А вот — если мы достроим параллелограмм в другую сторону :
Непрерывное математическое образование
https://twitter.com/74WTungsteno/status/1261584412946374657 картинка по выходным — про дельтоиду (спасибо В.Клепцыну за ссылочку) (контекст — можно прочитать в уже упоминавшейся замечательной книге «Прямые и кривые», а также у J.Baez’а)
И цитата на эту тему из 7-й главы "Прямых и кривых" (http://zadachi.mccme.ru/prkr/ , которые выше уже упоминали) —
Ещё картинка на эту же тему — циклоидальная передача:
И в завершение — вот звёздчатая гипоциклоида с двойным параллелограммом (и двумя рисующими точками на одной из окружностей):
Красивое перекладывание:
https://twitter.com/74WTungsteno/status/1265613949485096961/photo/1
https://twitter.com/74WTungsteno/status/1265613949485096961/photo/1
Twitter
Tungsteno
π, the area of the circle of radius 1, is slightly more than 3, the area of the inscribed regular dodecagon https://t.co/HdUy3oTalD #math #science #iteachmath #mtbos #visualization #elearning #geometry
Математические байки
И в продолжение — вот тут картинка, которая показывает, что происходит: https://twitter.com/matthen2/status/1262249113384452096
Давайте я попробую немного рассказать о комплексной динамике — о том, что и почему мы на этих анимациях видим.
Да — я буду пользоваться двумя генераторами фракталов. Во-первых, у Элементов.ру есть совершенно классная серия интерактивных плакатов, https://elementy.ru/posters/ , — и один из них посвящён как раз фракталам; и там можно одновременно смотреть на точку множества Мандельброта и на соответствующее ей множество Жюлиа — https://elementy.ru/posters/fractals/Julia .
Увы, эти плакаты на флеше, который не все современные браузеры любят. :(
А во-вторых, вот этим генератором — http://usefuljs.net/fractals/ .
Да — я буду пользоваться двумя генераторами фракталов. Во-первых, у Элементов.ру есть совершенно классная серия интерактивных плакатов, https://elementy.ru/posters/ , — и один из них посвящён как раз фракталам; и там можно одновременно смотреть на точку множества Мандельброта и на соответствующее ей множество Жюлиа — https://elementy.ru/posters/fractals/Julia .
Увы, эти плакаты на флеше, который не все современные браузеры любят. :(
А во-вторых, вот этим генератором — http://usefuljs.net/fractals/ .
«Элементы»
Интерактивные плакаты
Итак, главные герои. Формальные определения такие: пусть задано отображение z->P(z), например, вида z^2+c.
Тогда для любой начальной точки z_0 можно рассмотреть последовательность её итераций — применяя P снова и снова: z_n = P(z_{n-1}).
Так вот, заполненным множеством Жюлиа полинома P называется множество точек z_0, итерации которых не убегают на бесконечность.
(Определение выше общее — но сейчас я его собираюсь применять только к квадратичным отображениям, z->z^2+c.)
Тогда для любой начальной точки z_0 можно рассмотреть последовательность её итераций — применяя P снова и снова: z_n = P(z_{n-1}).
Так вот, заполненным множеством Жюлиа полинома P называется множество точек z_0, итерации которых не убегают на бесконечность.
(Определение выше общее — но сейчас я его собираюсь применять только к квадратичным отображениям, z->z^2+c.)
А множеством Мандельброта называется множество таких параметров c, что у отображения
P_c (z) = z^2+c
не убегают на бесконечность итерации начальной точки 0.
P_c (z) = z^2+c
не убегают на бесконечность итерации начальной точки 0.
Определение заполненного множества Жюлиа похоже на другие определения фракталов: что-то куда-то итерируется. И из-за итераций естественно ожидать какого-то самоподобия.
А вот определение множества Мандельброта кажется странным: почему речь идёт об итерациях именно точки z=0? И из него совсем не видно, почему должен получаться фрактал.
А вот определение множества Мандельброта кажется странным: почему речь идёт об итерациях именно точки z=0? И из него совсем не видно, почему должен получаться фрактал.
Так вот, давайте на всё это посмотрим и с этим разберёмся. Начнём со случая c=0. Тогда мы итерируем
P_0(z)=z^2,
и его итерации достаточно просто описать. А именно, n-я итерация это z^{2^n}, поэтому:
*) точки z с |z|>1 убегают на бесконечность,
*) точки с |z|<1 падают в ноль,
*) а |z|=1 — окружность, остающаяся на месте, и на которой аргумент (из-за возведения в квадрат) за одну итерацию P_0 удваивается.
В частности, заполненное множество Жюлиа — диск |z|<=1:
P_0(z)=z^2,
и его итерации достаточно просто описать. А именно, n-я итерация это z^{2^n}, поэтому:
*) точки z с |z|>1 убегают на бесконечность,
*) точки с |z|<1 падают в ноль,
*) а |z|=1 — окружность, остающаяся на месте, и на которой аргумент (из-за возведения в квадрат) за одну итерацию P_0 удваивается.
В частности, заполненное множество Жюлиа — диск |z|<=1:
Слева на этой картинке (с Элементов) множество Мандельброта, с отмеченной (белой) точкой c=0, а справа — соответствующее множество Жюлиа.
А что будет, если мы возьмём параметр c явно за пределами множества Мандельброта — например, c=5?
Для начала заметим, что если уж какая-то точка z принадлежит заполненному множеству Жюлиа J_c, то она не может быть слишком большой по модулю — иначе модули образов будут только нарастать. Ведь
|P(z)| >= |z|^2 - |c|;
скажем, для |c|<=5 уже при |z|>4 будет |P(z)|>11, потом |P(P(z))|>100, и так далее.
Так что точка из множества Жюлиа J_5 обязательно должна лежать в диске |z|<=4.
|P(z)| >= |z|^2 - |c|;
скажем, для |c|<=5 уже при |z|>4 будет |P(z)|>11, потом |P(P(z))|>100, и так далее.
Так что точка из множества Жюлиа J_5 обязательно должна лежать в диске |z|<=4.
Но то же самое можно сказать и про её образ P(z)=z^2+c, поэтому z^2 обязательно содержится в диске с центром в (-5) и радиусом 4. А тогда z содержится в одном из двух прообразов этого диска под действием квадратного корня.