Остаётся совсем чуть-чуть (и это, мне кажется, самый изящный шаг доказательства): если начать "перекашивать" параллелограмм — его вторая сторона будет расти. Значит, в какой-то момент она станет целой — равной какому-то k. После чего можно взять за основание уже её — и превратить параллелограмм в прямоугольник k x L, а его уже, разрезав k как 1+1+...+1 — в прямоугольник 1 x S.

Всё! Треугольник площади S равносоставлен прямоугольнику 1 x S — а значит, то же правда и про любой многоугольник. Вот так теорема Бойяи--Гервина и доказывается.

Давайте я добавлю пару ссылок. Другое доказательство есть в "миниатюрах" Математических этюдов:
https://www.etudes.ru/ru/sketches/hilbert-third-problem/
(а почему "третья проблема Гильберта, я сейчас скажу пару слов").

Там рассуждение проходит через квадраты — и через (заодно) доказывающее теорему Пифагора объединение двух квадратов в один:

Это же рассуждение в калейдоскопе "Кванта" (а также несколько явных красивых примеров равносоставленности) — http://kvant.ras.ru/pdf/2016/2016-02.pdf
(см. с. 34--35 PDF-файла).

про теорему Бойяи–Гервина — а также про теорему Дена (показывающую, что, в отличие от многоугольников, равновеликие многогранники не всегда равносоставленны) — можно еще прочитать в брошюре В.Г.Болтянского, http://mathedu.ru/lib/books/boltyanskiy_ravnovelikie_i_ravnosostavlennye_figury_1956/#38 (и еще про инвариант Дена объясняется в одной из глав «Математического дивертисмента» Табачникова и Фукса)

на этом история не заканчивается: в 1965 году Сидле (Sydler) доказал обратное утверждение: если у многогранников равны и объемы, и инварианты Дена, то они равносоставленны (и эта история оказывается связанной с гомологиями групп неожиданно) — про все это рассказывал на ЛШСМ-2018 А.А.Гайфуллин, можно посмотреть видеозаписи:
http://www.mathnet.ru/present21265
http://www.mathnet.ru/present21725
http://www.mathnet.ru/present21726
http://www.mathnet.ru/present21727
http://www.mathnet.ru/present21728

видеолекции выше доступны и для старшеклассников, а люди с чуть более серьезной подготовкой могут также посмотреть обзор L.Hesselholt'а
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~larsh/teaching/F2011_PM/lecture.pdf

А если посмотреть на с. 15 Болтянского —
https://www.mathedu.ru/text/boltyanskiy_ravnovelikie_i_ravnosostavlennye_figury_1956/p15/ — то оказывается, что хватает параллельных переносов и центральных симметрий:

В размерности 3 всё не так, как на плоскости. Вопрос о равносоставленности многогранников был третьей проблемой Гильберта, и отрицательный ответ (например, неравносоставленность куба и правильного тетраэдра одинаковых объёмов) следует из наличия дополнительного инварианта, инварианта Дэна.
Интересно, что этому посвящён один из текстов Mathesis-а — https://www.mathesis.ru/book/kagan2/ :

Как знакомо —

Продолжим?
Давайте вернёмся к исходному вопросу про параллельные переносы. Ответ на него отрицательный — и как обычно при доказательстве не-существования, нужен инвариант.
И тут он очень простой: суммарная длина горизонтальных отрезков, являющихся "нижними" сторонами фигуры, минус суммарная длина горизонтальных отрезков, являющихся "верхними" сторонами.

Понятно, что это инвариант (при проведении разрезов обе длины меняются одинаково, так что их разность не меняется) — и столь же очевидно, что он наши два треугольника различает.
Конечно же, такую же разность можно посчитать для любого другого направления, не обязательно для горизонтального. Так что инвариантом будет аж целая функция от направления (правда, отличная от нуля лишь в конечном числе точек).

Собственно, коллеги про это уже написали:

https://www.turgor.ru/lktg/2007/1/1-1ru.pdf

на тему разрезания многоугольников и многогранников — напомним еще такой материал с ЛКТГ-2007 (М.Прасолов, М.Скопенков, Б.Френкин)

в т.ч. из текста можно узнать, как решать задачу выше про два треугольника

конкретно про это, впрочем, и здесь написать не долго: величина (суммарная длина горизонтальных сторон, к которым многоугольник примыкает снизу) – (<…> сверху) является инвариантом

А что, если все такие разности — и площадь, без неё никуда — у двух фигур одинаковы?

Например, у квадрата эти разности нулевые. А можно ли "повернуть" квадрат, если из разрешённых операций есть только разрезание и параллельный перенос?