Несколько дней назад широко известный в узких кругах математиков видеоблогер Michael Penn опубликовал видео под заголовком "Моё новое любимое доказательство малой теоремы Ферма".
Я поглядел - и нахожусь в некоторой прострации. Точнее, в том её синониме, который из четырех букв, на а начинается на и краткий заканчивается
Потому что одно из трех - или заголовок видео врёт, или Майкл действительно раньше не знал этой техники доказательств, или смысл заголовка в том, что раньше он такие вещи не любил, а вот теперь она ему стала нравиться. В первое верить не хочется, в последнее тоже, - значит, второе?
Вдвойне стрёмно, что излагая комбинаторное (по сути) доказательство, он совершенно не говорит о его комбинаторной природе, а ограничивается только алгеброй.
Так можно было? А зачем?
https://www.youtube.com/watch?v=Ow_9II-DeTI&ab_channel=MichaelPenn
Изложение того же доказательства на более комбинаторном языке.
Рассмотрим множество вершин правильного p-угольника, и раскрасим каждую вершину в один из a цветов (получая a-цветное ожерелье). Тогда общее число рассматриваемых раскрасок равно a^p.
Среди этих ожерелий есть ровно два типа - те, в которых присутствует ровно один цвет, и те, в которых есть более одного цвета.
Первых - ровно a штук: по одному для каждого из цветов.
Количество ожерелий второго типа сосчитать не совсем просто, но нам этого и не нужно (Майклу Пенну тоже не нужно, но он делает вид, что нужно). Нам важно, что эти ожерелья легко группируются в кучки по p штук - в каждую кучку входят все ожерелья, которые получаются из данного такими поворотами вершин многоугольника, при которых все вершины переходят сами в себя. Таких поворотов ровно p, и все ожерелья в них различны именно потому, что p - простое, и p-периодические ожерелья не могут иметь периодов, меньших чем p.
Это означает, что количество ожерелий второго типа делится нацело на p, то есть (a^p - a) кратно p, - а это и есть малая теорема Ферма.
Я поглядел - и нахожусь в некоторой прострации. Точнее, в том её синониме, который из четырех букв, на а начинается на и краткий заканчивается
Потому что одно из трех - или заголовок видео врёт, или Майкл действительно раньше не знал этой техники доказательств, или смысл заголовка в том, что раньше он такие вещи не любил, а вот теперь она ему стала нравиться. В первое верить не хочется, в последнее тоже, - значит, второе?
Вдвойне стрёмно, что излагая комбинаторное (по сути) доказательство, он совершенно не говорит о его комбинаторной природе, а ограничивается только алгеброй.
Так можно было? А зачем?
https://www.youtube.com/watch?v=Ow_9II-DeTI&ab_channel=MichaelPenn
Изложение того же доказательства на более комбинаторном языке.
Рассмотрим множество вершин правильного p-угольника, и раскрасим каждую вершину в один из a цветов (получая a-цветное ожерелье). Тогда общее число рассматриваемых раскрасок равно a^p.
Среди этих ожерелий есть ровно два типа - те, в которых присутствует ровно один цвет, и те, в которых есть более одного цвета.
Первых - ровно a штук: по одному для каждого из цветов.
Количество ожерелий второго типа сосчитать не совсем просто, но нам этого и не нужно (Майклу Пенну тоже не нужно, но он делает вид, что нужно). Нам важно, что эти ожерелья легко группируются в кучки по p штук - в каждую кучку входят все ожерелья, которые получаются из данного такими поворотами вершин многоугольника, при которых все вершины переходят сами в себя. Таких поворотов ровно p, и все ожерелья в них различны именно потому, что p - простое, и p-периодические ожерелья не могут иметь периодов, меньших чем p.
Это означает, что количество ожерелий второго типа делится нацело на p, то есть (a^p - a) кратно p, - а это и есть малая теорема Ферма.
YouTube
My new favorite proof of Fermat's little theorem!!
🌟Support the channel🌟
Patreon: https://www.patreon.com/michaelpennmath
Merch: https://teespring.com/stores/michael-penn-math
My amazon shop: https://www.amazon.com/shop/michaelpenn
🟢 Discord: https://discord.gg/Ta6PTGtKBm
🌟my other channels🌟…
Patreon: https://www.patreon.com/michaelpennmath
Merch: https://teespring.com/stores/michael-penn-math
My amazon shop: https://www.amazon.com/shop/michaelpenn
🟢 Discord: https://discord.gg/Ta6PTGtKBm
🌟my other channels🌟…
Очень старенькая моя задачка
Пусть $a, b, c$ --- действительные числа из отрезка $[3;6]$. Докажите или аргументировано опровергните следующие неравенства:
1. $a^2 + b^2 + c^2 \leq 1{,}2(ab + bc + ca)$
2. $a/b + b/c + c/a \leq 7/2$
3. $\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} \leq \frac 32$
4. $\frac{a^2 + b}{a^2 + c} + \frac{b^2 + c}{b^2 + a} + \frac{c^2 + a}{c^2 + b} \leq \frac{61}{20}$
Пусть $a, b, c$ --- действительные числа из отрезка $[3;6]$. Докажите или аргументировано опровергните следующие неравенства:
1. $a^2 + b^2 + c^2 \leq 1{,}2(ab + bc + ca)$
2. $a/b + b/c + c/a \leq 7/2$
3. $\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} \leq \frac 32$
4. $\frac{a^2 + b}{a^2 + c} + \frac{b^2 + c}{b^2 + a} + \frac{c^2 + a}{c^2 + b} \leq \frac{61}{20}$
Задача, которую у меня вот уже второй день не получается решить. Решение точно должно быть, причём несложное.
Даны три луча с общей вершиной О, делящие плоскость на три угла, меньших 180. В каждый из углов вписана окружность. Требуется построить на сторонах лучей такие три точки A,B,C, чтоб эти окружности оказались вписанными в треугольники AOB, BOC, COA соответственно.
Даны три луча с общей вершиной О, делящие плоскость на три угла, меньших 180. В каждый из углов вписана окружность. Требуется построить на сторонах лучей такие три точки A,B,C, чтоб эти окружности оказались вписанными в треугольники AOB, BOC, COA соответственно.
👍4
Очень хочется переименовать группу в "Не тот чат, извините".
Чтоб никто не мог туда отправить "ошибочное" сообщение и извиняться за это...
Чтоб никто не мог туда отправить "ошибочное" сообщение и извиняться за это...
😁2
Facebook в очередной раз сменил формат ссылок на публикацию.
Предыдущий формат был примерно вот таким:
https://www.facebook.com/groups/matkruzhki/posts/2316752031809053/
То бишь в URL явным образом было указано место публикации (личный аккаунт, страница, группа), потом слово posts, потом многозначный номер (по-видимому, уникальный для всех публикаций в FB).
Потом к этому номеру приделали "хвост" в виде какого-то длинного fb-идентификатора, сохранявшегося при копировании ссылки, но пропадавшего из адресной строки при переходе по этой ссылке внутри фейсбука.
А сейчас вот такое:
https://www.facebook.com/kostyaknop/posts/pfbid021Mf3yD4owegWEfatmzbTr56vkQSriwtndYMP5fMRBVnJPChkgFzwvCy93e6Drttvl
То бишь для ссылки оставлен только "хвост". Я сильно подозреваю, что где-то внутри странички есть и "старая ссылка" с номером, но как ее отыскать?
А если ее нету, то как расшифровать это дело? Согласитесь, что одно дело поделиться 16-значным числом, и совсем другое - вот этим вот уродством.
Предыдущий формат был примерно вот таким:
https://www.facebook.com/groups/matkruzhki/posts/2316752031809053/
То бишь в URL явным образом было указано место публикации (личный аккаунт, страница, группа), потом слово posts, потом многозначный номер (по-видимому, уникальный для всех публикаций в FB).
Потом к этому номеру приделали "хвост" в виде какого-то длинного fb-идентификатора, сохранявшегося при копировании ссылки, но пропадавшего из адресной строки при переходе по этой ссылке внутри фейсбука.
А сейчас вот такое:
https://www.facebook.com/kostyaknop/posts/pfbid021Mf3yD4owegWEfatmzbTr56vkQSriwtndYMP5fMRBVnJPChkgFzwvCy93e6Drttvl
То бишь для ссылки оставлен только "хвост". Я сильно подозреваю, что где-то внутри странички есть и "старая ссылка" с номером, но как ее отыскать?
А если ее нету, то как расшифровать это дело? Согласитесь, что одно дело поделиться 16-значным числом, и совсем другое - вот этим вот уродством.
Facebook
Log in to Facebook
Log in to Facebook to start sharing and connecting with your friends, family and people you know.
И все тот же вопрос... Почему надо останавливаться на 5 монетах...
Естественные продолжения:
- для какого макс. числа монет можно решить аналогичную задачу за 3, 4, 5 взвешиваний?
- начиная с некоторого n (число взвешиваний) оценки и примеры перестанут "сходиться", то есть между ними начнется некоторый зазор. Где именно?
Естественные продолжения:
- для какого макс. числа монет можно решить аналогичную задачу за 3, 4, 5 взвешиваний?
- начиная с некоторого n (число взвешиваний) оценки и примеры перестанут "сходиться", то есть между ними начнется некоторый зазор. Где именно?
Forwarded from MathTask
Есть 5 монет. Из них три настоящие, одна фальшивая, которая весит больше настоящей, и одна фальшивая, которая весит меньше настоящей. За три взвешивания определите обе фальшивые монеты.
📜 Листок #взвешивания
📜 Листок #взвешивания
A_1A_2...A_9 - правильный девятиугольник. Обозначим X_{klmn} точку пересечения диагоналей A_kA_m и A_lA_n.
1. Докажите, что P=X_{2679} и Q=X_{2349} лежат на прямой, параллельной стороне A_1A_9.
#medium
2. Докажите, что центр девятиугольника лежит на отрезке PQ.
#medium - #hard
3. Сколько всего точек пересечения диагоналей этого девятиугольника лежат на прямой PQ?
#hard
1. Докажите, что P=X_{2679} и Q=X_{2349} лежат на прямой, параллельной стороне A_1A_9.
#medium
2. Докажите, что центр девятиугольника лежит на отрезке PQ.
#medium - #hard
3. Сколько всего точек пересечения диагоналей этого девятиугольника лежат на прямой PQ?
#hard
Про задачу Паппа-Кастильона
Я тут открыл для себя забавную геометрическую задачу. Даны три точки A,B,C, лежащие на одной прямой. Требуется провести через них такие три прямых, чтобы точки их попарного пересечения лежали на данной окружности.
На картинке приведено геометрическое решение, - построение, которое я попробую максимально подробно описать. Самое интересное в нем то, что оно выполняется без циркуля, то есть одной геометрической линейкой.
Я тут открыл для себя забавную геометрическую задачу. Даны три точки A,B,C, лежащие на одной прямой. Требуется провести через них такие три прямых, чтобы точки их попарного пересечения лежали на данной окружности.
На картинке приведено геометрическое решение, - построение, которое я попробую максимально подробно описать. Самое интересное в нем то, что оно выполняется без циркуля, то есть одной геометрической линейкой.
👍1
Начинается оно с выбора произвольной точки X на данной окружности. Далее я буду обозначать фигурными скобками {PQ} результат такой операции: если P и Q обе лежат на окружности, то {PQ} - точка пересечения прямой PQ с данной прямой; если же одна из точек P,Q лежит на данной прямой, а другая на окружности, то {PQ} - вторая точка пересечения прямой PQ с окружностью. (Для тех, кто знает алгебраическую геометрию - это просто стандартное сопряжение на кубической кривой). Итак, мы можем последовательно построить Y={BX}, Z={CX}, D={AZ}, E={DY}, F={EZ}. Здесь уже начинаются некоторые неожиданности, но о них ниже. Далее строим пару точек G и H: G=(DF)⋂(YZ), H=(DZ)⋂(FY) и проводим прямую GH. Все, наша задача решена: эта прямая пересекает окружность в двух точках I_1 и I_2; мы можем взять любую из них и провести прямые AI и CI, тогда прямая, проходящая через J={AI} и K={CI}, пройдет и через точку B. Иначе говоря, B={JK}={{AI}{CI}}. Докажите это!
В этом построении есть несколько интересных моментов. 1) Точка E не зависит от выбора точки X на окружности (это несложно, но неожиданно)
2) прямая GH - это поляра точки E относительно данной окружности - иными словами, если бы мы провели прямую EI, то она была бы касательной; E={II}. (Да, на это опирается стандартный способ построения касательной с помощью одной линейки)
3) В построениях точек D-H выбор порядка сопряжений кажется произвольным и потому странным. А что если бы мы мысленно поменяли B и С местами, то есть построили вместо D={AZ} точку D'={AY} ? Оказывается, если довести до конца такой вариант построения, то вместо прямой GH, дающей пару точек I, оно даст прямую G'H', дающую в пересечении с окружностью пару точек K. Тех же самых, которые возникают и в этом решении. (Да, это тоже можно доказать, и это не весть как сложно.)
2) прямая GH - это поляра точки E относительно данной окружности - иными словами, если бы мы провели прямую EI, то она была бы касательной; E={II}. (Да, на это опирается стандартный способ построения касательной с помощью одной линейки)
3) В построениях точек D-H выбор порядка сопряжений кажется произвольным и потому странным. А что если бы мы мысленно поменяли B и С местами, то есть построили вместо D={AZ} точку D'={AY} ? Оказывается, если довести до конца такой вариант построения, то вместо прямой GH, дающей пару точек I, оно даст прямую G'H', дающую в пересечении с окружностью пару точек K. Тех же самых, которые возникают и в этом решении. (Да, это тоже можно доказать, и это не весть как сложно.)