А если посмотреть на с. 15 Болтянского —
https://www.mathedu.ru/text/boltyanskiy_ravnovelikie_i_ravnosostavlennye_figury_1956/p15/ — то оказывается, что хватает параллельных переносов и центральных симметрий:

В размерности 3 всё не так, как на плоскости. Вопрос о равносоставленности многогранников был третьей проблемой Гильберта, и отрицательный ответ (например, неравносоставленность куба и правильного тетраэдра одинаковых объёмов) следует из наличия дополнительного инварианта, инварианта Дэна.
Интересно, что этому посвящён один из текстов Mathesis-а — https://www.mathesis.ru/book/kagan2/ :

Как знакомо —

Продолжим?
Давайте вернёмся к исходному вопросу про параллельные переносы. Ответ на него отрицательный — и как обычно при доказательстве не-существования, нужен инвариант.
И тут он очень простой: суммарная длина горизонтальных отрезков, являющихся "нижними" сторонами фигуры, минус суммарная длина горизонтальных отрезков, являющихся "верхними" сторонами.

Понятно, что это инвариант (при проведении разрезов обе длины меняются одинаково, так что их разность не меняется) — и столь же очевидно, что он наши два треугольника различает.
Конечно же, такую же разность можно посчитать для любого другого направления, не обязательно для горизонтального. Так что инвариантом будет аж целая функция от направления (правда, отличная от нуля лишь в конечном числе точек).

Собственно, коллеги про это уже написали:

https://www.turgor.ru/lktg/2007/1/1-1ru.pdf

на тему разрезания многоугольников и многогранников — напомним еще такой материал с ЛКТГ-2007 (М.Прасолов, М.Скопенков, Б.Френкин)

в т.ч. из текста можно узнать, как решать задачу выше про два треугольника

конкретно про это, впрочем, и здесь написать не долго: величина (суммарная длина горизонтальных сторон, к которым многоугольник примыкает снизу) – (<…> сверху) является инвариантом

А что, если все такие разности — и площадь, без неё никуда — у двух фигур одинаковы?

Например, у квадрата эти разности нулевые. А можно ли "повернуть" квадрат, если из разрешённых операций есть только разрезание и параллельный перенос?

(Изображение из первой части всё той же статьи в Images de Maths, https://images.math.cnrs.fr/Un-triangle-et-une-enigme.html )

Так вот — оказывается, повернуть квадрат можно. И это делается с помощью дважды применённого "пифагорского" разрезания:

(картинка оттуда же)

Более того, теорема Хадвигера-Глюра утверждает, что инвариант действительно полный: из уже процитированного текста с ЛКТГ-2007 —