Но и это ещё не всё. Посмотрим ещё на периодические траектории:

Каждый раз множество вершин и рёбер, попавших внутрь траектории, образует дерево. Не бывает так, чтобы внутри содержался целый треугольник, куда траектория не заходила бы.
А всегда ли это так?

Теорема (Olga Paris-Romaskevich): Да, всегда.

(Отсюда — https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02169195 )

Доказательство. Любую траекторию (в частности, периодическую) можно включить в "слоение" плоскости: плоскость-образ после складывания можно нарезать на параллельные прямые, а потом взять полный прообраз этой нарезки. Получаются вот такие красивые картинки:

Но если есть периодическая траектория — можно её сдвигать "внутрь", пока не получится особая траектория — входящая и выходящая из какой-нибудь из вершин:

Назовём такую траекторию цветком (точнее, объединение всех траекторий слоения, проходящих через данную вершину: мы не можем говорить о траектории после входа в вершину).

Так вот — оказывается, что часть теоретически возможных вариантов поведения для цветка запрещена:

После чего можно запускать индукцию, сжимая и сжимая траекторию дальше (выкидывая вершину цветка) — мешали этому только запрещённые варианты.

А, ещё вот такая картинка для определения слоения, кажется, более наглядная:

Вот всё и доказано!

Правда, доказано по модулю того, почему именно для цветов запрещено то, что запрещено — а это как раз важная и смысловая часть.

Две вещи, которые используются в её доказательстве (и тут я начинаю говорить уже совсем пунктиром):

- Радиальное слоение. Можно на плоскости после складывания взять не нарезку на параллельные прямые, а нарезку на прямые, проходящие через вершину треугольника. И, опять-таки, взять у них прообраз: