Инварианты vs полуинварианты
Инвариант = параметр, который не меняется при преобразвании
Полуинвариант = параметр, который меняется монотонно при преобразовании и лишь на конечное число возможных значений.
В задаче Перегородки из спичек (#83) в роли полуинварианта-счётчика выступает количество областей, на которые спички делят пол. Ни слова больше.
#олимпиады
Полоса клеток (#89)
Инвариант = параметр, который не меняется при преобразвании
Полуинвариант = параметр, который меняется монотонно при преобразовании и лишь на конечное число возможных значений.
В задаче Перегородки из спичек (#83) в роли полуинварианта-счётчика выступает количество областей, на которые спички делят пол. Ни слова больше.
#олимпиады
Полоса клеток (#89)
Telegraph
Полоса клеток (#89)
Дана полоска 1х20, в которой каждая клетка либо белая, либо чёрная. За одну операцию можно перекрасить клетки в любом прямоугольнике (одна клетка считается прямоугольником). За какое наименьшее число операций можно наверняка сделать любую полоску полностью…
Инварианты vs полуинварианты - комментарий
Мы перемудрили с решением предыдущей задачи. Всё намного проще, так как квадрат – это тоже прямоугольник (то есть можно перекрашивать одну клетку за операцию).
Но раз уж мы завели речь про полуинварианты, то попробуйте решить задачу при условии, что перекрашивать одну клетку нельзя. Удивительно, но количество операций не увеличится.
Решение переписано. Теперь оба варианта задачи доступны по ссылкам из предыдущего поста.
Спасибо нашему подписчику за указание на неточность в рассуждении!
Мы перемудрили с решением предыдущей задачи. Всё намного проще, так как квадрат – это тоже прямоугольник (то есть можно перекрашивать одну клетку за операцию).
Но раз уж мы завели речь про полуинварианты, то попробуйте решить задачу при условии, что перекрашивать одну клетку нельзя. Удивительно, но количество операций не увеличится.
Решение переписано. Теперь оба варианта задачи доступны по ссылкам из предыдущего поста.
Спасибо нашему подписчику за указание на неточность в рассуждении!
Google отказался от брейнтизеров на интервью
Inc. пишет, что брейнтизеры = total waste of time. Расходимся.
Тезисно:
1. Некоторые исследователи выяснили, что основной мотив интервьюера, который задаёт подобные задачки, - это нарциссизм и садизм.
2. По мнению VP по кадрам #Google, время на собеседовании лучше потратить на поведенческие вопросы, так как они лучше помогают понять кандидата.
Inc. пишет, что брейнтизеры = total waste of time. Расходимся.
Тезисно:
1. Некоторые исследователи выяснили, что основной мотив интервьюера, который задаёт подобные задачки, - это нарциссизм и садизм.
2. По мнению VP по кадрам #Google, время на собеседовании лучше потратить на поведенческие вопросы, так как они лучше помогают понять кандидата.
Inc.com
Why Don't the Best Interviewers Ever Force Job Candidates to Answer Brainteaser Questions? They Intuitively Know the 1 Thing Science…
Also confirming what every job candidate who has ever been asked a brainteaser was thinking.
Брейнтизер с интервью Apple
Вы, кажется, спросили про какие-то деньги?
О. Бендер
Великолепная задачка на логику. Моя первая реакция после прочтения: «Наверное, где-то в условии ошибка...»
Задают на #интервью в #Apple, но на Малом мехмате практикуются с 6-го класса. Как тебе такое, Илон Маск?
Сто монет (#90)
Вы, кажется, спросили про какие-то деньги?
О. Бендер
Великолепная задачка на логику. Моя первая реакция после прочтения: «Наверное, где-то в условии ошибка...»
Задают на #интервью в #Apple, но на Малом мехмате практикуются с 6-го класса. Как тебе такое, Илон Маск?
Сто монет (#90)
Medium
100 монет (#90)
На столе лежат сто одинаковых монет: 10 кверху орлом, 90 кверху решкой. Вы находитесь у стола, но не можете понять, на какой стороне лежат…
Теория вероятностей на собеседованиях
В этот раз — задача на знание основ теории вероятностей. Достаточно первого семестра курса по предмету в нетехническом вузе. Например, что-то подобное мы решали с моими студентами из Финансового университета. Кстати, студенты и выпускники Финашки, отмечаемся внизу!
Спрашивают на #интервью в #WorldQuant на позиции квантов. Аналогичные задачки практикуются на собеседовании при поступлении в #ШАД.
#тервер
. в o (#91)
В этот раз — задача на знание основ теории вероятностей. Достаточно первого семестра курса по предмету в нетехническом вузе. Например, что-то подобное мы решали с моими студентами из Финансового университета. Кстати, студенты и выпускники Финашки, отмечаемся внизу!
Спрашивают на #интервью в #WorldQuant на позиции квантов. Аналогичные задачки практикуются на собеседовании при поступлении в #ШАД.
#тервер
. в o (#91)
Medium
. в o (#91)
В круг радиуса 1 случайным образом бросается точка. Распределение равномерное. Найти математическое ожидание расстояния от точки до центра.
Раскраски для математиков. Всерос
Знаменитый поп-арт диптих Мэрилин Монро американского художника Энди Уорхола состоит из пятидесяти изображений. Половина из них чёрно-белые, а остальные – цветные. Говорят, что так художник попытался изобразить яркий сценический образ актрисы в контрасте с её трагической судьбой.
#олимпиады
Диптих Мэрилин (#92)
Знаменитый поп-арт диптих Мэрилин Монро американского художника Энди Уорхола состоит из пятидесяти изображений. Половина из них чёрно-белые, а остальные – цветные. Говорят, что так художник попытался изобразить яркий сценический образ актрисы в контрасте с её трагической судьбой.
#олимпиады
Диптих Мэрилин (#92)
Medium
Диптих Мэрилин (#92)
В какое наибольшее число цветов можно раскрасить все клетки доски размера 10х10 так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце находились…
Brainteaser with apples from Apple
Предлагаем несложный устный тизер с #интервью в #Apple. Это очень популярная задача, но вдруг кто-нибудь ещё не знает.
Ящики с фруктами (#93)
Предлагаем несложный устный тизер с #интервью в #Apple. Это очень популярная задача, но вдруг кто-нибудь ещё не знает.
Ящики с фруктами (#93)
Telegraph
Ящики с фруктами (#93)
Есть три ящика: с апельсинами, с яблоками и ящик, в котором перемешаны апельсины и яблоки. На каждом ящике висит табличка с указанием того, что должно быть внутри, но известно, что они все не на своих местах. За один ход разрешается опустить руку в ящик и…
Графы. Всерос
У меня зазвонил телефон.
– Кто говорит?
– Слон.
Задача актуальна и для бесконечного количества жителей. Готовимся к перенаселению.
#олимпиады
Телефонный звонок (#94)
У меня зазвонил телефон.
– Кто говорит?
– Слон.
Задача актуальна и для бесконечного количества жителей. Готовимся к перенаселению.
#олимпиады
Телефонный звонок (#94)
Telegraph
Телефонный звонок (#94)
В один из дней года оказалось, что каждый житель города сделал не более одного звонка по телефону. Докажите, что население города можно разбить не более чем на три группы так, чтобы жители, входящие в одну группу, не разговаривали в этот день между собой…
Yet another brainteaser
Логическая задачка с #интервью в #Yandex. Решение не требует специальных знаний, но если они есть, то наверное будет совсем легко.
Кролики и вино (#95)
Логическая задачка с #интервью в #Yandex. Решение не требует специальных знаний, но если они есть, то наверное будет совсем легко.
Кролики и вино (#95)
Medium
Кролики и вино (#95)
10 кроликов, 1000 одинаковых с виду бутылок вина, в 1 из них вино испорчено.
Я интересуюсь не только математическим образованием, но в целом отраслью на глобальном и национальном уровнях. Раньше эта область у нас была далека от классического понимания успеха. Вспомните свои ассоциации с работой в образовании 5-10 лет назад...
Сейчас всё поменялось, это очень динамичная среда, есть много крутых возможностей в онлайн и оффлайн, EdTech стартапах, корпоративных центрах компетенций. Не упустить интересный вариант и быть в теме помогает канал с вакансиями в образовании @edujobs.
Автор канала — экс-лектор Высшей школы экономики. Он успешно внедрил образовательные процессы в Сбербанк, Skyeng, международные некоммерческие организации.
На канале регулярно появляются интересные вакансии по теме: от методиста в корпоративный e-learning до менеджера крупного образовательного проекта. Также важно — все вакансии с прямыми контактами.
В общем, ТЕМА!
https://news.1rj.ru/str/edujobs/1726
Сейчас всё поменялось, это очень динамичная среда, есть много крутых возможностей в онлайн и оффлайн, EdTech стартапах, корпоративных центрах компетенций. Не упустить интересный вариант и быть в теме помогает канал с вакансиями в образовании @edujobs.
Автор канала — экс-лектор Высшей школы экономики. Он успешно внедрил образовательные процессы в Сбербанк, Skyeng, международные некоммерческие организации.
На канале регулярно появляются интересные вакансии по теме: от методиста в корпоративный e-learning до менеджера крупного образовательного проекта. Также важно — все вакансии с прямыми контактами.
В общем, ТЕМА!
https://news.1rj.ru/str/edujobs/1726
Telegram
Вакансии в образовании
Хорошего дня!
Равновеликость и равносоставленность
Моя бабушка из клочков разноцветной ткани шила красивые одеяла. Такая техника называется лоскутным шитьём или, как говорят у нас в России, пэчворк (patchwork).
В 1833-35 годах венгерский математик Фаркаш Бойяи и немецкий математик Пол Гервин доказали теорему (названную впоследствии Бойяи-Гервина):
Если два многоугольника имеют одинаковую площадь (равновеликость), то один из них можно разбить на такие части, из которых возможно составить второй многоугольник (равносоставленность).
Теперь попробуйте такой «танграм»: из равностороннего треугольника сложить квадрат. Получается? А ведь это простейший случай теоремы.
Но сегодняшний вопрос про другое: что будет если в условии теоремы ограничить количество частей?
#олимпиады
1000 частей (#96)
Моя бабушка из клочков разноцветной ткани шила красивые одеяла. Такая техника называется лоскутным шитьём или, как говорят у нас в России, пэчворк (patchwork).
В 1833-35 годах венгерский математик Фаркаш Бойяи и немецкий математик Пол Гервин доказали теорему (названную впоследствии Бойяи-Гервина):
Если два многоугольника имеют одинаковую площадь (равновеликость), то один из них можно разбить на такие части, из которых возможно составить второй многоугольник (равносоставленность).
Теперь попробуйте такой «танграм»: из равностороннего треугольника сложить квадрат. Получается? А ведь это простейший случай теоремы.
Но сегодняшний вопрос про другое: что будет если в условии теоремы ограничить количество частей?
#олимпиады
1000 частей (#96)
Telegraph
1000 частей (#96)
Верно ли, что любой треугольник можно разрезать на 1000 частей, из которых можно сложить квадрат? Сложность: 5/10 Источник: 68-я Московская математическая олимпиада, 2005, 9 класс Решение Telegram
Но у тебя / И значит, мы
Социальная повестка в Матрёшке. Ранее мы упоминали про проблему бездомных. Сегодня речь про эпидемию ВИЧ в стране.
Подведу вас плавно к сути. У любого медицинского теста есть два основных показателя, характеризующих его эффективность:
– чувствительность [sensitivity] = % корректно определённых положительных результатов = количество людей с положительным тестом / общее количество заболевших
– специфичность [specificity] = % корректно определённых отрицательных результатов = количество людей с отрицательным тестом / общее количество здоровых
Чем ниже чувствительность теста, тем больше будет ложноотрицательных результатов. Чем ниже специфичность, тем больше ложноположительных результатов. Современные тесты на ВИЧ обладают высокими чувствительностью и специфичностью (более 98% даже для экспресс-тестов), но надо помнить, что ни один тест не даст 100% точность.
Теперь про сегодняшнюю задачу. У неё есть много эквивалентных формулировок, но мне нравится эпидемиологический вариант – он вселяет надежду. Однако сначала предлагаю всем проверить интуицию в опросе ниже. По задумке автора (!) надо сперва отметить в опросе то, что приходит на ум без долгих размышлений, а уж потом решать задачу.
#тервер
HIV (#97)
Социальная повестка в Матрёшке. Ранее мы упоминали про проблему бездомных. Сегодня речь про эпидемию ВИЧ в стране.
Подведу вас плавно к сути. У любого медицинского теста есть два основных показателя, характеризующих его эффективность:
– чувствительность [sensitivity] = % корректно определённых положительных результатов = количество людей с положительным тестом / общее количество заболевших
– специфичность [specificity] = % корректно определённых отрицательных результатов = количество людей с отрицательным тестом / общее количество здоровых
Чем ниже чувствительность теста, тем больше будет ложноотрицательных результатов. Чем ниже специфичность, тем больше ложноположительных результатов. Современные тесты на ВИЧ обладают высокими чувствительностью и специфичностью (более 98% даже для экспресс-тестов), но надо помнить, что ни один тест не даст 100% точность.
Теперь про сегодняшнюю задачу. У неё есть много эквивалентных формулировок, но мне нравится эпидемиологический вариант – он вселяет надежду. Однако сначала предлагаю всем проверить интуицию в опросе ниже. По задумке автора (!) надо сперва отметить в опросе то, что приходит на ум без долгих размышлений, а уж потом решать задачу.
#тервер
HIV (#97)
Telegraph
HIV (#97)
По официальной статистике на 31 декабря 2018 года в России:
Вполне реальная ситуация. Сегодня в России 1% населения заражён ВИЧ. Житель России делает тест, и результаты оказываются положительными. Тест обладает чувствительностью 100%, специфичностью 99%. Какова вероятность, что человек на самом деле заражён ВИЧ?
Final Results
30%
<50%
12%
50-90%
26%
90-99%
33%
>99%
Комментарий к опросу
Спасибо всем, кто поучаствовал в опросе!
Правильный ответ <50%. И это, как показал опыт, контринтуитивно. Казалось бы, есть всего лишь 1%, что тест покажет ложноположительный результат! Почему же тогда ответ так сильно отличается от 99%?
Дело в том, что речь идёт о разных условных вероятностях:
– Дано, что вероятность положительного теста при условии, что человек здоров, равна 1% (следует из определения специфичности).
– Надо найти наоборот вероятность того, что человек здоров (нездоров), при условии, что тест показал положительный результат.
Итак, примерно 1% = вероятность того, что человек болен (такова статистика). И также примерно 1% = вероятность того, что человек получил ложноположительный результат. Эти две группы людей примерно одинаковы по количеству, поэтому и возникает вероятность около 50% в ответе.
Другими словами, при относительно редких заболеваниях требуются более точные тесты с вероятностью ложноположительных результатов в несколько раз меньше процента заболевших.
И ещё одно важное замечание. В примере подразумевается, что у нас нет прочей информации о здоровье человека, кроме общей статистики и результата одного теста. В реальности же люди, как правило, ею обладают. Например, им скорее всего известно о событиях, которые переводят их в группу риска. Естественно, что в этом случае будет иная логика. А именно, надо брать долю инфицированных не по стране, а по определённой группе риска. А это уже совсем другая история.
Берегите себя
Спасибо всем, кто поучаствовал в опросе!
Правильный ответ <50%. И это, как показал опыт, контринтуитивно. Казалось бы, есть всего лишь 1%, что тест покажет ложноположительный результат! Почему же тогда ответ так сильно отличается от 99%?
Дело в том, что речь идёт о разных условных вероятностях:
– Дано, что вероятность положительного теста при условии, что человек здоров, равна 1% (следует из определения специфичности).
– Надо найти наоборот вероятность того, что человек здоров (нездоров), при условии, что тест показал положительный результат.
Итак, примерно 1% = вероятность того, что человек болен (такова статистика). И также примерно 1% = вероятность того, что человек получил ложноположительный результат. Эти две группы людей примерно одинаковы по количеству, поэтому и возникает вероятность около 50% в ответе.
Другими словами, при относительно редких заболеваниях требуются более точные тесты с вероятностью ложноположительных результатов в несколько раз меньше процента заболевших.
И ещё одно важное замечание. В примере подразумевается, что у нас нет прочей информации о здоровье человека, кроме общей статистики и результата одного теста. В реальности же люди, как правило, ею обладают. Например, им скорее всего известно о событиях, которые переводят их в группу риска. Естественно, что в этом случае будет иная логика. А именно, надо брать долю инфицированных не по стране, а по определённой группе риска. А это уже совсем другая история.
Берегите себя
Пособие для грибников
Как выйти из леса, если вы заблудились?
В заповедных и дремучих,
Страшных Mуромских лесах
Всяка нечисть бродит тучей
И в проезжих сеет страх,
Воет воем, что твои упокойники,
Если есть там соловьи, то разбойники.
Страшно, аж жуть!
Владимир Высоцкий
#олимпиады
Грибники (#98)
Как выйти из леса, если вы заблудились?
В заповедных и дремучих,
Страшных Mуромских лесах
Всяка нечисть бродит тучей
И в проезжих сеет страх,
Воет воем, что твои упокойники,
Если есть там соловьи, то разбойники.
Страшно, аж жуть!
Владимир Высоцкий
#олимпиады
Грибники (#98)
Telegraph
Грибники (#98)
Человек заблудился в большом лесу, граница которого – прямая линия. (Можно считать, что лес заполняет полуплоскость.) Известно, что расстояние от человека до границы леса не превышает 2 км. Предложите путь, двигаясь по которому он наверняка сможет выйти из…
Русская рулетка
Забавная задачка с контринтуитивным финалом (мне так показалось). Все знают про классическую игру с револьвером и одним патроном. Если патронов два, то возникает интересный эффект.
Брейнтизер с #интервью в #Facebook. Pull the trigger.
#тервер
Русская рулетка (#99)
Забавная задачка с контринтуитивным финалом (мне так показалось). Все знают про классическую игру с револьвером и одним патроном. Если патронов два, то возникает интересный эффект.
Брейнтизер с #интервью в #Facebook. Pull the trigger.
#тервер
Русская рулетка (#99)
Medium
Русская рулетка(#99)
Двое играют в русскую рулетку. Дан шестизарядный револьвер, 2 патрона загружаются в соседние каморы, барабан вращается. Первый игрок…
Школьная задача про школу
Вспомните, наверняка в ваших школах тоже на уроках английского и информатики класс делили на 2 группы. Состав групп был постоянный. Поразмышляем в задаче, как быстро могли бы перемешаться ученики, если бы можно было переходить между группами?
В общем, если вы ещё не устали от бинарности и pigeonhole, то вот вам задачка к началу учебного года!
#олимпиады
О делении классов на группы (#100)
Вспомните, наверняка в ваших школах тоже на уроках английского и информатики класс делили на 2 группы. Состав групп был постоянный. Поразмышляем в задаче, как быстро могли бы перемешаться ученики, если бы можно было переходить между группами?
В общем, если вы ещё не устали от бинарности и pigeonhole, то вот вам задачка к началу учебного года!
#олимпиады
О делении классов на группы (#100)
Medium
О делении классов на группы (#100)
В классе 16 учеников. Каждый месяц учитель делит класс на две группы. Какое наименьшее количество месяцев должно пройти, чтобы любые два…
Апдейт на осень
Друзья, в этом году (а если повезёт, то и в следующем) мне предстоит непростой экзерсис – обучение в ШАДе Яндекса. Поэтому есть две новости:
плохая – количество постов придётся на первое время сократить до 2-3 в месяц
хорошая – уже за сентябрь я узнал много актуальных задачек, которыми тестируют кандидатов на интервью
Поэтому не теряемся. Впереди будет много интересных постов!
А пока простая задачка с Всероссийской #олимпиады – и пусть это вас не пугает.
Акупунктура (#101)
Друзья, в этом году (а если повезёт, то и в следующем) мне предстоит непростой экзерсис – обучение в ШАДе Яндекса. Поэтому есть две новости:
плохая – количество постов придётся на первое время сократить до 2-3 в месяц
хорошая – уже за сентябрь я узнал много актуальных задачек, которыми тестируют кандидатов на интервью
Поэтому не теряемся. Впереди будет много интересных постов!
А пока простая задачка с Всероссийской #олимпиады – и пусть это вас не пугает.
Акупунктура (#101)
Medium
Акупунктура (#101)
На прямоугольном столе разложено несколько одинаковых квадратных листов бумаги так, что их стороны параллельны краям стола (листы могут…
👍1
Динамическое vs статическое решение
Тема задач на взвешивание себя ещё не исчерапала. Сегодня порешаем задачу типа «найти фальшивку», когда её относительный вес неизвестен. Это #классическаязадача, впервые опубликованная в статье Goodstein R.L. (1945). Решать её можно динамически, то есть когда следующий шаг (взвешивание) решения зависит от результатов предыдущего, или статически, когда наоборот. В разборе мы покажем оба подхода.
Весы и 12 монет (#102)
Тема задач на взвешивание себя ещё не исчерапала. Сегодня порешаем задачу типа «найти фальшивку», когда её относительный вес неизвестен. Это #классическаязадача, впервые опубликованная в статье Goodstein R.L. (1945). Решать её можно динамически, то есть когда следующий шаг (взвешивание) решения зависит от результатов предыдущего, или статически, когда наоборот. В разборе мы покажем оба подхода.
Весы и 12 монет (#102)
Medium
Весы и 12 монет (#102)
Есть 12 монет, из которых одна фальшивая, и чашечные весы. Монеты выглядят одинаково, но фальшивая отличается по весу от настоящих (но…
С наступающим Новым годом!
Вы ещё с нами? 🙂
Друзья, спасибо за вашу поддержку в этом году! Последнее время вести канал непросто, но именно ваш интерес мотивирует продолжать.
С другой стороны, мне нравится, что это очень гибкая история, которая подстраивается под время. У меня нет цели публиковаться во что бы то ни стало, так как главное условие качества – всё должно быть в кайф!
Поэтому, друзья, всем отличных праздников! И, конечно, дз на каникулы прилагается.
PS Думаю, мы вас ещё потревожим в этом году с традиционным опросом, так как нам очень не хватает обратной связи...
#олимпиады #графы
Семейный альбом (#103)
Вы ещё с нами? 🙂
Друзья, спасибо за вашу поддержку в этом году! Последнее время вести канал непросто, но именно ваш интерес мотивирует продолжать.
С другой стороны, мне нравится, что это очень гибкая история, которая подстраивается под время. У меня нет цели публиковаться во что бы то ни стало, так как главное условие качества – всё должно быть в кайф!
Поэтому, друзья, всем отличных праздников! И, конечно, дз на каникулы прилагается.
PS Думаю, мы вас ещё потревожим в этом году с традиционным опросом, так как нам очень не хватает обратной связи...
#олимпиады #графы
Семейный альбом (#103)
Medium
Семейный альбом (#103)
В семейном альбоме есть десять фотографий. На каждой из них изображены три человека: в центре стоит мужчина, слева от мужчины — его сын, а…