Скопирую из ФБ свой пост пятилетней давности.
Может, кому-то пригодится.
=================================
Кто о чем, а я о "противных" доказательствах
Не помню, писал ли я уже об этом когда-то, но точно много обдумывал. В чем "фишка" доказательств от противного и почему ими следует пользоваться как в обучении математике, так и в собственно математике? Этого почти никто толком не понимает, потому что в школе этого не объясняют, а потом умные люди уже не занимаются такими благоглупостями.
Пусть нам нужно доказать утверждение "A ⇒ B".
Вероятно, вам кажется, что если его доказывать от противного, то это означает необходимость доказать утверждение "¬B ⇒ ¬A" (¬ означает "не"). А вот и нет-с!
Когда вы _правильно_ используете метод доказательства от противного, то у вас есть не одно условие A, а два разных: A и ¬B. И вот из двух условий вместе (математики зовут это конъюнкцией, но можно и не знать мудрёных слов, тем более что это самый обычный союз И) вам нужно... а что вам, собственно, нужно? А нужно всего лишь прийти к противоречию. Любому противоречию, не важно, в каком месте и с чем именно!
Понимаете? Раньше вам нужно было (непонятно, как именно) проложить ниточку рассуждений от того, которое было дано, к тому, которое надо было доказать. Это могла быть достаточно длинная ниточка, а вы держитесь за один конец клубка, и совершенно непонятно, как его разматывать, чтобы он вас привёл куда надо. А "противное" сразу позволяет опереться на два разных хвоста и мотать их совместно. Сплошь и рядом это оказывается удобнее и быстрее, потому что на двух опорах стоять проще, чем на одной. И главное - у вас нет цели нечто конкретное доказать, ваша цель намного проще: обнаружить противоречие. То есть вы просто последовательно строите шаг за шагом всё, что следует из ваших двух условий, взятых вместе, до тех пор, пока не увидите, что пришли к чему-то невозможному, несовместимому либо друг с другом, либо с еще чем-то ранее известным.
PS. Лобачевский именно так и создал свою геометрию. Да и Эйнштейн, вроде бы, решился постулировать постоянство скорости света относительно любого наблюдателя только после того, как в конце концов не смог вывести никакого противоречия.
Может, кому-то пригодится.
=================================
Кто о чем, а я о "противных" доказательствах
Не помню, писал ли я уже об этом когда-то, но точно много обдумывал. В чем "фишка" доказательств от противного и почему ими следует пользоваться как в обучении математике, так и в собственно математике? Этого почти никто толком не понимает, потому что в школе этого не объясняют, а потом умные люди уже не занимаются такими благоглупостями.
Пусть нам нужно доказать утверждение "A ⇒ B".
Вероятно, вам кажется, что если его доказывать от противного, то это означает необходимость доказать утверждение "¬B ⇒ ¬A" (¬ означает "не"). А вот и нет-с!
Когда вы _правильно_ используете метод доказательства от противного, то у вас есть не одно условие A, а два разных: A и ¬B. И вот из двух условий вместе (математики зовут это конъюнкцией, но можно и не знать мудрёных слов, тем более что это самый обычный союз И) вам нужно... а что вам, собственно, нужно? А нужно всего лишь прийти к противоречию. Любому противоречию, не важно, в каком месте и с чем именно!
Понимаете? Раньше вам нужно было (непонятно, как именно) проложить ниточку рассуждений от того, которое было дано, к тому, которое надо было доказать. Это могла быть достаточно длинная ниточка, а вы держитесь за один конец клубка, и совершенно непонятно, как его разматывать, чтобы он вас привёл куда надо. А "противное" сразу позволяет опереться на два разных хвоста и мотать их совместно. Сплошь и рядом это оказывается удобнее и быстрее, потому что на двух опорах стоять проще, чем на одной. И главное - у вас нет цели нечто конкретное доказать, ваша цель намного проще: обнаружить противоречие. То есть вы просто последовательно строите шаг за шагом всё, что следует из ваших двух условий, взятых вместе, до тех пор, пока не увидите, что пришли к чему-то невозможному, несовместимому либо друг с другом, либо с еще чем-то ранее известным.
PS. Лобачевский именно так и создал свою геометрию. Да и Эйнштейн, вроде бы, решился постулировать постоянство скорости света относительно любого наблюдателя только после того, как в конце концов не смог вывести никакого противоречия.
Жизнь у котов зачастую впритык с бедою, а ведь казалось бы – спи, тыгыдымь, играй. Первую жизнь он оставил в ведре с водою, мокрыми лапами мертво вцепившись в край.
Дальше – канавы, дворы, чердаки, подвалы. Вы не видали, как с крыши слетает кот? Да, восемь жизней кота – их не так уж мало. Впрочем, осталось семь, позади полёт. Зимы, морозы, крысы, плохие драки. Очень не просто выжить - о том и речь. Шесть, пять, четыре - слетели под хвост собаке. Две остаются. Хоть эти то – поберечь.
Рваное ухо и семь переломов мелких. Крайних не ищем, ну кто теперь виноват? Нету ни дома, ни просто своей тарелки. И своего человека, такой расклад. А человека надо. Ну, очень надо. Стылой зимою в окошко свое глядеть…
Только накрыло ночной городишко Градом, и вообще не осталось вокруг людей. Нет ничего. Ни еды, ни воды, ни крика. Только развалины. И через них к коту тянет ладошки девочка с светлым ликом, как непонятно попавшая за черту. Прячет за пазуху, гладит движением длинным. Шепчет: хороший! Ты только держись, держись… Кот с рваным ухом бежит через поле с минами. И отдает ей свою предпоследнюю жизнь.
(С) Татьяна Тарасова
Дальше – канавы, дворы, чердаки, подвалы. Вы не видали, как с крыши слетает кот? Да, восемь жизней кота – их не так уж мало. Впрочем, осталось семь, позади полёт. Зимы, морозы, крысы, плохие драки. Очень не просто выжить - о том и речь. Шесть, пять, четыре - слетели под хвост собаке. Две остаются. Хоть эти то – поберечь.
Рваное ухо и семь переломов мелких. Крайних не ищем, ну кто теперь виноват? Нету ни дома, ни просто своей тарелки. И своего человека, такой расклад. А человека надо. Ну, очень надо. Стылой зимою в окошко свое глядеть…
Только накрыло ночной городишко Градом, и вообще не осталось вокруг людей. Нет ничего. Ни еды, ни воды, ни крика. Только развалины. И через них к коту тянет ладошки девочка с светлым ликом, как непонятно попавшая за черту. Прячет за пазуху, гладит движением длинным. Шепчет: хороший! Ты только держись, держись… Кот с рваным ухом бежит через поле с минами. И отдает ей свою предпоследнюю жизнь.
(С) Татьяна Тарасова
👍1😢1
Несколько дней назад широко известный в узких кругах математиков видеоблогер Michael Penn опубликовал видео под заголовком "Моё новое любимое доказательство малой теоремы Ферма".
Я поглядел - и нахожусь в некоторой прострации. Точнее, в том её синониме, который из четырех букв, на а начинается на и краткий заканчивается
Потому что одно из трех - или заголовок видео врёт, или Майкл действительно раньше не знал этой техники доказательств, или смысл заголовка в том, что раньше он такие вещи не любил, а вот теперь она ему стала нравиться. В первое верить не хочется, в последнее тоже, - значит, второе?
Вдвойне стрёмно, что излагая комбинаторное (по сути) доказательство, он совершенно не говорит о его комбинаторной природе, а ограничивается только алгеброй.
Так можно было? А зачем?
https://www.youtube.com/watch?v=Ow_9II-DeTI&ab_channel=MichaelPenn
Изложение того же доказательства на более комбинаторном языке.
Рассмотрим множество вершин правильного p-угольника, и раскрасим каждую вершину в один из a цветов (получая a-цветное ожерелье). Тогда общее число рассматриваемых раскрасок равно a^p.
Среди этих ожерелий есть ровно два типа - те, в которых присутствует ровно один цвет, и те, в которых есть более одного цвета.
Первых - ровно a штук: по одному для каждого из цветов.
Количество ожерелий второго типа сосчитать не совсем просто, но нам этого и не нужно (Майклу Пенну тоже не нужно, но он делает вид, что нужно). Нам важно, что эти ожерелья легко группируются в кучки по p штук - в каждую кучку входят все ожерелья, которые получаются из данного такими поворотами вершин многоугольника, при которых все вершины переходят сами в себя. Таких поворотов ровно p, и все ожерелья в них различны именно потому, что p - простое, и p-периодические ожерелья не могут иметь периодов, меньших чем p.
Это означает, что количество ожерелий второго типа делится нацело на p, то есть (a^p - a) кратно p, - а это и есть малая теорема Ферма.
Я поглядел - и нахожусь в некоторой прострации. Точнее, в том её синониме, который из четырех букв, на а начинается на и краткий заканчивается
Потому что одно из трех - или заголовок видео врёт, или Майкл действительно раньше не знал этой техники доказательств, или смысл заголовка в том, что раньше он такие вещи не любил, а вот теперь она ему стала нравиться. В первое верить не хочется, в последнее тоже, - значит, второе?
Вдвойне стрёмно, что излагая комбинаторное (по сути) доказательство, он совершенно не говорит о его комбинаторной природе, а ограничивается только алгеброй.
Так можно было? А зачем?
https://www.youtube.com/watch?v=Ow_9II-DeTI&ab_channel=MichaelPenn
Изложение того же доказательства на более комбинаторном языке.
Рассмотрим множество вершин правильного p-угольника, и раскрасим каждую вершину в один из a цветов (получая a-цветное ожерелье). Тогда общее число рассматриваемых раскрасок равно a^p.
Среди этих ожерелий есть ровно два типа - те, в которых присутствует ровно один цвет, и те, в которых есть более одного цвета.
Первых - ровно a штук: по одному для каждого из цветов.
Количество ожерелий второго типа сосчитать не совсем просто, но нам этого и не нужно (Майклу Пенну тоже не нужно, но он делает вид, что нужно). Нам важно, что эти ожерелья легко группируются в кучки по p штук - в каждую кучку входят все ожерелья, которые получаются из данного такими поворотами вершин многоугольника, при которых все вершины переходят сами в себя. Таких поворотов ровно p, и все ожерелья в них различны именно потому, что p - простое, и p-периодические ожерелья не могут иметь периодов, меньших чем p.
Это означает, что количество ожерелий второго типа делится нацело на p, то есть (a^p - a) кратно p, - а это и есть малая теорема Ферма.
YouTube
My new favorite proof of Fermat's little theorem!!
🌟Support the channel🌟
Patreon: https://www.patreon.com/michaelpennmath
Merch: https://teespring.com/stores/michael-penn-math
My amazon shop: https://www.amazon.com/shop/michaelpenn
🟢 Discord: https://discord.gg/Ta6PTGtKBm
🌟my other channels🌟…
Patreon: https://www.patreon.com/michaelpennmath
Merch: https://teespring.com/stores/michael-penn-math
My amazon shop: https://www.amazon.com/shop/michaelpenn
🟢 Discord: https://discord.gg/Ta6PTGtKBm
🌟my other channels🌟…
Очень старенькая моя задачка
Пусть $a, b, c$ --- действительные числа из отрезка $[3;6]$. Докажите или аргументировано опровергните следующие неравенства:
1. $a^2 + b^2 + c^2 \leq 1{,}2(ab + bc + ca)$
2. $a/b + b/c + c/a \leq 7/2$
3. $\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} \leq \frac 32$
4. $\frac{a^2 + b}{a^2 + c} + \frac{b^2 + c}{b^2 + a} + \frac{c^2 + a}{c^2 + b} \leq \frac{61}{20}$
Пусть $a, b, c$ --- действительные числа из отрезка $[3;6]$. Докажите или аргументировано опровергните следующие неравенства:
1. $a^2 + b^2 + c^2 \leq 1{,}2(ab + bc + ca)$
2. $a/b + b/c + c/a \leq 7/2$
3. $\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} \leq \frac 32$
4. $\frac{a^2 + b}{a^2 + c} + \frac{b^2 + c}{b^2 + a} + \frac{c^2 + a}{c^2 + b} \leq \frac{61}{20}$
Задача, которую у меня вот уже второй день не получается решить. Решение точно должно быть, причём несложное.
Даны три луча с общей вершиной О, делящие плоскость на три угла, меньших 180. В каждый из углов вписана окружность. Требуется построить на сторонах лучей такие три точки A,B,C, чтоб эти окружности оказались вписанными в треугольники AOB, BOC, COA соответственно.
Даны три луча с общей вершиной О, делящие плоскость на три угла, меньших 180. В каждый из углов вписана окружность. Требуется построить на сторонах лучей такие три точки A,B,C, чтоб эти окружности оказались вписанными в треугольники AOB, BOC, COA соответственно.
👍4
Очень хочется переименовать группу в "Не тот чат, извините".
Чтоб никто не мог туда отправить "ошибочное" сообщение и извиняться за это...
Чтоб никто не мог туда отправить "ошибочное" сообщение и извиняться за это...
😁2
Facebook в очередной раз сменил формат ссылок на публикацию.
Предыдущий формат был примерно вот таким:
https://www.facebook.com/groups/matkruzhki/posts/2316752031809053/
То бишь в URL явным образом было указано место публикации (личный аккаунт, страница, группа), потом слово posts, потом многозначный номер (по-видимому, уникальный для всех публикаций в FB).
Потом к этому номеру приделали "хвост" в виде какого-то длинного fb-идентификатора, сохранявшегося при копировании ссылки, но пропадавшего из адресной строки при переходе по этой ссылке внутри фейсбука.
А сейчас вот такое:
https://www.facebook.com/kostyaknop/posts/pfbid021Mf3yD4owegWEfatmzbTr56vkQSriwtndYMP5fMRBVnJPChkgFzwvCy93e6Drttvl
То бишь для ссылки оставлен только "хвост". Я сильно подозреваю, что где-то внутри странички есть и "старая ссылка" с номером, но как ее отыскать?
А если ее нету, то как расшифровать это дело? Согласитесь, что одно дело поделиться 16-значным числом, и совсем другое - вот этим вот уродством.
Предыдущий формат был примерно вот таким:
https://www.facebook.com/groups/matkruzhki/posts/2316752031809053/
То бишь в URL явным образом было указано место публикации (личный аккаунт, страница, группа), потом слово posts, потом многозначный номер (по-видимому, уникальный для всех публикаций в FB).
Потом к этому номеру приделали "хвост" в виде какого-то длинного fb-идентификатора, сохранявшегося при копировании ссылки, но пропадавшего из адресной строки при переходе по этой ссылке внутри фейсбука.
А сейчас вот такое:
https://www.facebook.com/kostyaknop/posts/pfbid021Mf3yD4owegWEfatmzbTr56vkQSriwtndYMP5fMRBVnJPChkgFzwvCy93e6Drttvl
То бишь для ссылки оставлен только "хвост". Я сильно подозреваю, что где-то внутри странички есть и "старая ссылка" с номером, но как ее отыскать?
А если ее нету, то как расшифровать это дело? Согласитесь, что одно дело поделиться 16-значным числом, и совсем другое - вот этим вот уродством.
Facebook
Log in to Facebook
Log in to Facebook to start sharing and connecting with your friends, family and people you know.
И все тот же вопрос... Почему надо останавливаться на 5 монетах...
Естественные продолжения:
- для какого макс. числа монет можно решить аналогичную задачу за 3, 4, 5 взвешиваний?
- начиная с некоторого n (число взвешиваний) оценки и примеры перестанут "сходиться", то есть между ними начнется некоторый зазор. Где именно?
Естественные продолжения:
- для какого макс. числа монет можно решить аналогичную задачу за 3, 4, 5 взвешиваний?
- начиная с некоторого n (число взвешиваний) оценки и примеры перестанут "сходиться", то есть между ними начнется некоторый зазор. Где именно?
Forwarded from MathTask
Есть 5 монет. Из них три настоящие, одна фальшивая, которая весит больше настоящей, и одна фальшивая, которая весит меньше настоящей. За три взвешивания определите обе фальшивые монеты.
📜 Листок #взвешивания
📜 Листок #взвешивания
A_1A_2...A_9 - правильный девятиугольник. Обозначим X_{klmn} точку пересечения диагоналей A_kA_m и A_lA_n.
1. Докажите, что P=X_{2679} и Q=X_{2349} лежат на прямой, параллельной стороне A_1A_9.
#medium
2. Докажите, что центр девятиугольника лежит на отрезке PQ.
#medium - #hard
3. Сколько всего точек пересечения диагоналей этого девятиугольника лежат на прямой PQ?
#hard
1. Докажите, что P=X_{2679} и Q=X_{2349} лежат на прямой, параллельной стороне A_1A_9.
#medium
2. Докажите, что центр девятиугольника лежит на отрезке PQ.
#medium - #hard
3. Сколько всего точек пересечения диагоналей этого девятиугольника лежат на прямой PQ?
#hard
Про задачу Паппа-Кастильона
Я тут открыл для себя забавную геометрическую задачу. Даны три точки A,B,C, лежащие на одной прямой. Требуется провести через них такие три прямых, чтобы точки их попарного пересечения лежали на данной окружности.
На картинке приведено геометрическое решение, - построение, которое я попробую максимально подробно описать. Самое интересное в нем то, что оно выполняется без циркуля, то есть одной геометрической линейкой.
Я тут открыл для себя забавную геометрическую задачу. Даны три точки A,B,C, лежащие на одной прямой. Требуется провести через них такие три прямых, чтобы точки их попарного пересечения лежали на данной окружности.
На картинке приведено геометрическое решение, - построение, которое я попробую максимально подробно описать. Самое интересное в нем то, что оно выполняется без циркуля, то есть одной геометрической линейкой.
👍1