А если бы мы тут с самого начала пожертвовали симметрией частиц и античастиц и сказали бы, что энергетические состояния это целые числа (а не полуцелые), и заняты в режиме вакуума отрицательные и ноль, а положительные свободны — то получилось бы совсем то, что мы хотели:

Первая скобка приходит из добавления частиц на каждый свободный уровень j, а вторая — из их убирания с занятых уровней -(j-1).

Но можно считать и по-другому — сначала спросить, "а какой у нас полный заряд Q?".

И тогда — состояние с наименьшей энергией при данном заряде Q это, опять же, "все слева от Q занято, всё справа от Q свободно". И его энергия равна — в "симметричном полуцелом" варианте
1/2 + 3/2 + ... + (2Q-1)/2 = Q^2/2,
а в несимметричном целочисленном —
1 + 2 + ... + Q = Q(Q+1)/2
(если Q отрицательно, то нужно частицы убирать — но правые части всё ещё дают правильный ответ).

А когда Q уже известен — то любое состояние из состояния с данным зарядом и наименьшей энергией (данного заряда) получается чередой сдвигов частиц на одно состояние вперёд — и способов добавить ещё n единиц энергии как раз p(n), число разбиений n, ибо они индексируются диаграммами Юнга (вне зависимости от значения Q!)

И давайте я тут выложу кадр из видеозаписи курса "Полубесконечная внешняя степень" М. Берштейна в ЛШСМ-2014:

Итого — та же самая производящая функция равна в симметричном-полуцелом случае

А в несимметричном-целочисленном —

И это и есть то самое тождество, которое мы хотели получить!

Кстати — вот это же тождество в обзоре Пака; этот вид как раз симметричный — и отличается от выписанного заменой q на q^{1/2} (иными словами, удвоением/делением пополам энергии).

Кстати, теперь мы на этой фотографии на центральной доске узнаём и выражение A(x,q) во второй строчке. 🙂
И на этом я на сегодня прекращаю дозволенные речи.

Золотарёв известен в том числе своим простым доказательством квадратичного закона взаимности. Статья Прасолова в МатПросе об этом. Идея простая —

1) символ Лежандра (a/p) выражается как чётность перестановки x->ax на множестве остатков по модулю p.

2) на множестве пар (a,b) остатков по модулям p,q делается подстановка a+pb->qa+b (по китайской теореме об остатках пары остатков это то же самое что остатки по модулю pq).

3) эта подстановка является композицией (a,b)->(a,pb), (a,b)->(qa,b). Поэтому её знак равен (p/q)(q/p).

4) с другой стороны, можно явно посчитать её знак (см картинку).

А вот связь квадратичного закона взаимности с зацеплением узлов (для тех кто в танке тополог)

И давайте я напомню про рассказ про решётку Коркина--Золотарёва = E_8, плотнейшую, как в 2016 году доказала Марина Вязовска, упаковку шаров в 8-мерном пространстве. Как эту решётку можно строить ("вручную" или из пополненного кода Хэмминга) и как она была построена исходно (вместо "размещения решётки в R^8" — "решётка-то это Z^8, но с другой положительно определённой [целочисленной, чётной, унимодулярной] квадратичной формой").

12 мая — день рождения Мариам Мирзахани; этот день в память о ней c 2019-го года отмечается, как день женщин в математике (скажем, вот страница и постер мероприятия в Вышке в 2019-м).

А вот тут — https://may12.womeninmaths.org/ — можно посмотреть на карту мероприятий, которые в этот день (и чуть раньше и позже) проходили/проходят по всему миру. Их много!

Позавчера этому же дню был посвящён коллоквиум Института Эйлера: там лекции были посвящены работам Мирзахани и тематике вокруг; рассказывали Антон Зорич (которого я уже в этом канале упоминал), Элиза Гужар (Elise Goujard; и она тоже тут уже появлялась) и Петр Зограф, и это было круто. И организаторы уже выложили видео лекций!

А мероприятие, которое вчера проводили матфак Вышки и Новая школа, было посвящено Джоан Бирман — рассказу про узлы и косы (Владимир Шастин), её биографии и интервью с ней (Александра Скрипченко). И школьным учительницам — вспоминали, кто на кого и как повлиял.

Ещё — вот программа японского мероприятия; и — какой милый постер сделали итальянцы!

https://etudes.ru/etudes/angle-trisection/

продолжаем тему математики механизмов — Мат. Этюды про шарнирный механизм для трисекции угла, про Кемпе и теорему о подписи

Приглашаем сегодня с 15-00 до 20-00 присоединяться к мини-конференции, посвящённой юбилею Пафнутия Львовича Чебышева! Лекции рассчитаны на студентов младших курсов и призваны популяризовать красивые и простые идеи П.Л. Чебышева. Подробности и регистрация: https://eimi.ru/chebyshev200

Другие популярные изложения и несколько занимательных фактов из биографии великого математика вы найдёте на его личной странице https://math-cs.spbu.ru/people/chebyshev-pafnutij-lvovich/