی اعداد طبیعی در نظر بگیریم:
3>5>7>9>...>3×2>5×2>7×2>9×2>...>3×4>5×4>7×4>9×4>...>16>8>4>2>1
اگر f دارای نقطه متناوب از دوره تناوب n باشد وm < n آنگاه f دارای نقطه متناوبی از دوره تناوب m است.

به عنوان نتیجه مهمی از این قضیه:
اگرfدارای نقطه متناوبی از دوره تناوب 3 باشد آنگاه دارای نقطه متناوب از هر دوره تناوبی است.
به عبارت دیگر: تناوب 3 آشوب ایجاد میکند.

یک مساله جالب دیگر در نظریه سیستمهای دینامیکی گسسته:
اگر fتابع حقیقی اکیدا یکنوا باشد، آنگاه هیچ نقطه متناوبی با دوره تناوب بیش از دو ندارد.
برای همین همئومورفسیم های روی اعداد حقیقی حداکثر دارای نقاطی متناوب از دوره تناوب 2 هستند.

این قضایای آنالیزی، اطلاعات خوبی از رفتار دینامیکی توابع به ما میدهند و نقش مهمی در نظریه سیستمهای دینامیکی گسسته ایفا میکنند.
@infinitymath

@infinitymath
طی اقدامی جالب برای دوستداران ریاضی، عدد اول جدیدی کشف شده است که دارای ۹٫۳ میلیون رقم است و می تواند معمای حل نشده ریاضی در دهه های گذشته را به راحتی حل کند.

به گزارش کلیک، هزاران نفر از همکاران از سراسر جهان گرد هم آمدند تا برای پیدا کردن یکی از بزرگ ترین اعداد شناخته شده اول تلاش کنند و کشف بدست آمده توانست ما را بیشتر از گذشته به حل مشکل Sierpinski کمک کند که برای دهه ها معضلی برای ریاضیدانان بوده است.

عدد کشف شده جدید که بیشتر از ۹ میلیون رقم در خود جای داده است، هفتمین عدد اول بزرگ شناخته شده تا کنون است که مسائل مربوط به معمای سیرپیسنکی را از ۶ به ۵ مسئله کاهش می دهد. معمای سیرپینسکی که توسط ریاضیدان لهستانی Wacław Sierpinski در دهه ۱۹۶۰ به وجود آمد،از شما می خواهد تا کوچک ترین عدد ممکن را که در یک مجموعه خاص و بسیار مشکل صدق می کند، پیدا کنید.

یک عدد Sierpinski باید عدد فرد مثبت باشد و در فرمول K X 2N + 1 به جای متغیر k قرار می گیرد که در آن تمام اعداد صحیح (غیر اول) می باشند. به عبارت دیگر، اگر K یک عدد سیرپینسکی باشد، تمام اجزاء فرمول K X 2N + 1 مرکب خواهد بود. ترفند این است که، به منظور این که ثابت کنیم K یک عدد Sierpinski است، باید نشان دهیم که K X 2N + 1 برای هر n دلخواه مرکب است. اگر n مساوی با یک عدد اول باشد، متاسفانه آن چنان خوش شانس نیستید!

در واقع، این موضوع باید برای هر n مثبت صدق کند. این اعداد بسیار کمیاب هستند و به سختی می توان به آن ها دست یافت و پیدا کردن آن ها به این سادگی ها نیست. در حال حاضر، کوچک ترین عدد Sierpinski شناخته شده ۷۸،۵۵۷ است که توسط ریاضیدان آمریکایی جان سلفریج در سال ۱۹۶۲ پیشنهاد شده است، اما آیا این به این معناست که از این به بعد نمی توانیم اعدادی کوچک تر از آن بیابیم؟

در طول ۵۰ سال گذشته، ریاضیدانان شش نامزد ارائه کردند که می توانند کوچک ترین عدد شناخته شده ممکن Sierpinski باشند: ۱۰,۲۲۳, ۲۱,۱۸۱, ۲۲,۶۹۹, ۲۴,۷۳۷, ۵۵,۴۵۹ و ۶۷,۶۰۷٫ اما تا کنون، هیچ کس حتی نتوانسته ثابت کند که هر یک از اعداد مذکور جزو اعداد سیرپینسکی باشند!

به منظور این که مطمئن شویم در طی پروسه های انجام شده، به طور قطع با اعداد سیرپینسکی سروکار داریم، باید بدانیم که صرف نظر از این که چه مقداری برای n در نظر می گیریم، جواب k × ۲n + 1 هیچ گاه نباید اول باشد. بنابراین، باید بدانید که چه اعدادی اول هستند. این جاست که پروژه PrimeGrid به صحنه می آید!
@infinitymath
پروژه نام برده از یک سری افراد به صورت داوطلب بهره برده تا اعداد اول بزرگ را با استفاده از کامپیوتر و انچام یک سری محاسبات برای اثبات اول بودن اعداد بیابد. بدین صورت که کاربران نرم افزار را بر روی کامپیوتر خود دانلود می کنند و سپس می توانند بسته به نوع اعداد اولی که مایلند برای یافتن آن ها تلاش کنند، در گروه هایی عضو می شوند.
در تلاش برای حل معمای Sierpinski، این پروژه بزرگ ترین عدد اول را یافت و هفتمین عدد اول بزرگ در تاریخ ثبت شد: ۱۰,۲۲۳ × ۲۳۱۱۷۲۱۶۵ + ۱٫ شایان ذکر است که اگر یک کامپیوتر تنها بخواهد عدد فوق را پیدا کند که به طور دقیق ۹,۳۸۳,۷۶۱ رقمی است، قرن ها طول می کشد! بنابراین شکی نیست که عدد اول فوق ماحصل همکاری چندین کامپیوتر با یکدیگر در یک پروژه ۸ روزه است.
اما ماجرای این عدد اول به این جا ختم نمی شود و دلیل دیگری وجود دارد که خاص بودن این عدد اول را بیش از پیش برجسته می کند. در واقع، این عدد یکی از ۶ عدد نامزد برای عدد سیرپینسکی را از گردونه مسابقات حذف کرده است!
طبق بیانیه PrimeGrid، این عدد اول که بزرگ ترین عدد اول شناخته شده جهان است، ما را در حل معمای سیرپینسکی کمک شایانی می کند و در این مسیر، عدد k=10,223 را از درجه اعتبار ساقط کرده است. بنابراین، هم اکنون تنها ۵ عدد نامزد تبدیل شدن به عدد سیرپینسکی هستند.
به هر حال، اگر فکر می کنید که ۹٫۳ میلیون رقم کمی دور از ذهن است، باید بدانید که در ماه ژانویه، یک عدد اول با تعداد ۲۲ میلیون رقم شناخته شد! جالب است بدانید که این عدد اول که رکورد را جا به جا کرده است، جزیی از یک گروه کمیاب و نادر از اعداد به نام اعداد اول Mersenee است.
در واقع، در میان ۱۰ تا از بزرگ ترین اعداد شناخته شده اول، عدد اول جدید ما تنها عدد اولی است که جزو اعداد مرسن نیست و نیز بیش از ۴ میلیون رقم در خود جای داده است. اگرچه حل معمای سیرپینسکی تنها می تواند برای دوستداران ریاضی، ریاضیدانان و علاقه مندان به اعداد جذاب باشد، اما باید خاطرنشان کرد که یافتن بزرگ ترین اعداد اول، از اهمیت زیادی برای محققان برخوردار است تا بوسیله آن ها، فناوری رمزگذاری را ارتقا و کاهش مصرف کامپیوتر ها را کاهش دهند.
http://www.sciencealert.com/this-new-prime-number-could-help-solve-a-decades-old-puzzle
〰〰〰〰〰〰〰〰
@infinityma

#فراخوان_مسائل_زیبای_ریاضی
#مساله_شماره_6
🔶🔷🔶🔷🔷🔶🔷🔶🔷🔶🔶🔷🔶🔷🔶
تعدادی از اعداد 1تا 40 را انتخاب کرده ایم و تنها با دو عمل اصلی جمع و تفریق همه اعداد 1تا 40 را ساخته ایم.
کمترین تعداد عددی که میتوانیم انتخاب کنیم چندتاست و عددهای انتخابی چه عددهایی هستند؟
🔶🔷🔶🔷🔶🔷🔶🔷🔶🔷🔶🔷🔶🔷
منبع:
@mathmu
🔷🔶🔷🔶🔷🔶🔷🔶🔷🔶🔷🔶🔷🔶
@infinitymath

ده نکته که در مورد خیام نیشابوری نمی دانستید... خیلی جالب است.
@infinitymath

#فراخوان_مسائل_زیبای_ریاضی
#مساله_شماره_7
🔶🔷🔶🔷🔷🔶🔷🔶🔷🔶🔶🔷🔶🔷🔶
به چند طریق مختلف میتوانید با استفاده از رقم های 1، 2، 3، ...، 9 و چهار عمل اصلی (+-×÷) عدد 100 را بنویسید. از هر رقم باید دقیقا یکبار استفاده کنید.
برای نمونه
100=123+4-5+67-89
100=3+(69258÷714)

فکر میکنید به چند طریق مختلف میتوان اینکار را کرد؟؟؟
جواب غیرقابل باور است....
🔶🔶🔶🔶🔶🔶🔶🔶🔶🔶🔶🔶🔶🔶
منبع:
@mathmu

#فراخوان_مسائل_زیبای_ریاضی
#مساله_شماره_8
جذر 2 عددی گنگ است:نمیتوان آن را به صورت نسبت دو عدد صحیح نوشت.
این سوال، اولین بحران جدی ریاضیات بود که مکتب فیثاغورسیان را به لرزه در آورد.
@infinitymath

#فراخوان_مسائل_زیبای_ریاضی
#مساله_شماره_9
🔷🔶🔷🔶🔷🔶🔷🔶🔷🔶🔷🔶🔷🔶🔷
پارادوکس زندانبان:
سه نفر مثلا A , B , C زندانی هستند. صبح فردا یک نفر از آنها اعدام و دو نفر آزاد می شوند. تنها شخصی که از نام فرد اعدامی مطلع است زندان بان است.
فرد A به زندانبان می گوید از بین B , C حداقل یک نفر مطمئنا آزاد خواهد شد و از زندانبان می خواهد نام یک نفر آزاد شونده از بین آن دو را بگوید. زندانبان جواب می دهد: در حال حاضر شانس اعدام تو (یعنی A) برابر با 1/3 است اما اگر من مثلا بگویم B آزاد می شود شانس اعدام تو به 1/2 افزایش می یابد.
حتی بدون بردن نام B از زبان زندان بان نیز A می داند از بین B , C حداقل یک نفر مطمئنا آزاد خواهد شد پس حرف زندان بان تاثیری در شانس اعدام او نباید داشته باشد پس چرا شانس اعدام به 1/2 افزایش می یابد؟!!!!
ثابت می شود حتی اگر زندان بان بگوید B آزاد می شود، باز هم شانس اعدام A تغییری نمیکند و همان 1/3 باقی می ماند.
مهدی سبزواری
استادیار گروه ریاضی کاربردی دانشگاه کاشان
@infinitymath

سخنرانی: دکتر یاسمی - مردی که بینهایت را می‌شناخت - 23 آذر - دانشکده ریاضی دانشگاه تربیت مدرس
@infinitymath

نسل ما نسلی ست که درس خواند تا دانشجو شود...
شنیده بودیم دانشجو شدن یعنی خوشبختی... یعنی همه چیز
ما درس خواندیم... کم یا زیاد ، ولی خواندیم...
گاهی با علاقه و گاهی با اجبار ... خواندیم تا برای آن چهار ساعت پر استرس آماده شویم...چهار ساعتی که می توانست سرنوشت ما را تغییر دهد... غول بزرگ... کنکور
برای ما هزینه کردند.دعا کردند
گاهی نذر کردند تا دانشجو شویم
دانشجو شدیم...
بعضی ها علاقه شان را کنار گذاشتند و رشته ی دهن پر کنی را انتخاب کردند
بعضی ها برای عقب انداختن دوران سربازی دانشجو شدند، بعضی ها هم برای فرار از ازدواج در سن پائین
وارد یک دنیای جدید شدیم... آدم های جدید... تفکرات جدید... فکر و خیال های جدید
گاهی کنار درس خواندن عاشق شدیم و گاهی دلتنگ عزیزانمان
شب بیداری کشیدیم برای امتحان...
لای کتاب و جزوه هایمان پر از شعر و بازی و نقاشی بود
دانشگاه مثل زندگی بالا و پائین زیاد داشت
کنار درس ها، آدم های زندگیمان را هم حذف و اضافه کردیم
گاهی به اجبار سر کلاسی نشستیم و گاهی مثل روزهای خوب زندگی، انقدر همه چیز عالی بود که دوست نداشتیم زمان بگذرد
گاهی درسی را فقط پاس می کردیم که تمام شود... مثل روزهایی که تحمل می کنیم تا بگذرد
گاهی درسی را می توانستیم نمره ی کامل بگیریم ولی کم تلاش کردیم مثل روزهایی که می توانست بهتر بگذرد...
گاهی هم امتحان انقدر سخت می شد که گیج می شدیم... مثل روزهای سخت زندگی...
گاهی مشروط می شدیم و گاهی شاگرد اول
کم و زیاد... خوب و بد... بالا و پائین می گذرد...
چشم هایمان را باز می کنیم و می بینیم تمام شده...
ما می مانیم و به یاد ماندنی ترین خاطرات دوران زندگیمان
حسین حائریان

روز دانشجو شاد باش 🌸
@infinitymath

http://bookstore.ams.org/amstext-25/
کتاب آنالیز ریاضی دکتر حسینی گیو
@infinitymath