Всем субботнего денечка! 😎

Сегодня переключимся на один важный момент, который многие забывают.
Чувствую, где-то икают тангенс и котангенс, потому что сплетничать будем именно о них.

Итак, вспомним, что тангенс - это:

tg x = sin x / cos x

И вот тут интересный моментик: в знаменателе у нас cos x. Чисто в теории, смогу ли я подставить в косинус такой угол x, чтобы он обратился в ноль? Да, конечно! Например, если x = π/2.

Получается, что при решении уравнения в 13 номере каждый раз, когда мы видим тангенс, должны учитывать, что он где-то вообще не существует.

Предлагаю посмотреть на это под двумя углами:
1️⃣ . С одной стороны, нам достаточно прописать ограничение, что cos x ≠ 0. Можно даже решить это неравенство и получить точное условие на угол: x ≠ π/2 + πk, k∈Z.
2️⃣. С другой стороны, давайте вспомним, как мы ищем значение тангенса по тригонометрическому кругу:

➡️Отмечаем угол.
➡️Проводим прямую через центр и точку на окружности.
➡️Продлеваем её до пересечения с осью тангенсов.

Но если мы отметим 90° (π/2) и попробуем применить этот алгоритм… как бы ни старались соединить центр, точку на окружности и ось тангенсов, у нас ничего не выйдет! Потому что ось тангенсов и наша прямая окажутся параллельны. Вот и весь секрет.

▫️Именно поэтому в точках π/2 + πk, k∈Z(то есть на тригокруге сверху и снизу) тангенс не существует.

Аналогичная история для котангенса, только теперь он пропадает там, где sin x = 0. То есть справа и слева на окружности: x ≠ πk, k∈Z.

Главный вывод:
Как только видите в уравнении tg или ctg сразу мысленно рисуйте тригонометрический круг и вычёркивайте «запрещённые» точки! А в решении первым делом пишите ограничение.
Иначе даже при верных вычислениях можно потерять все баллы за неучтённые условия.

Номер, который многих ставит в тупик 📚

Смотрите на это уравнение и честно сначала вообще непонятно, что с ним делать:

3 cos²(x/2 + π/4) · cos²(x/2 – π/4) = cos⁴ x

Кажется, что тут какие-то страшные аргументы, половинки, дроби... Но давайте не паниковать!
Приглядитесь к левой части. Видите произведение косинусов? А углы-то очень похожи: (x/2 + π/4) и (x/2 – π/4). Они отличаются только знаком у π/4!

Это неспроста. Такая конструкция прямой намёк на формулы преобразования произведения в сумму. Буквально на днях мы с ребятами смотрели как применяется эта формула в 13 номере, и в сборнике я встретила уравнение на ее примененение. Решила сразу с вами поделиться!

Смотрите карточки там все нужные формулы!

Главный урок этого номера
Самые пугающие задачи на ЕГЭ часто оказываются пазлом из простых формул. Нужно всего лишь:
➡️Внимательно посмотреть на структуру
➡️Узнать знакомый паттерн (здесь это произведение косинусов похожих углов)
➡️Вспомнить нужный инструмент (формулу) и правильно его применить

И всё...

Оказалось вокруг тебя весь мир кружит 🪩

Вчера я вам напомнила про метод выделения полного квадрата. Мы выделяем полный квадрат не просто для упрощения. Мы делаем это, чтобы увидеть геометрию. Посмотрим, как уравнение с параметром превращается в движущуюся окружность.

Возьмем уравнение:
x² + y² - 4ax + 6y - 3 = 0
Шаг 1: Группируем то, что связано с x и y

(x² - 4ax) + (y² + 6y) - 3 = 0

Шаг 2: Выделяем квадраты

Для x: x² - 4ax = (x - 2a)² - 4a²
Для y: y² + 6y = (y + 3)² - 9

Шаг 3: Собираем обратно

(x - 2a)² - 4a² + (y + 3)² - 9 - 3 = 0
(x - 2a)² + (y + 3)² = 4a² + 12

⤴️ Что получилось?
(x - 2a)² + (y + 3)² = 4a² + 12 - окружность
- Центр в точке (2a; -3)
- Радиус R = √(4a² + 12)

Что это значит на практике?
1. Видим параметр внутри центра по x -> центр движется по прямой y = -3, a определяет, где именно на этой прямой находится центр.
2. Радиус непостоянный: чем больше |a|, тем больше окружность.

Зачем это нужно?
И снова! теперь задача с параметром становится наглядной. Вместо абстрактного уравнения мы видим окружность, которая:
- едет вдоль прямой
- меняет размер
Нам нужно найти, при каких a (то есть в каких положениях и размерах) эта окружность касается другой линии, пересекает график в двух точках и т.д.

Проверь себя:
Преобразуй x² + y² + 2kx - 4y = 0 в уравнение окружности.
Куда движется центр при изменении k? Зависит ли радиус от параметра?

Подписаться | Мой ТТ | Все полезные материалы