Всем субботнего денечка! 😎

Сегодня переключимся на один важный момент, который многие забывают.
Чувствую, где-то икают тангенс и котангенс, потому что сплетничать будем именно о них.

Итак, вспомним, что тангенс - это:

tg x = sin x / cos x

И вот тут интересный моментик: в знаменателе у нас cos x. Чисто в теории, смогу ли я подставить в косинус такой угол x, чтобы он обратился в ноль? Да, конечно! Например, если x = π/2.

Получается, что при решении уравнения в 13 номере каждый раз, когда мы видим тангенс, должны учитывать, что он где-то вообще не существует.

Предлагаю посмотреть на это под двумя углами:
1️⃣ . С одной стороны, нам достаточно прописать ограничение, что cos x ≠ 0. Можно даже решить это неравенство и получить точное условие на угол: x ≠ π/2 + πk, k∈Z.
2️⃣. С другой стороны, давайте вспомним, как мы ищем значение тангенса по тригонометрическому кругу:

➡️Отмечаем угол.
➡️Проводим прямую через центр и точку на окружности.
➡️Продлеваем её до пересечения с осью тангенсов.

Но если мы отметим 90° (π/2) и попробуем применить этот алгоритм… как бы ни старались соединить центр, точку на окружности и ось тангенсов, у нас ничего не выйдет! Потому что ось тангенсов и наша прямая окажутся параллельны. Вот и весь секрет.

▫️Именно поэтому в точках π/2 + πk, k∈Z(то есть на тригокруге сверху и снизу) тангенс не существует.

Аналогичная история для котангенса, только теперь он пропадает там, где sin x = 0. То есть справа и слева на окружности: x ≠ πk, k∈Z.

Главный вывод:
Как только видите в уравнении tg или ctg сразу мысленно рисуйте тригонометрический круг и вычёркивайте «запрещённые» точки! А в решении первым делом пишите ограничение.
Иначе даже при верных вычислениях можно потерять все баллы за неучтённые условия.

Номер, который многих ставит в тупик 📚

Смотрите на это уравнение и честно сначала вообще непонятно, что с ним делать:

3 cos²(x/2 + π/4) · cos²(x/2 – π/4) = cos⁴ x

Кажется, что тут какие-то страшные аргументы, половинки, дроби... Но давайте не паниковать!
Приглядитесь к левой части. Видите произведение косинусов? А углы-то очень похожи: (x/2 + π/4) и (x/2 – π/4). Они отличаются только знаком у π/4!

Это неспроста. Такая конструкция прямой намёк на формулы преобразования произведения в сумму. Буквально на днях мы с ребятами смотрели как применяется эта формула в 13 номере, и в сборнике я встретила уравнение на ее примененение. Решила сразу с вами поделиться!

Смотрите карточки там все нужные формулы!

Главный урок этого номера
Самые пугающие задачи на ЕГЭ часто оказываются пазлом из простых формул. Нужно всего лишь:
➡️Внимательно посмотреть на структуру
➡️Узнать знакомый паттерн (здесь это произведение косинусов похожих углов)
➡️Вспомнить нужный инструмент (формулу) и правильно его применить

И всё...

Оказалось вокруг тебя весь мир кружит 🪩

Вчера я вам напомнила про метод выделения полного квадрата. Мы выделяем полный квадрат не просто для упрощения. Мы делаем это, чтобы увидеть геометрию. Посмотрим, как уравнение с параметром превращается в движущуюся окружность.

Возьмем уравнение:
x² + y² - 4ax + 6y - 3 = 0
Шаг 1: Группируем то, что связано с x и y

(x² - 4ax) + (y² + 6y) - 3 = 0

Шаг 2: Выделяем квадраты

Для x: x² - 4ax = (x - 2a)² - 4a²
Для y: y² + 6y = (y + 3)² - 9

Шаг 3: Собираем обратно

(x - 2a)² - 4a² + (y + 3)² - 9 - 3 = 0
(x - 2a)² + (y + 3)² = 4a² + 12

⤴️ Что получилось?
(x - 2a)² + (y + 3)² = 4a² + 12 - окружность
- Центр в точке (2a; -3)
- Радиус R = √(4a² + 12)

Что это значит на практике?
1. Видим параметр внутри центра по x -> центр движется по прямой y = -3, a определяет, где именно на этой прямой находится центр.
2. Радиус непостоянный: чем больше |a|, тем больше окружность.

Зачем это нужно?
И снова! теперь задача с параметром становится наглядной. Вместо абстрактного уравнения мы видим окружность, которая:
- едет вдоль прямой
- меняет размер
Нам нужно найти, при каких a (то есть в каких положениях и размерах) эта окружность касается другой линии, пересекает график в двух точках и т.д.

Проверь себя:
Преобразуй x² + y² + 2kx - 4y = 0 в уравнение окружности.
Куда движется центр при изменении k? Зависит ли радиус от параметра?

Подписаться | Мой ТТ | Все полезные материалы

Критерии оценивания №18 🤯

В этих карточках вы найдете ключ к пониманию того, как эксперты проверяют задание с параметром. Здесь чётко видно, за что можно получить 1, 2, 3 или 4 балла.

Важно помнить: даже если не удалось решить задачу полностью, частичные баллы - это тоже баллы. Например, 1 балл можно получить уже за верное сведение задачи к исследованию взаимного расположения. Это уже шаг к высокому результату.

➖ Не забывайте, что на ЕГЭ ценится не только ответ, но и ход мысли. Наша цель на трехдневном марафоне помочь вам разобраться, с чего начать. Даже начало верного рассуждения может добавить вам баллов.

Подписаться | Мой ТТ | Все полезные материалы

Корыто?🤯

Сегодня разберём метод, который в учебниках стыдливо называют «графиком суммы модулей», а все нормальные люди - КОРЫТОМ. Потому что оно и есть корыто. Узнаваемое, удобное и очень мощное.
Зачем это нужно? Когда в задаче с параметром вылазит нечто вида |x-a| + |x-b| = c, многие руки опускаются. А зря.

Перейдем к делу.

Постройте график функции
f(x) = |x+1| + |x-3|.

Здесь каждый модуль живет своей жизнью и меняет знак в своей особой точке. Берем метод критических точек - наш рабочий, хоть и немного нудный, инструмент.

Шаг 1. Находим точки, где модули обнуляются. Это x = -1 и x = 3. Это наши критические точки, то есть места, где график будет «ломаться».
Шаг 2. Они разбивают ось X на три промежутка: x < -1, -1 ≤ x ≤ 3, x > 3.
Шаг 3. Раскрываем модули на каждом промежутке, как в методе интервалов.

✨На промежутке x < -1: оба выражения под модулем отрицательны. Раскрываем оба с минусом.
|x+1| = -(x+1) = -x-1
|x-3| = -(x-3) = -x+3
В сумме получаем: f(x) = (-x-1) + (-x+3) = -2x + 2.

✨На промежутке -1 ≤ x ≤ 3: первое выражение неотрицательное, второе — неположительное.
|x+1| = x+1
|x-3| = -(x-3) = -x+3
В сумме: f(x) = (x+1) + (-x+3) = 4.

✨На промежутке x > 3: оба выражения положительны, модули просто убираем.
f(x) = (x+1) + (x-3) = 2x - 2.

В итоге мы собрали нашу функцию по кусочкам:
{ -2x + 2, при x < -1
f(x) = { 4, при -1 ≤ x ≤ 3
{ 2x - 2, при x > 3

Что это за график? Слева - убывающая прямая (y = -2x+2). В центре - горизонтальный отрезок (y = 4) от x = -1 до x = 3. Справа - возрастающая прямая (y = 2x-2). Эта ломаная, симметричная относительно середины отрезка между -1 и 3, и есть наше знаменитое КОРЫТО.

✔️ Теперь главный момент: зачем мы это сделали?

«При каких c уравнение |x+1| + |x-3| = c имеет 2 корня? Бесконечно много? Не имеет корней?»

Мы уже проделали основную работу. Слева в уравнении у нас готовое корыто - график y = |x+1|+|x-3|. Справа - просто горизонтальная прямая y = c. Вся задача свелась к тому, на какой высоте мы будем «подрезать» наше корыто этой прямой.

▫️Если c меньше 4, прямая проходит ниже дна корыта -> пересечений нет. Корней: 0.
▫️Если c равно 4, прямая проходит точно по дну корыта -> пересечение целый отрезок. Корней: бесконечно много.
▫️Если c больше 4, прямая пересекает два борта корыта -> корней ровно два.

Никакого нового раскрытия модулей. Один раз разобрали сложную функцию на простые линейные куски, увидели в ней корыто, и теперь оно - ваш инструмент. С ним можно и нужно работать.

Этот метод пригодится нам для решения 18 задания, другие способы решения мы будем разбирать на моём курсе 90+. Записывайся!

Подписаться | Мой ТТ | Все полезные материалы