Соберём из этих (n+2) векторов матрицу M и посмотрим на их матрицу Грама относительно билинейной формы D — иными словами, на
G = M^* D M.
Во-первых, это в точности та матрица, которая появляется на доске:
* D-скалярный квадрат (0 1 0000) равен нулю, потому что тут вторая координата вектора умножается на первую, а она равна 0
* его D-скалярное произведение с любым другим вектором набора равно 1, потому что у них у всех на первом месте стоит 1
* D-скалярные произведения остальных векторов друг с другом равны квадратам расстояний между вершинами симплекса — мы так наши вектора и произведение D строили.

С другой стороны, как и для обычной матрицы Грама, определитель G содержит квадрат определителя M — только в этот раз умноженный на det D:

И вот (-1)^{n+1} и 2^n из формулы и появились — это определитель D. А раз мы уже знаем, что det M = n! V, то всё, формула Кэли-Менгера доказана. Ура!

В качестве затравки к следующей байке — задача:

Задача честная — делается без калькулятора (а решение можно рассказать вообще без бумаги).

Ещё одно начало истории: вот многим наверняка знакома классическая скатерть Улама. А именно — выписываем натуральные числа по спирали:

И закрашиваем в этой спирали простые числа:

Оказывается, что они часто выстраиваются вдоль диагоналей; вот скатерть Улама в квадрате 200x200 — https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ulam_1.png

А вот фотография скатерти Улама из столовой МЦНМО/НМУ (спасибо Г. Мерзону за фотографии!) —

Так вот, обычную скатерть Улама наверняка многие видели. А что будет, если её начать не с 1, а с другого числа — а именно, с числа 41?

Вот так будет выглядеть начальный участок:

Вот так — участок побольше: