Математические байки
А тогда, вернувшись в какой-то треугольник, мы можем пересечь его только по тому же самому отрезку, что и в первый раз — ведь складывающее отображение (по индукции) всю траекторию переводит в одну прямую.
Вот всё и доказано. И в частности, траектория луча не может самопересечься — что совершенно не так, например, в бильярдах.
Но и это ещё не всё. Посмотрим ещё на периодические траектории:
Каждый раз множество вершин и рёбер, попавших внутрь траектории, образует дерево. Не бывает так, чтобы внутри содержался целый треугольник, куда траектория не заходила бы.
А всегда ли это так?
А всегда ли это так?
(Отсюда — https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02169195 )
hal.archives-ouvertes.fr
Trees and flowers on a billiard table
In this work we study the dynamics of triangle tiling billiards. We unite geometric and combinatorial approaches in order to prove several conjectures. In particular, we prove the Tree Conjecture and the 4n+2 Conjecture, both stated by Baird-Smith, Davis…
Доказательство. Любую траекторию (в частности, периодическую) можно включить в "слоение" плоскости: плоскость-образ после складывания можно нарезать на параллельные прямые, а потом взять полный прообраз этой нарезки. Получаются вот такие красивые картинки:
Но если есть периодическая траектория — можно её сдвигать "внутрь", пока не получится особая траектория — входящая и выходящая из какой-нибудь из вершин:
Назовём такую траекторию цветком (точнее, объединение всех траекторий слоения, проходящих через данную вершину: мы не можем говорить о траектории после входа в вершину).
Так вот — оказывается, что часть теоретически возможных вариантов поведения для цветка запрещена:
После чего можно запускать индукцию, сжимая и сжимая траекторию дальше (выкидывая вершину цветка) — мешали этому только запрещённые варианты.
Математические байки
Доказательство. Любую траекторию (в частности, периодическую) можно включить в "слоение" плоскости: плоскость-образ после складывания можно нарезать на параллельные прямые, а потом взять полный прообраз этой нарезки. Получаются вот такие красивые картинки:
А, ещё вот такая картинка для определения слоения, кажется, более наглядная:
Правда, доказано по модулю того, почему именно для цветов запрещено то, что запрещено — а это как раз важная и смысловая часть.
Две вещи, которые используются в её доказательстве (и тут я начинаю говорить уже совсем пунктиром):